Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 10

Уравнение (6.27) можно записать в виде :∂α Fβγ + ∂β Fγα + ∂γ Fαβ = F[αβ,γ] = 0.(6.28)123Доказательство. Действительно :∇α Fβγ + ∇β Fγα + ∇γ Fαβ == ∂α Fβγ − Γδαβ Fδγ − Γδαγ Fβδ + ∂β Fγα − Γδβγ Fδα − Γδβα Fγδ ++ ∂γ Fαβ − Γδγα Fδβ − Γδγβ Fαδ . (6.29)Учитывая антисимметрию тензора Fαβ и симметрию по нижним индексам символа Кристоффеля Γδαβ , мы и получим (6.28).Полученное уравнение записывается форминвариантно в произвольной системе координат. Поэтому уравнение (6.28) можно использовать вместо более общеупотребительного уравнения (6.27).6.6.2.Соотношения для метрического тензораТакже при геометризации уравнений Максвелла могут понадобиться следующие соотношения для метрического тензора.Утверждение 6.2. Для метрического тензора gαβ справедливы следующие соотношения :1 k 0 0jjkjgi k g − 00 g g= δi .g1jgi k −g0i g0k g k j = δi .g00(6.30)124Доказательство.

Выражениеgαδ g δβ = δαβприводит к следующим частным соотношениям :gi δ g δ 0 = gi 0 g 00 + gi k g k 0 = δi0 = 0,ig0δ g δ i = g00 g 0i + g0k g k i = δ0 = 0,jgi δ g δ j = gi 0 g 0j + gi k g k j = δi .(6.31)(6.32)Соотношение (6.31) перепишем в виде1gi k g k 0 ,00g1= − g0k g k i .g00gi 0 = −g 0iПодставляя (6.33) в (6.32), получаем собственно (6.30).(6.33)Это соотношение можно использовать для упрощения записи пригеометризации уравнений Максвелла.125ЗаключениеВ диссертации получены следующие результаты.1. Записаны уравнения Максвелла в различных представлениях в криволинейных координатах с учётом материальных уравнений.2. Установлено соответствие между тензорами F и G.3. Построен формализм расслоенных пространств без заранее введённой метрики на базе расслоения.4.

Записаны тензоры диэлектрической проницаемости ε и магнитнойпроницаемости µ через квадратичную метрику на базе с сигнатурой(+ , − , − , −).5. Проведена геометризация уравнений Максвелла на основе программы Плебаньского.6. Проведена геометризация уравнений Максвелла на основе лагранжиана типа Янга–Миллса.7. Результаты геометризации верифицированы с помощью геометризации Плебаньского.8.

Построена методика решения обратной задачи оптики.9. Показана обоснованность методики при сравнении с методом трансформационной оптики.10. Построен симплектический гамильтониан Максвелловской оптики.126Приложение A.Обозначения тензорныхоперацийA.1.Варианты обозначения тензорных операцийМожно выделить три типа записи тензоров : компонентная запись,запись с абстрактными индексами и безындексная запись. Каждый типимеет свою специфику и область применения.Компонентные индексы, фактически, превращают тензор в наборскалярных величин, применяемых при конкретных расчётах.

Обычнооперировать с компонентными индексами есть смысл лишь после упрощения тензорного выражения и учёта всех его симметрий.Безындексную запись используют при теоретических выкладках.Данная запись лаконична и элегантна. Однако эта элегантность связана с необходимостью придания этому типу нотации дополнительнойсемантики. Кроме того, данный вид записи накладывает ограниченияи на сложность описываемых объектов. Например, при рассмотрениисимметрий тензоров обычно рассматриваются лишь симметрии, относящиеся к тензору в целом.

При усложнении структуры объектов приходится изобретать новые обозначения, вводить новую семантику.Для придания базындексной записи всей мощности компонентнойиспользуется запись через абстрактные индексы [162]. Абстрактные ин-127дексы следует рассматривать как усовершенствование безындексной записи тензора. Также следует учитывать, что абстрактный индекс обозначает лишь принадлежность тензора к определённому пространству,а не следование тензорному правилу преобразования (в отличие от компонентных индексов).При использовании абстрактных индексов через просто индекс (например, α) обозначают абстрактный индекс. Для компонентного индекса вводят дополнительное обозначение.

Например, можно выделитьиндекс шрифтом. В нашем случае компонентные индексы обозначаютсяподчёркиванием (например, α ).Присутствие в некотором выражении компонентного индекса означает, что в него косвенным образом введён некоторый (произвольный)базис, а сами индексы подчиняются правилу суммирования Эйнштейна [16 ; 90] (суммирование по всякому численному индексу, которыйвстречается в одном члене выражения дважды : вверху и внизу).A.2.Безындексные тензорные вычисления длятеоретических построенийБезындексные вычисления обычно применяются в теоретическихпостроениях и часто противопоставляются компонентным вычислениям.

Посмотрим, как можно реализовать основные тензорные операциив безындексном случае. Обозначим векторное пространство как V, адуальное к нему пространство как V∗ . Тензорное произведение про-128странствV ⊗ V∗ ⊗ V∗ ⊗ V ⊗ V ∗(A.1)в абстрактных индексах (A.1) будет представимо какVa Vb Vc Vd V e ,или в более компактном видеVabcde .Сложение тензоровПри сложении двух тензоров валентности [ pq ]получаем тензор валентности [ pq ] :A + B = C.Сложение тензоров задаёт структуру абелевой группы.Тензорное умножение При тензорном умножении тензора A с валентностью [ pq ] на тензор D с валентностью [ rs ] получаем тензор E свалентностью p+rq+s :A ⊗ D = E.Тензорное умножение задаёт структуру некоммутативной полугруппы.129Скалярное умножение При скалярном умножении тензора A валентности [ pq ] и тензора D с валентности [ rs ] получаем тензор E валентности p+r−1q+s−1 :AyD = E.Операция свёртки тензораОбозначим операцию свёртки тензорапо последним индексам через Sp.

Тогда под действием этой операциитензор F с валентностью p+1q+1 переходит в тензор G с валентностью[ pq ] :Sp F = G.Можно ввести у операции Sp модификатор, указывающий, по какиминдексам производится свёртка, например :Sp12 : V ⊗ V∗ ⊗ V∗ ⊗ V ⊗ V∗ → V∗ ⊗ V ⊗ V∗ ,∗∗∗∗(A.2)∗Sp15 : V ⊗ V ⊗ V ⊗ V ⊗ V → V ⊗ V ⊗ V.В абстрактных индексах варажения (A.2) можно записать следующим образом :Sp12 : Vabcde → Vcde ,Sp12 : Aabcde 7→ Aaacde ,Sp15 : Vabcde → Vbcd ,Sp15 : Aabcde 7→ Aabcda .130Операция перестановки индексов Операцию перестановки индексов можно задать с помощью простой симметрии τσ , ассоциированнуюс некоторой перестановкой σ.

Например :τ(12) : V ⊗ V,τ(12) (v ⊗ w) = w ⊗ v.Например, с помощью данной операции можно записать тождествоБьянки для тензора Римана :R = Rabcd ∈ Vabcd = V∗ ⊗ V∗ ⊗ V∗ ⊗ V,R + τ(123) R + τ(132) R = 0.Это же в абстрактных индексах записывается следующим образом :Rabcd + Rcabd + Rbcad = 0.A.3.Векторные вычисленияВекторное исчисление — простейший вариант тензорного исчисления (вектор — тензор валентности один). Для описания вектора an размерности N необходима следующая совокупность :– набор компонент n = 1, N . Конкретный вид этого набора зависит отот выбранного базиса ;– линейный закон преобразования компонент при изменении базиса.Часто используемые операции — построение разнообразных дифферен-131циальных операторов и замена базиса. Наиболее распространённые операторы : градиент, дивергенция, ротор (специфична для трёхмерногопространства R3 ) (см.

раздел 6.4).Для компонентных расчётов необходимо определить базис, метрикуи связность (а соответственно и ковариантную производную). В векторном исчислении широкое распространение получил голономный базис [127 ; 166]. В голономном базисе базисные вектора в касательномрасслоении T M суть совокупность частных производных от координат,δii =∂.∂xiДуальный базис в кокасательном расслоении T ∗ M строится из 1-форм :iδi = dxi .Связность и метрика строятся таким образом, чтобы ковариантная производная от метрики равнялась нулю :∇k gij = 0.В этом случае связность и метрика считаются согласованными [166].Следует заметить, что в векторных вычислениях также часто используется специальный неголономный базис, позволяющий не различать контравариантные и ковариантные вектора, сохранять размер-132ность при замене координат (например, при преобразовании координатдлина переходит в длину, угол в угол и т.

д.) :iδi =∂,∂siδii = dsi ,idsi = hj dxj .iЗдесь dsi — элемент длины по соответствующей координате, hj — коэффициенты неголономности. В случае ортогональных координат коэффициенты неголономности переходят в коэффициенты Ламе [155] (см.также раздел 6.3).A.4.Тензорные вычисления в общей теории отно-сительностиОбщая теория относительности стала первой физической теорией, потребовавшей всю мощь дифференциальной геометрии и тензорных вычислений. В вычислениях возникают громоздкие тензорныеконструкции, которые можно упрощать, учитывая симметрии тензоров.

Обычно выделяют одноэлементные (monoterm) и многоэлементные(multiterm) симметрии. Одним из основных элементов теории являетсятензор Римана, обладающий как простейшими одноэлементными, таки сложными многоэлементными симметриями типа тождеств Бьянки.Одноэлементные симметрии соответствуют простым перестановочным симметриям и задаются группой перестановок. Например, для тен-133зора Римана [90] имеем :Rbacd = −Rabcd ,Rcdab = Rabcd .Многоэлементные симметрии задаются алгеброй перестановок.Тождество Бьянки имеет вид (круглые скобки в (A.3) обозначают симметризацию) :Ra(bcd) = Rabcd + Racdb + Radbc = 0.(A.3)Дифференциальное (второе) тождество Бьянки имеет вид (точка сзапятой в (A.4) означает ковариантную производную) :Rab(cd;e) = ∇e Rabcd + ∇c Rabde + ∇d Rabec = 0.(A.4)Симметрии наиболее естественно задавать с помощью диаграммЮнга [114 ; 182]. Причём наличие предопределённых классов тензоровне отменяет необходимость в явном задании симметрии.

Так, тензорРимана Rabcd в разных источниках имеет разные симметрии, а именноa cb d[90 ; 153] илиa bc d[162].134Приложение B.B.1.Системы измеренияОбоснование применения системы СГСОбычно в науке и образовании используется международная система единиц (система СИ). Электромагнитные единицы системы СИ заимствованы из системы единиц МКСА (Метр, Килограмм, Секунда,Ампер). Эта система была основана на уравнениях, соответствующихнаучным воззрениям на электромагнитное поле середины XIX века, основанных на идеях существования светоносного эфира. Эфир, как идругие вещества, должен обладать диэлектрической и магнитной проницаемостями. Место эфира позднее занял вакуум.