Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 9

1, с. 34–35].Выразим вектор f i через его компоненты f i в голономном δii и неголономном δii 0 базисах соответственно:f i = f i δii = f i0f i = f i δii 0 = f i0∂,∂xi∂∂0 1= fi i0 i .i0∂sh ∂xiОтсюда получаем, чтоi00i , i 0 = 1, n.f i = f i hi ,(6.13)Аналогично для ковекторов имеем:ifi = fi δi = fi dxi ,i00i0fi = fi 0 δi = fi 0 dsi = fi 0 hi dxi ,откуда получаем, чтоfi 0 = fi1i0hi,i , i 0 = 1, n.(6.14)Поскольку разные авторы могут использовать как голономный, так111и неголономный базисы (при этом не заостряя на этом внимания), представляется удобным применять данные соотношения для перехода между ними.6.4.Ковариантная тензорная запись дифференци-альных операторовВыпишем дифференциальные операторы для пространства R3 .Для многообразия R3 можно записать комплекс де Рама (6.2) в виде:gradrotdiv0 → Ω0 (R3 ) −−→ Ω1 (R3 ) −→ Ω2 (R3 ) −→ Ω3 (R3 ) → 0.Размерность пространства Ωk (Rn ) выражается через биноминальные коэффициенты nk .Таким образом, получаем следующие преобразования:– градиент (grad) переводит функции (0-формы) в векторные поля(1-формы);– ротор (rot) переводит векторные поля (1-формы) в (аксиальные) векторные поля (2-формы);– дивергенция (div) переводит векторные поля (2-формы) в функции(3-формы).Запишем в голономных координатах (для связностей, ассоциированных с метрикой) дифференциальные операторы в компонентах.112Запишем градиент через косые формы:dΩ0 (R3 ) −→ Ω1 (R3 ),d(f (x)) =∂f (x) idx = ∂i f (x) dxi .i∂xЗдесь f (x) — скалярная функция.В абстрактных индексах выражение для градиента имеет вид:i(grad f )i = (grad f )i δi ,(grad f )i = ∇i f = ∂i f,(6.15)i = 1, 3.Запишем дивергенцию через косые формы:dΩ2 (R3 ) −→ Ω3 (R3 ), ∂fjk (x) id fjk (x) dxj ∧ dxk =dx ∧ dxj ∧ dxk = ∂i fjk (x) dxi ∧ dxj ∧ dxk .i∂x(6.16)В векторном анализе операцию дивергенции обычно рассматриваюткак div : V• → R.

Поэтому перепишем (6.16):δΩ0 (R3 ) = ∗Ω3 (R3 ) ←− Ω1 (R3 ) = ∗Ω2 (R3 ).Запишем выражение для дивергенции некоторого произвольноговектора f ∈ Vi в абстрактных индексах:pp(|g|),i1iii jiiidiv f = ∇i f = f,i − Γji f = f,i − f p= p ∂i|g|f ,|g||g|(6.17)113или в компонентах:p1idiv f = p ∂i|g|f ,|g|i = 1, 3.(6.18)Здесь g представляет собой определитель метрического тензора g :=n odet gi i . Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а sign(g) может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то для определённости будем использовать запись |g|.Запишем ротор через косые формы:dΩ1 (R3 ) −→ Ω2 (R3 ),d fj (x) dxj∂fj (x) i=dx ∧ dxj = ∂i fj (x) dxi ∧ dxj .i∂x(6.19)В векторном анализе обычно рассматривают операцию ротора какrot : V• → V• .

Таким образом (6.19) перепишется следующим образом(с учётом (6.9)):∗dΩ1 (R3 ) −→ ∗Ω2 (R3 ) = Ω1 (R3 ), pjij∗ d fj (x) dx = ∗ ∂i fj (x) dx ∧ dx = |g|εij k ∂i fj (x) dxk .(6.20)Отсюда видно, что операция ротора (rot) специфична для пространстваR3 .Запишем выражение для ротора некоторого произвольного аксиаль-114ного вектора f ∈ Vi в абстрактных индексах:(rot f)i = [∇, f] = (rot f)i δii ,i(rot f) = eij k∇j f k ,(6.21)i , j , k = 1, 3,где ei j k — альтернирующий тензор.Альтернирующий тензор выражается через символ Леви-Чивитыεi j k следующим образом:ei j k =p3 gεij k ,1e i j k = p εi j k ,3gi , j , k = 1, 3.В общем случае можно записать:ea1 a2 ...anpea1 a2 ...an = |n g|εa1 a2 ...an ,p|n g| a1 a2 ...ansign n g a1 a2 ...an= n ε= pε,g|n g|(6.22)a1 , a2 , .

. . , an = 1, n.Из (6.20) видно, что в (6.21) ковариантная производная используетсяформально, и для ротора (в голономных координатах, без кручения инеметричности) можно использовать вместо ковариантной производнойчастную.Также в векторном анализе используется скалярный лапласиан.115Из (6.10) запишем для скалярной функции f (x):∆ = ∆0 : Ω0 (R3 ) → Ω0 (R3 ),(6.23)∆f (x) = d δf (x) + δ d f (x) = δ d f (x).Запишем представление скалярного лапласиана (6.23) в абстрактных индексах.

Использую выражение (6.17) для дивергенции и (6.15)для градиента можно записать:∆f (x) = ∇i ∇i f (x) = ∇i g ij (grad f (x))j =p1ijij= ∇i g ∂j f (x) = p ∂i|g|g ∂j f (x) .|g|6.5.Спинорный формализмСпиноры [121; 125; 130; 136; 162—164] являются более специализированными объектами, нежели тензоры. Действительно, тензоры являются представлениями группы GL(n). Спиноры являются представлениями группы Spin(n), которая, в свою очередь, является двулистнымнакрытием специальной ортогональной группы SO(n). А именно, существует короткая точная последовательность:1 → Z2 → Spin(n) → SO(n) → 1.То есть спиноры являются более специализированным объектом,нежели тензоры. Поэтому, можно предполагать, что они обладают116бо́ льшим количеством специфических свойств (пригодных для описания конкретного пространства), чем тензоры.

В частности спиноры являются представлениями группы Лоренца [157; 181] с полуцелым старшим весом. Обычные тензоры являются представлениями с целочисленным старшим весом.В зависимости от симметрии физической задачи, обычно применяются следующие виды спиноров:– дираковские 4-спиноры;– паулевские 3-спиноры;– лоренцовы 2-спиноры;– кватернионы.СпиноропределяетсяпосредствомуравненияКлиффорда–Дирака [163]:ˆγ(µ γν) = −gµν I,(6.24)где gab — метрический тензор пространства, Iˆ — единичная матрицаразмера N × N , N — размерность спинорного пространства, γµ — такназываемые γ-матрицы (или символами Инфельда–ван дер Вердена)размера N × N .

γ-матрицы являются элементами алгебры Клиффорда [35; 162], порождающими линейное преобразование спинового пространства.По своему смыслу символы Инфельда–ван дер Вердена служат длясвязи спинорного и тензорного базисов.Размерность спинорного пространства N в зависимости от размер-117ности соответствующего тензорного пространства n можно записатьследующим образом:N = 2n/2 ,при чётном n;N = 2n/2−1/2 ,при нечётном n.Можно заметить, что в (6.24) используются только тензорные индексы. Это обычная практика при манипулировании γ-матрицами. Если не опускать спинорные индексы, то получим:c bc bγµaγνc + γνaγµc = −2gµν δab ,(6.25)где латинский индексы являются спинорными индексами.Для построения полной алгебры Клиффорда необходимо записатьещё произведения γ-матриц.

Однако в силу (6.25) достаточно рассматривать только антисимметризованные произведения:γαβ...δ := γ[α γβ · · · γδ] .6.5.1.(6.26)Лоренцевы 2-спинорыЛоренцевы 2-спиноры являются представлениями группы SL(2, C),которая в свою очередь является двукратной накрывающей группы Лоренца [162]. Можно предположить, что 2-спиноры более удобны дляописания группы Лоренца, нежели тензоры.Лоренцевы 2-спиноры суть неприводимые редуцированные спиноры118(полуспиноры) для случая n = 4 и s = ±2, где n — размерность векторного пространства, s = n−2u — его сигнатура, u — число отрицательныхзначений диагонального метрического тензора gµν .Спинорные индексы записываются прописными латинскими буквами. Штрих у индекса или точка над индексом означает комплексноесопряжение.Спинорный базис εA B задаётся следующим образом [162]: 0 1εA B = εȦ Ḃ = ,−1 0Bε A A εA = εAB1 0 =.0 1Для установления взаимосвязи между спинорным и векторным базисами служат следующие символы Инфельда–ван дер Вердена:gα AȦ := gα α εA A εȦ Ȧ ,g α AȦ := gα α εA A εȦ Ȧ ,где свёртка производится только по абстрактным индексам.Для стандартной тетрады Минковского и спиновой системы отсчётаимеем:1 1 0 0g0 AḂ = √  = gAḂ ,2 0 11  0 i2g2 AḂ = √  = −gAḂ ,2 −i 01 0g1 AḂ = √ 2 11 1g3 AḂ = √ 2 011 = gAḂ ,003 = gAḂ .−11196.5.2.Дираковские 4-спинорыПо историческим причинам наиболее часто в исследованиях используются дираковские 4-спиноры [77 ; 115 ; 125], которые применяют длязаписи уравнений Дирака, описывающих фермионы со спином 12 .

Дираковские 4-спиноры суть неприводимые спиноры для случая n = 4 иs = ±2, где n — размерность векторного пространства, s = n − 2u —его сигнатура, u — число отрицательных значений диагонального метрического тензора gµν .Введение 4-спиноров можно, наверное, мотивировать желаниемсконструировать объект, с помощью которого можно было бы удобнореализовать операцию пространственного отражения.Вформализмедираковских4-спиноровявноиспользуютсяγ-матрицы, что делает операции с данными объектами крайнегромоздкими. Спинорные объекты «живут» как бы в двух пространствах : векторном и спинорном. Соответственно наблюдаетсястремление перейти к более единообразному формализму посредствомотказа либо от спинорных, либо от тензорных индексов.Наряду с элементами (6.26) в формализме дираковских спиноровдля удобства вводится элемент γ5 :γ5 :=i αβγδeγα γβ γγ γδ ,4!где eαβγδ — альтернирующий тензор.120Продемонстрируем связь дираковских 4-спиноров и лоренцовых2-спиноров.

Заметим, что в литературе зачастую дираковский 4-спинорреализуют с помощью двух трёхмерных спиноров (3-спиноров Паули).Формально это вполне возможно, поскольку структура пространств SRи SṘ полуспиноров спинора размерности n + 1 совпадает со структуройпространства Sr спиноров размерности n (n — нечётное).Запишем дираковский 4-спинор как следующий комплекс :Aϕ ψ =  ,π Ȧaгде ϕA и π Ȧ — лоренцовы 2-спиноры.Операция сопряжения спинора будет иметь вид :ψa= ψ̄a = π̄A , ϕ̄Ȧ .Также определена операция отражения :AȦϕ π P̂ :   7→   .π ȦϕAБудем использовать γ-матрицы в киральном представлении (когда121матрица γ5 диагональна).

Тогда запишем явный вид γ-матриц :γαrs√ = 2S0εAR εȦṠεȦṘ εA ,0γ5rsε R=0S0 .Ṡ−εṘИз (6.26) запишем γαβ , также обозначаемую как σαβsσαβr := γαβrsεȦḂ εR(A εB)=0S0εAB εṘ(Ȧ εḂ) Ṡ.С помощью определённой нами структуры дираковских 4-спиноровможно построить инвариантные соотношения. Мы будем оперироватьпарой спинор–сопряжённый 4-спинор (ψ и ψ̄) и, соответственно, четырьмя 2-спинорами (ϕA , ϕ̄Ȧ , π Ȧ и π̄A ).Скаляры Свёртки π̄A ϕA и ϕ̄Ȧ πȦ имеют смысл скаляров. Их суммабудет вести себя как скаляр, а разность как псевдоскаляр :s = π̄A ϕA + ϕ̄Ȧ π Ȧ = ψ̄a ψ a ,AȦp = i π̄A ϕ − ϕ̄Ȧ π = iψ̄a γ5b a ψ b .Векторы Комбинации π̄ A π Ȧ и ϕA ϕ̄Ȧ имеют смысл вектора.

Их суммаведёт себя как вектор, разность как псевдовектор :√ A ȦA Ȧj = 2 π̄ π + ϕ ϕ̄ = ψ̄a γbα a ψ b ,√ A ȦαA Ȧj̃ = 2 π̄ π − ϕ ϕ̄ = ψ̄a γbα a γ5d b ψ d .α122Тензоры Действительный кососимметричный тензор можно построить следующим образом :a6.6.αβ(A B) ȦḂ= i ϕ π̄ ε(Ȧ Ḃ) AB− ϕ̄ π ε= ψ̄a σ αβ b a ψ b .Вспомогательные соотношения для геометри-зации уравнений МаксвеллаВведём некоторые вспомогательные соотношения, которые будут полезны при геометризации уравнений Максвелла.6.6.1.Дифференциальное тождество БьянкиПри геометризации уравнений Максвелла в подходе Плебаньского [58 ; 87] необходимо расписать ковариантную производную в одномиз уравнений Максвелла :∇α Fβγ + ∇β Fγα + ∇γ Fαβ = F[αβ;γ] = 0.(6.27)Уравнение (6.27) по сути является тождеством Бьянки для тензора кривизны в кокасательном расслоении.Утверждение 6.1.