С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 27

2.9). Если Ю(() н $ ٠— узкополосные процессы, то рз характеризует так называемое отношение сигнал(шум, т. е. отношение Рассмотрим вероятностные характеристики огибающей р и фазы ф процесса х(г). Как н выше, будем исходить из совместного распределения вероятностей для квадратурных компонент гв(а ) а Ь ( Ь ) е — ~а'+виза' (2466) 141 % Е. УЗКОПОЛОСНЫЙ ГАУССОВСКИЙ ШУМ усредненной (по периоду высокой частоты ш,) интенсивности сигнала рз (1))2 к средней интенсивности (или дисперсии) шума шЯи ,суФтп Рис. 2.9. Распределение вероятностей (бб) для огибающей с)лемы сигнала и гауссовского шума, параметром распределение еелнетсн отношенне сигнал/шум =ми п,=о )распределенно Релен, а < не < из < мл. -« -луу и «г и ттл Рнс.

2.10. Распределение вероятностей 167) дли фазы суммы сигнала и гаус. савского шума при различных отношениях сигнал/шум=па; О на<на<па <)аа. о'= (йз). Проинтегрировав (64) по р, получим распределение фазы процесса (60): нр(ф)= — е " 11+У'пгеа*(1+Ф(г)11 (2.4.67) (г = )а сон (ср — ~рз)) (рис. 2.10). !42 ГЛ 3 МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОПЕССОВ И ПОЛЕЙ Нетрудно найти предельный вид распределений (66) и (67); при малом Отношении сигнал/шум ((ьа 4,'1) +1 2 з)' гл (ф) ~ — + соэ (ф — фз)+ — соз 2 (!р — фз); (2.4.69) 1 р рз 2п 2)~п 2п (2.4.68) при большом отношении сигнал/шум (рз~!) го (Р) .

ехР 1г(р — рз)'1 Р'2п о 1 2оз (2.4.70! гн (ф) — ". ехр 1 — )ьз (ф — 'рз)а1. Уп (2.4.71) Гауссовские распределения (70), (71) нетрудно получить и непосредственно из (61): если а Оз и Ь~Ьз, то в выражениях для р и ф достаточно учесть члены, линейные по а и Ь: аза+Ь Ь / а Ь1 рз+ ф фа+( — — — ~ з(п фз соз фз.

Рз В этом приближении разности р — рз и ф — фз линейно зависят от гауссовских случайных функций а(/) и Ь(!) и, следовательно, сами тоже обладают свойством гауссовости, причем их дисперсии равны ((р — рз)') = О', ((ф — фз)з) = оз/рз = 2/р' в соответствии с (70), (71). й 5. Негауссовские квазигармонические стационарные процессы (2.5.1) 1 00 =р р) и (ыаг+ф (г)1. но теперь с произвольным (не обязательно гауссовским) распределением вероятностей щГс] 631, ч. !, с 3!О; (4, 511.

Случайные функции 5, р и ф в дальнейшем считаются сша ционараыми. Зто условие стацнопарности позволяет В предыдущем параграфе для огибающей н фазы узкополосного гауссовского процесса мы получили ряд физически наглядных результатов. Возннкаег естественный вопрос: как изменится статистика огибааяцей и фазы, если процесс негауссовскийг Зтот вопрос имеет не только методический интерес; с негауссовскимн процессами в нелинейных системах приходится встречаться часто.

Математические результаты, приведенные ниже, позволяют глубже понять статистику узкополосных процессов. Универсальность равномерного Распределения фазы. Рассмотрим опять про цесс вида (2.3.12 6 3. неГАУССОВсКие кВАЗиГЛРМОИИЧЕскИЕ ПРОЦЕссЫ 143 Здесь в (р, ф) — пока неизвестное совместаое распределение р и ф, соответствующее некоторому заданному распределению в(й) квазигармонического процесса $(1)=р(1) соа(во(+ф(Г)). Учитывая, что рассматриваются значения фазы, принадлежащие интервалу — л С ф Сл, зто распределение можно написать в виде ряда Фурье: в(р, ф)= ~, 'У„(р)е!лч. (2.5.4) В аналогичном виде представим также второе множитель в (3): егия слтф= ~ (г„, (ир) е™Ч', м= сб ф=ЩГ+ф, (Гм(иР) !ту (РР) г — функция Бесселя; заметим, что (г) =гт( — г)=( — 1)м 7„, (г). Подставив (4) н (5) в (3) н интегрируя по ф, получим сл сл 6 (и) 2л ~ !"гг"и'г ~ У„(р) ул (ир) йр.

Л= — сл (2.5.5) (2.5 5) (2.5.7) Однако 6(и) не должна зависеть от й поскольку процесс Е (() предполагается стационарным. Это значит, что все У„(р) в (4) равны нулю, кроме Уа(р), т. е. в (р ф) = Уо (р). (2.5.8) Независимость совместного распределения (8) от ф означает, что в (ф) = сопз(; учитывая нормировку $ в(ф)г(ф= 1, приходим к (г). Независимость р и ф. Выражения (7), (8) можно теперь переписать как сл 6 (и)= ~ в (р) 7 (ир) бр.

(2.5.9) 1 в(р ф)=в(р)в(ф)=в(р) —, 2л ' (2.5,10) где в(р) — распределение для огибающей. Согласил (1О) значения р н ф статистически независимы (в совпадающие моменты врсыеин) Из (2) также следует, сделать ряд общих выводов о статистических свойствах р н ф. Покажем, что независимо от вида в(й) распределение в(ф) является равномерным: в(ф)=1!2л, — лсфси, (2.5.2) как зто было установлено раньше для частного случая гауссовского распределения в Я) (см. (2.4.5)). Будем исходить нз общего выражения для характеристической функции процесса (!); сл и 6(и) (еглй)=) йр ~ йфетипсгл1ив+Ч)в(р ф). (253) о -и 144 гл з модели слэчдиных проиессов и пален (саэ'"ыф) (э(пээ+гф) =О, (соэзпф) (э)пэпф) (2л)1 (2л — 1)И 2ээ (л()э [2л) И (! созэлээф !) =(, э)пээээф,) 2 (2л) И и (2л+!)И ' (2.5.1!) (2.5,12) (2.5.13) 1 г в Я)= — 6 (и) соэ и$ Ыи = в ( — 5), (2.5.15) В(и) =2 ) в !В) ссн и$ Щ В ( — и) = Вэ (и).

(2.5.17) а Связь характеристической функцнн процесса с распределением его огибающей. Так как распределение в Ор) для всех квазнгармоннческнх стацнонарных процессов имеет одна н тат же внд (2), то статпстнчегкне свойства процесса 5 н его огибающей р оказываются однозначно свяэацньшн между собой. Напрвээер, преобразуя по абы щып правилам совместное распределенне (10) к новым переменньш 5=р сов 9 н т)= — р нп ф (9 =в !+ф), а затем исключив э) ннтегрнрованнем, получим ээ Оэ гр(5)= — ~ бэ) — — ~ — =. (2.5.18) ! Г в(р)1 ! !' в (р) г(р л р р-эгээ+гб л, Ф рэ — $э а Выражспнем (9) непосредственно через в (р) определяется характернстнческая функцня квазнгармоннческого процесса.

Заметим, что (9) является преобразованием Гаккеля. Использун обратное преобразование, придем к саотношенню ээ в (р) = р ) уэ (ир) 6 (и) и ди, (2.5.19) а позволяющему найтн распределенне огибающей в(р), еслн известна характе. рнстнческая функцня 0(и). Рассмотрим несколько примеров. 1. Гауссовскому распределению вя) =е Г'Г ( — аэ(5~со) — эа* У2по саоэветствует карэктернстнческая функцня 8 (и) =.е и ~Г .

Условия четно— иэа~/Э стн (16), (17) прн этом, очевндно, выполняются. Используя (!9), получнм для Учнтывая статнстнческую неэавнснмость р н ф н (1!) — (13), нмеем следующне соотношення между моментами 6, ~ $ ! н р: (йз ° >=О, (5 >=(р > (2л — 1) И (2л)1! (! Ээээээ !) — (рэпы) 2 (2л)11 л 12л+1 И (2.5.15) Равенство нулю нечетных моментов 5 означает, что крнвая распределении в(5) снмметрнчна, а 6 (и) — вещественная четная функция и: 6 ч негдуссопские кедзиГАРмонические пРОцессы 145 огнбающей распределение Рэлея (2.4.6)'. в(р)= р, е-э""' (р-,б). 2.

Для квазнгармоннческого стацнонарного процесса с постоянной неслучайной амплитудой ро находим, полагая в (18), (19) в (р)=5(р — ро), ( ! 1 в(ь)= ~ л ) р,'— йо — — (15!(ро) 6 (и) = Хо (ир,). 9 (15!~ро), (2.5.29) Распределение (20) было получено иамн раньше другим способом в предполо. женин ф=сопз! (см. (!.4.21)). 3. В случае равномерного распределения в$) !/2Ь ( — 5о<$с$о) в рр) = 1/2л б. Еслн огибающая распределена по гауссовскому (одностороннему) закону в(р) =е р/зо (р~О), (2.5.24) )/2л о то 6 (и) е и~ /о/о (иооз/4) н в(й) -рт — о 6/ Ко( ~ ) ( — ~($(оо).

У. Длв нвавнгармоннческого процессе с рэспределеннем в(р (~ 5 !я) со а/л 5о+аз ' карактернстнческая фуикцнн имеет внд экспоненты 6(и) е а!" 1( подстэвнв вто в (!9), найдем распределение огибающей ар 3/з (а'+р 1 (2.5.25) согласно (9) н (19) м- —. и — — ~ о о«и.

Оооч Б1п ибо иЬ Ь)/Йр* 4 Квазнгзрмоннческнй процесс, все значения огнбающей н фазы которого равновероятны: в(Р) 1/Р, (9~9.Ср,), (2.5,22) нмеет согласно (18) следующее распределение: в(В) (п (р*, 6 +)/рт — Ко+1) (! 6 ~ К р). 'гро 5. Если распределенне 5 экспоненциальное: в(с) =.. е а!6~, Яэ) = а а 2 2 ' ао' то карактернстическэя функпня равна 6(и)=аоД~хо+и'), а распределение огибающей выряжается через функцию Макдональда: в (р) =аорКо (ар) (р) =л/2а, (рз) 4/ао (2.5.зо) 146 гл т модели случАЙных ПРОцессОВ и пОлеЙ Распределение интенсивности. Общие соотношения, связывающие распределения интенсивности 1=рз!2 н огибающей р, имеют вид в(1) = — ~ (р) Р р тзг (2.5.26) в (Р) =Рв (!) 'т-рцз Как следует нз (14), моменты интенсивности выражаются через четные моменты процесса (1): (2п)В рл) 2л(2Я вЂ” 1)11 (1л) (.

2.5 27) Используя (!9) и (26), в(1) можно выразить непосредственно через характеристическую функцию квазигарманнческого процесса (1): в(1)=~ 1„(и)'2118(и) иг(и. а (2.5.28) н ега распределение вероятностей в($)= — 1 йт) в(1) 1 Г а ! = (р+ и'на сл 1 1 в(1)г(1 (2 5,30) и .) ~'2! — 5Я вЂ” это непосредственна следует из (9), (18) н (26). Используя (30), определим, например, статистику колебаний в автоколеба. тельных системах (томсоновскнй генератор, лазер), находящихся пад действием внутренних шумов. Распределение огибающей в атом случае имеет вид в (р) Ср ехр ( — ар' — Ьра) (а, Ь и С вЂ” постоянные параметры), так что согласно (26) в (1) = С ехр ( — 2а! — 4Ыз) (см. палее (7.2.31) и (7,5.29)). Подставив последнее выражение в (30), получим в (ть) С е иУР2 (у) (2.5.30а) Ур где Функция 2, (у) выражается через цилиндрические функции К1 4 и 11 (см, формулы (14.18) и таблицу значений Яг в [26)).