Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 14

. < xI−1 < xIпо оси Ox и J точек y1 < y2 < y3 < . . . < yJ−1 < yJ по оси Oy. Сеткабудет состоять из I × J узлов с координатами (xi , yj ), где i = 1 , . . . , I, аj = 1 , . . . , J. Предположим, что разбиение выбрано так, что шаг сетки hодинаков для обеих осей. Сеточная функция uij аппроксимирует функцию u(x , y) в узлах сетки, т.е. uij ≈ u(xi , yj ) и только в точке (x0 , y0 )выполняется точное равенство.Все точки сетки можно разделить на три группы, которые выделенына рисунке C.2 разными цветами :167ui,j+1uijui−1,jui+1,jui,j−1Рис.

C.3. Шаблон численной схемы– Внутренние точки сетки i = 2 , . . . , I − 1 и j = 2 , . . . , J − 1.– Точки четырех границ сетки :– левая граница : i = 1 , j = 2 , . . . , J − 1,– правая граница : i = I , j = 2 , . . . , J − 1,– нижняя граница i = 2 , . . . , I − 1 , j = 1,– верхняя граница i = 2 , . . . , I − 1 , j = J.– Угловые точки :– левая нижняя угловая точка i = 1 , j = 1 ;– левая верхняя угловая точка i = 1 , j = J ;– правая нижняя угловая точка i = I , j = 1 ;– правая верхняя угловая точка i = I , j = J ;Перейдем к изложению алгоритма.Схема дискретизации.

В качестве темы дискретизации используется схема Годунова (противоточная разностная схема) для внутренних168точек области. Введем следующие обозначенияuxmin := min(ui−1,j , ui+1,j ),(x)+ =uymin := max(ui,j−1 , ui,j+1 )x, x > 00, x ≤ 0Группа I Точки i = 2 , . . . , I − 1 и j = 2 , . . . , J − 1[(uij − uxmin )+ ]2 + [(uij − uymin )+ ]2 = b2ij hГруппа II К этой группе относятся следующие точки :– левая граница : i = 1 , j = 2 , .

. . , J − 1 :[(u1j − u2j )+ ]2 + [(u1j − uymin )+ ]2 = b21j h,– правая граница : i = I , j = 2 , . . . , J − 1 :[(uIj − uI−1,j )+ ]2 + [(uIj − uymin )+ ]2 = b2Ij h,– нижняя граница i = 2 , . . . , I − 1 , j = 1 :[(ui1 − uxmin )+ ]2 + [(ui1 − ui2 )+ ]2 = b2ij h,169– верхняя граница i = 2 , . . . , I − 1 , j = J :[(uij − uxmin )+ ]2 + [(uiJ − ui,J−1 )+ ]2 = b2ij h.Группа II К этой группе относятся следующие точки :– левая нижняя угловая точка i = 1 , j = 1 :[(u11 − u21 )+ ]2 + [(u11 − u12 )+ ]2 = b211 h,– левая верхняя угловая точка i = 1 , j = J :[(u1J − u2J )+ ]2 + [(u1J − u1,J−1 )+ ]2 = b21J h,– правая нижняя угловая точка i = I , j = 1 :[(uI1 − uI−1,1 )+ ]2 + [(uI1 − uI2 )+ ]2 = b2I1 h,– правая верхняя угловая точка i = I , j = J :[(uIJ − uI−1,J )+ ]2 + [(uIJ − uI,J−1 )+ ]2 = b2IJ h.C.3.4.Расчёт линза ЛюнебергаЛинза Люнеберга представляет собой сферическую линзу радиусаR с центром в точке (X0 , Y0 ) (рассматриваем проекцию на плоскость1701.51.00.50.0−0.5−1.0−1.512345Рис.

C.4. Ход лучей внутри линзы Люнеберга при точечном источникеи n0 = 1Oxy) с коэффициентом преломления следующего вида r 2n0 2 − r , r 6 R,Rn(x, y) =n0 ,r > R,где r(x , y) =p(x − X0 )2 + (y − Y0 )2 – расстояние от центра линзы допроизвольной точки (x , y) плоскости. Из формулы следует, что коэф√фициент n непрерывно меняется от n0 2 до n0 начиная от центра линзыи заканчивая ее границей. Коэффициент преломления среды вне линзыпостоянен и равен n0 . Обычно полагают n0 = 1.Для решения уравнения эйконала методом характеристик, необходимо найти частные производные от функции n(x , y).

Запишем их для1711.51.00.50.00.51.01.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5Рис. C.5. Ход фронтов лучей внутри линзы Люнеберга при точечномисточнике и n0 = 1случая линзы Люнеберга :∂n(x, y)n20 (x − X0 )=− 2,∂xR n(x, y)∂n(x, y)n20 (y − Y0 )=− 2,∂yR n(x, y)r 6 R.Вне линзы производные обращаются в 0.Графически решение представлено на рисунках C.4 и C.5.C.3.5.Линза МаксвеллаЛинза Максвелла также представляет собой сферическую линзу радиуса R с центром в точке (X0 , Y0 ) (рассматриваем проекцию на плос-1721.51.00.50.0−0.5−1.0−1.51.01.52.02.53.03.54.04.5Рис. C.6. Ход лучей внутри линзы Максвелла при точечном источникеи n0 = 1кость Oxy) с коэффициентом преломления следующего вида :2n0 r 2 , r 6 R,n(x, y) = 1 + Rn ,r > R.0Для решения уравнения эйконала методом характеристик, необходимо найти частные производные от функции n(x , y).

Запишем их дляслучая линзы Максвелла :∂n(x, y)2n2 (x, y)(x − X0 ) ∂n(x, y)2n2 (x, y)(y − Y0 )=−,=−, r 6 R.∂xn0 R2∂yn0 R2Графически решение представлено на рисунках C.6 и C.7.1731.51.00.50.00.51.01.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0Рис. C.7. Ход фронтов лучей внутри линзы Максвелла при точечномисточнике и n0 = 1C.4.Применение систем компьютерной алгебрыКаждая тензорная операция сама по себе достаточно проста. Однакодаже при стандартных вычислениях приходится выполнять множествоэлементарных операций. Эти операции требуют большой внимательности и скрупулёзности. Именно поэтому в данной области актуальныразные упрощения нотации, оптимизация операций (например, тензорные диаграммы Пенроуза).Одной из задач систем компьютерной алгебры является освобождение исследователя от рутинных операций, что актуально и в случаетензорного исчисления.Каждая тензорная операция сама по себе достаточно проста.

Однако174даже при стандартных вычислениях приходится выполнять множествоэлементарных операций. Эти операции требуют большой внимательности и скрупулёзности. Именно поэтому в данной области актуальныразные упрощения нотации, оптимизация операций (например, тензорные диаграммы Пенроуза).Одной из задач систем компьютерной алгебры является освобождение исследователя от рутинных операций, что актуально и в случаетензорного исчисления.Математическое описания задачи с использованием аппаратов тензорного и векторного анализа формирует запрос на системы компьютерной алгебры со встроенными функциями тензорного исчисления.Первый этап исследований заключается в написании прототипа программы.

Это успешно реализуется в системе Cadabra. После завершения первого этапа исследований наступает второй этап, который имеетисключительную ценность для специалиста-предметника, заинтересованного в эксплуатации созданной программы. На этом этапе необходимо проведение большого числа пробных расчётов с различными наугад или планомерно изменяемыми параметрами с целью поиска наиболее интересного из допустимых или даже нового решения прикладнойпредметной задачи. На этом этапе максимально подходящей оказаласьсистема FORM.175C.4.1.Типы записи тензоровМожно выделить три типа записи тензоров : компонентная запись,запись с абстрактными индексами и безындексная запись. Каждый типимеет свою специфику и область применения.Компонентные индексы, фактически, превращают тензор в наборскалярных величин, применяемых при конкретных расчётах. Обычнооперировать с компонентными индексами есть смысл лишь после упрощения тензорного выражения и учёта всех его симметрий.Безындексную запись часто используют, если исследователя интересует не конечный результат, а симметрии тензоров.

Однако эта формазаписи страдает недостатком выразительности : тензор рассматривается как целостный объект, соответственно и симметрии возможно рассматривать лишь те, которые относятся к тензору в целом. Для работыс объектами сложной структуры приходится изобретать новые обозначения либо добавлять словесные пояснения. Эту проблему и должныснять абстрактные индексы [162].Абстрактные индексы следует рассматривать как усовершенствование безындексной записи тензора. Абстрактный индекс обозначаетлишь принадлежность тензора к определённому пространству, а не следование тензорному правилу преобразования (в отличие от компонентных индексов).

В этом случае возможно рассмотрение как симметрий,охватывающих весь тензор (все его индексы), так и симметрий отдельных групп индексов.176Три типа записи тензоров соответствуют трём видам тензорных аналитических вычислений, что приводит к определённым требованиям,предъявляемым системе компьютерной алгебры.Безындексные вычисления манипулируют с тензорами как с целостными алгебраическими объектами.

В данном случае возможно либо задание самого простейшего типа симметрии (объект является представлением какой-либо группы или алгебры), либо использование объектовс заранее заданной симметрией.Абстрактные индексы требуют возможности задания сложных типов симметрии, например, через диаграммы Юнга. Кроме того, необходимо уметь работать с немыми индексами, задавать и учитывать их приприведении к каноническому виду. Оба вида абстрактных вычисленийиспользуют информацию о симметриях для приведения к каноническому виду и упрощения тензорных выражений.Компонентные индексы требуют по сути скалярной системы компьютерной алгебры, возможно наличия простейших операций с матрицами.

Фактически задаётся конкретная система координат и метрика.Поскольку все операции производятся компонентами, теряется информация о тензоре как целостном объекте, об его симметриях. Поэтому всеоперации с симметриями и приведение к каноническому виду должныбыть выполнены на предыдущем этапе исследования.177C.4.2.Нотация тензорных операцийИспользование систем компьютерной алгебры зачастую предполагает интерактивную работу пользователя. В этом случае удобство нотации играет важнейшую роль.

Следует заметить, что исторически математическая запись тензоров следует нотации системы TEX, а именнотензор Tba записывается как T^{a}_{b}. Поэтому использование такойнотации было бы вполне естественным. Такой подход реализован в системе Cadabra. Однако Cadabra — специализированная система для тензорных вычислений. При введении тензорной нотации в системах компьютерной алгебры общего назначения следует учитывать ограниченияэтих систем (например, знак ^ обычно зарезервирован и используетсядля возведения в степень).Поскольку системы общего назначения работают с функциями, аосновной внутренней структурой данных является список, то используется функционально-списочная нотация.

В качестве имени функцииможет задаваться имя тензора, а ковариантные и контравариантныеиндексы задаются либо префиксом (например, как в xAct) :T(a,-b),либо позиционно (например, как в Maxima) :T([a],[b]).Возможно также использование ассоциативных списков, например таким образом :Tensor[Name["T"], Indices[Up[a], Down[b]]].178C.4.3.Системы тензорной компьютерной алгебрыCadabraCadabra [https ://cadabra.science/] относится к типу специализированных систем компьютерной алгебры. Область её специализации —теория поля. Поскольку сложные тензорные расчёты являются неотъемлемой частью теории поля, неудивительно, что поддержка тензорныхрасчётов находится в этой системе на высоком уровне [9 ; 41 ; 78–80 ; 94].В своей работе система Cadabra широко использует нотацию издательской системы TEX.В исходной системе Cadabra были реализованы только операции сабстрактными индексами.