Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 11

Но и он в системеСИ обладает диэлектрической ε0 и магнитной µ0 проницаемостями вакуума. Физический смысл данных величин не определён.Представляется [170 ; 183], что деление единого электромагнитногополя на электрическое и магнитное поле относительно и зависит от выбранной системы отсчёта. В силу этого силовые характеристики электромагнитного поля (напряжённость электрического поля E и магнитная индукция B) должны иметь одинаковую размерность.

Кроме того,поскольку для описания электрического и магнитного полей в вакуумедостаточно двух векторов Е и В, то в вакууме должны выполняться135равенства :D = E,H = B.В системе СГС величины Е и В (а также D и H) имеют одинаковуюразмерность.В системе СИ в вакууме электромагнитное поле задаётся четырьмявекторами :D = ε0 E,H=B.µ0Таким образом, эти величины имеют в системе СИ разные размерности.При этом величины с разным физическим смыслом имеют одинаковуюразмерность : электрическое смещение D и поляризованность Р, напряжённость магнитного поля Н и намагниченность М (впрочем, эта жепроблема присуща и системе СГС).При этом система СГС не свободна от недостатков :– большинство единиц имеет дробные показатели размерности ;– некоторые электромагнитные величины имеют размерности механических величин (например, ёмкость (1 [Φ] = 10−9 c2 [см])1 имеет размерность длины) ;– одинаковые размерности имеют величины разного физическогосмысла (например, электрическое смещение D и поляризованностьР, напряжённость магнитного поля Н и намагниченность М).Образно можно сказать, что на данный момент СИ скорее являетсясистемой для измерений (для инженеров), а СГС — системой для записи1Здесь c — скорость света.136формул и аналитических выкладок (для учёных).Впрочем, следует отметить, что не прекращаются попытки реформировать систему СИ (часть, описывающую электродинамику) в духесистемы СГС [134 ; 175—178].137ПриложениеC.Инструментарийком-пьютерного моделированияC.1.Вычислительные методы на основе интеграто-ровВ работе [99] введено семейство вариационных мультисимплектических численных методов решения системы уравнений Максвелла сиспользованием формализма дифференциальных форм.

В ней показано, что метод Йе [37] и родственные ему методы являются мультисимплектическими и выводятся из дискретного вариационного принципаЛагранжа. Проведено обобщение схемы Йе на случай нерегулярных сеток не только пространственных, но и временных. Это снимает необходимость использовать равномерную дискретизацию по времени и дажевыделенные временную и пространственные переменные.Методы численного интегрирования использовались первоначально для компьютерного моделирования классических механических систем [30].

Вариационные интеграторы [66] разработаны на основе дискретизации вариационного принципа Лагранжа для системы с последующим требованием, чтобы полученные численные траектории удовлетворяли дискретной версии принципа стационарного действия Гамиль-138тона.

Такие методы автоматически являются симплектическими. Ониточно сохраняют дискретные импульсы, ассоциированные с симметриями лагранжиана. Таким образом, у систем с трансляционной инвариантностью сохраняются линейные дискретные импульсы, а у системс вращательной инвариантностью — дискретные моменты вращения ит.

д. Вариационный подход был развит для дискретизации общей мультисимплектической теории поля с приложениями к нелинейным уравнениям [99]. В работах [62 ; 99] также были предложены асинхронныевариационные интеграторы, позволяющие использовать различные шаги по времени для каждого элемента нерегулярной пространственнойсетки, сохраняя при этом вариационную и геометрическую структурыуравнений.C.1.1.Сохранение дискретной дифференциальной структу-рыРассмотрим соотношение B = rot A, где B — индукция магнитногополя, а A — векторный магнитный потенциал.

Поскольку div rot = 0и rot grad = 0, то B является недивергентным и калибровочно инвариантным. При этом сохраняющимся импульсом является плотностьзаряда ρ = div D. Также E = −∇ϕ является безвихревым и инвариантным относительно добавления произвольной константы к скалярномупотенциалу φ. То есть вариационный интегратор для задач электромагнетизма должен сохранять и дискретные аналоги дифференциальныхтождеств.139Для этого будем рассматривая электромагнитные поля не в качестве векторных полей, а в качестве дифференциальных форм в рамкахдискретного внешнего исчисления.C.1.2.Дискретного внешнего исчисления и уравнения Макс-веллаЗададим в R4 прямоугольную сетку, ориентированную вдоль осей(x, y, z, t).

Положим, что сетка взята с равными шагами в пространствеи времени ∆x , ∆y , ∆z , ∆t.Зададим 2-форму F на 2-гранях сетки. На основании (2.35) запишемF в виде :F = Ex dx∧dt+Ey dy∧dt+Ez dz∧dt+Bx dx∧dz+By dz∧dx+Bz dx∧dy .Значения F рассматриваются на гранях 4-х мерного прямоугольника [xk , xk+1 ] × [yl , yl+1 ] × [zm , zm+1 ] × [tn , tn+1 ]. Проиндексируем каждоезначение F средней точкой 2-грани, на которой она задана : например,n+ 1F k+ 12 ,l,m расположен на грани [xk , xk+1 ] × {yl } × {zm } × [tn , tn+1 ], парал2лельной плоскости xt. Следующие значения заданы на соответствующих 2-гранях : 1n+xt-грань: Ex k+ 12 ,l,m ∆x∆t,2 1n+yt-грань: Ey k,l+2 1 ,m ∆y∆t,2 1n+ 2zt-грань: Ez k,l,m+1 ∆z∆t,2140yz-грань: Bx nk,l+ 1 ,m+ 1 ∆y∆z,22xz-грань: By nk+ 1 ,l,m+ 1 ∆z∆x,22xy-грань: Bz nk+ 1 ,l+ 1 ,m ∆x∆y.22Смещённая сетка есть результат того, что E и B заданы на 2-гранях,а не в вершинах 4-грани.Рассмотрим интерпретацию dF в терминах дискретного внешнегоисчисления.

Так как dF является дискретной 3-формой, ее значениязадаются на 3-гранях 4-мерного прямоугольника. Эти значения следующие : 1 1 n+ 2n+xyt-грань: − Ex k+ 1 ,l+1,m − Ex k+ 12 ,l,m ∆x∆t2 1 2 1n+ 2n++ Ey k+1,l+ 1 ,m − Ey k,l+2 1 ,m ∆y∆t22 n+1n+ Bz k+ 1 ,l+ 1 ,m − Bz k+ 1 ,l+ 1 ,m ∆x∆y,2222 1 1n+n+xzt-грань: − Ex k+ 12 ,l,m+1 − Ex k+ 12 ,l,m ∆x∆t2 1 2 1n+ 2n+ 2+ Ez k+1,l,m+∆z∆t1 − Ez k,l,m+ 122 n+1n− By k+ 1 ,l,m+ 1 − By k+ 1 ,l,m+ 1 ∆x∆z,2222 1 1n+n+yzt-грань: − Ey k,l+2 1 ,m+1 − Ey k,l+2 1 ,m ∆y∆t2 1 2 1n+ 2n+ 2+ Ez k,l+1,m+∆z∆t1 − Ez k,l,m+ 122 n+1n+ Bx k,l+ 1 ,m+ 1 − Bx k,l+ 1 ,m+ 1 ∆y∆z,2222141nnxyz-грань: Bx k+1,l+ 1 ,m+ 1 − Bx k,l+ 1 ,m+ 1 ∆y∆z222 2nn+ By k+ 1 ,l+1,m+ 1 − By k+ 1 ,l,m+ 1 ∆x∆z2222 nn+ Bz k+ 1 ,l+ 1 ,m+1 − Bz k+ 1 ,l+ 1 ,m ∆x∆y.2222Приравнивая каждое выражение нулю, получаем :n+1Bx k,l+ 1 ,m+ 1 − Bx nk,l+ 1 ,m+ 12222∆t 1 1n+ 2n+Ey k,l+ 1 ,m+1 − Ey k,l+2 1 ,m22∆z nBy n+111 − By k+ 1 ,l,m+ 1k+ ,l,m+2222∆t 1 1n+ 2n+ 2Ez k+1,l,m+ 1 − Ez k,l,m+122∆x n+1Bz k+ 1 ,l+ 1 ,m − Bz nk+ 1 ,l+ 1 ,m2222∆t 1 1n+ 2n+Ex k+ 1 ,l+1,m − Ex k+ 12 ,l,m22∆yBx nk+1,l+ 1 ,m+ 1 − Bx nk,l+ 1 ,m+ 122∆x22++=− 1 1n+ 2n+ 2Ez k,l+1,m+ 1 − Ez k,l,m+122∆y,=− 1 1n+ 2n+Ex k+ 1 ,l,m+1 − Ex k+ 12 ,l,m22∆z,=− 1 1n+ 2n+Ey k+1,l+ 1 ,m − Ey k,l+2 1 ,m22∆x,nBy k+ 1 ,l+1,m+ 1 − By nk+ 1 ,l,m+ 12222∆y nBz k+ 1 ,l+ 1 ,m+1 − Bz nk+ 1 ,l+ 1 ,m222∆z2+= 0.Эти уравнения являются дискретными аналогами уравнений1 ∂B= − rot E,c ∂tdiv B = 0.142Аналогично дискретизируем уравнений δG = 0.

Значения будут задаваться на ребрах, а не на 3-гранях : 1 1n+ 2n−Dx k+ 1 ,l,m − Dx k+ 12 ,l,m22=∆tHz nk+ 1 ,l+ 1 ,m − Hz nk+ 1 ,l− 1 ,m2222∆y 1 1n+ 2n−Dy k,l+ 1 ,m − Dy k,l+2 1 ,m2−nHy k+ 1 ,l,m+ 1 − Hy nk+ 1 ,l,m− 12222∆y,2=Hx nk,l+ 1 ,m+ 1 − Hx nk,l+ 1 ,m− 1∆t2222∆z 1 1n+ 2n− 2Dz k,l,m+ 1 − Dz k,l,m+12−nHz k+ 1 ,l+ 1 ,m − Hz nk− 1 ,l+ 1 ,m2222∆x,2=∆tHy nk+ 1 ,l,m+ 1 − Hy nk− 1 ,l,m+ 12222∆x 1 1n+ 2n+Dx k+ 1 ,l,m − Dx k− 12 ,l,m22∆x+−+nHx k,l+ 1 ,m+ 1 − Hx nk,l− 1 ,m+ 1222∆y 1n+n+ 1Dy k,l+2 1 ,m − Dy k,l−2 1 ,m22∆z,2∆y 1n+ 2n+ 12Dz k,l,m+ 1 − Dz k,l,m−122= 0.Эти уравнения являются дискретным аналогом непрерывных уравнений :1 ∂D= rot H,c ∂tdiv D = 0.После исключения избыточных дивергентных уравнений и подстановки D = εE, B = µH, остающиеся уравнения совпадают со схемой143Йи [99].

Таким образом, можно считать, что метод Йи порождён гамильтоновой структурой уравнений Максвелла.C.2.Программный комплекс openEMSC.2.1.Метод конечных разностей во временной областиМетод конечных разностей в пространственно-временной области(Finite-Difference Time-Domain, FDTD) является простым и популярным методом численной электродинамики. Хотя он не является методом высокого порядка, его предпочитают во многих приложениях,потому что он сохраняет существенные структурные характеристикиуравнений Максвелла, тогда как другие методы не обладают такимсвойством.

В качестве существенной характеристики выступает сохранение уравнения ρ = div D в дискретной форме, а также стационарность электростатического решения вида E = −∇φ. Помимо простоты,к его достоинствам относится возможность получить результат для широкого спектра длин волн за один расчет, возможность задать свойстваматериала в любой точке расчетной сетки, что позволяет задавать анизотропные, дисперсные и нелинейные среды, возможность наблюдатьреальное поведение полей во времени, а также его высокая параллельная эффективность. В то же время FDTD достаточно ресурсозатратен.Изначально под FDTD понималось использование базового алгоритмаЙи для численного решения уравнений Максвелла. Сейчас FDTD включает в себя множество возможностей : моделирование сред с дисперс-144ными и нелинейными свойствами, применение различных типов сеток,использование методов постпроцессорной обработки результатов и т. д.Алгоритм ЙиАлгоритм Йи [37 ; 123] представляет собой схему дискретизацииуравнений Максвелла, записанных в дифференциальной форме.

Метод Йе является методом, реализующим выриационные интергаторы(см. C.1). Сетки для электрического и магнитного полей смещены поотношению друг к другу на половину шага дискретизации по каждойиз пространственных переменных и по времени. В результате узлы, соответствующие компонентам поля E, расположены таким образом, чтокаждый из них окружен четырьмя компонентами H, и наоборот. Длярасчета значений поля E на временном шаге n + 1/2 используются значения поля H на шаге n. Аналогичным образом значения поля H нашаге n + 1 рассчитываются с использованием значений поля E на шагеn+1/2. Такая структура сетки проистекает из того, что E и H относятсяк дуальным друг другу объектам (F и ∗ F ). Поэтому они и расположенына двух сдвинутых относительно друг друга сетках.Таким образом, конечно-разностные уравнения позволяют определить электрические и магнитные поля на данном временном шаге наосновании известных на предыдущем шаге значений полей.