Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1154392), страница 5

Файл №1154392 Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике) 5 страницаДиссертация (1154392) страница 52019-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Тогда матрица Якоби будет иметь следующий вид∂x ∂ri00∂xiJi ==  ∂yi ∂r∂x∂z∂r∂x∂ϑ∂y∂ϑ∂z∂ϑ∂x∂ϕ sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ −r sin ϑ sin ϕ ∂y =.sinϑsinϕrcosϑsinϕrsinϑcosϕ∂ϕ  ∂zcosϑ−rsinϑ0∂ϕМетрический тензор:i0j0gi j = gi0 j 0 Ji Jj0 1 02= 0 r0 ,0 0 r2 sin2 ϑ49gi j1i0 j 0 i j= g Ji0 Jj 0 = 00√001r201r2 sin2 ϑ0g = r2 sin ϑ.Коэффициенты Ламе:h1 ≡ hr = 1,h2 ≡ hϑ = r,h3 ≡ hϕ = r sin ϑ.Символы Кристоффеля (не равные нулю):Γ122 = −r,Γ133 = −r sin2 ϑ,1Γ221 = Γ212 = Γ313 = Γ331 = ,rΓ233 = − cos ϑ sin ϑ,Γ323 = Γ332 = ctg ϑ.Соотношение между голономным (тензорным) и неголономным(векторным) базисами (см. (6.13) и (6.14)):000f r = f r,f ϑ = rf ϑ ,f ϕ = r sin ϑf ϕ ,fr 0 = fr ,1f ϑ 0 = fϑ ,rfϕ0 =1fϕ .r sin ϑ50Дифференциальные операторы в голономном базисе:∂f r ∂f ϑ ∂f ϕδ +δ +δ ;∂r i ∂ϑ i∂ϕ i11div f = 2 ∂r r2 f r +∂ϑ sin ϑf ϑ + ∂ϕ (f ϕ ) ;rsin ϑ1(rot f)i = 2[∂ϑ fϕ − ∂ϕ fϑ ] δri +r sin ϑ11+ 2[∂ϕ fr − ∂r fϕ ] δϑi + 2[∂r fϑ − ∂ϑ fr ] δϕi .r sin ϑr sin ϑ(grad f )i =Дифференциальные операторы в неголономном базисе:∂f r0 1 ∂f ϑ01 ∂f ϕ0(grad f )i =δi +δi +δ ;∂rr ∂ϑr sin ϑ ∂ϕ i1 2 r0 1ϑ0div f = 2 ∂r r f +∂ϑ sin ϑf+rr sin ϑ 01+∂ϕ f ϕ ;r sin ϑ1(rot f)i =[∂ϑ (sin ϑfϕ0 ) − ∂ϕ fϑ0 ] δri 0 + r sin ϑ111+∂ϕ fr0 − ∂r (rfϕ0 ) δϑi 0 + [∂r (rfϑ0 ) − ∂ϑ fr0 ] δϕi 0 .r sin ϑrЗапишем уравнения Максвелла в сферических координатах (r, ϑ, ϕ).i1 h1∂E−∂E=−∂t B i , i , j , k = 1, 3,jkkj2r sin ϑchi114π∂j Hk − ∂k Hj = − ∂t Di + j i , i , j , k = 1, 3,2r sin ϑcc12i∂rsinϑD= 4πρ, i = 1, 3,ir2 sin ϑ12i∂rsinϑB= 0, i = 1, 3.ir2 sin ϑ51После преобразований окончательно получаем:11[∂E−∂E]=−∂t B 1 ,ϑ3ϕ22r sin ϑc11[∂ϕ E1 − ∂r E3 ] = − ∂t B 2 ,2r sin ϑc11[∂E−∂E]=−∂t B 3 ,r2ϑ12r sin ϑc114π[∂ϑ H3 − ∂ϕ H2 ] = − ∂t D1 + j 1 ,2r sin ϑcc114π 22[∂H−∂H]=−∂D+j ,ϕ1r3tr2 sin ϑcc114π[∂r H2 − ∂ϑ H1 ] = − ∂t D3 + j 3 ,2r sin ϑcc2 1D + ∂r D1 + ctg ϑD2 + ∂ϑ D2 + ∂ϕ D3 = 4πρ,r2 1B + ∂r B 1 + ctg ϑB 2 + ∂ϑ B 2 + ∂ϕ B 3 = 0.r52Глава 3.Геометризация электромагнит-ного поляАппарат дифференциальной геометрии являлся основным языкомфизики XX-го века.

Его базовые элементы развивались в рамках общейтеории относительности. Возникает желание применить этот развитыйи к другим областям физики, в частности к оптике.Первые попытки применения методов дифференциальной геометрии в электродинамике следует отнести к публикациям И.

Е. Тамма [101; 172; 173]. В 1960 году Е. Плебанский предложил метод геометризации материальных уравнений электромагнитного поля [17; 58; 59;87], ставший классическим. Все последующие работы либо использовали его, либо пытались немного подправить, не меняя идеологии [104].3.1.Уравнения Максвелла в средеПри наличии среды претерпевает изменения лишь группа уравненийМаксвелла, содержащая связанные заряды, а именно уравнение (2.7).Помимо самих уравнений Максвелла (2.6) и (2.7) необходимо добавитьуравнения связи между тензорами F αβ и Gαβ .533.1.1.Тензор приницаемостейТензоры Fαβ и Gαβ имеют смысл кривизны в кокасательном (T ∗ X)и касательном (T X) расслоениях.

Связь между этими величинами задаётся следующим образом:Gαβ = λ(Fγδ ).(3.1)В линейном случае соотношение (3.1) можно задать как [161; 174;179]Gαβ = λαβγδ Fγδ .Будем считать, что λ задаёт на X некоторую эффективную метрику.Будем считать, что отображение λ : Λ2 → Λ2 линейное и локальное.Тогда его можно представить в следующем виде:Gαβ = λαβγδ Fγδ ,(3.2)здесь λαβγδ — тензор приницаемостей, содержащий информацию как обдиэлектрической и магнитной проницаемостях, так и об электромагнитной связи [101; 152; 172; 174].Заметим, что линейный, нелокальный случай при наличии трансляционной симметрии сводится к линейному локальному случаю с помощью преобразования Фурье.А именно, запишем нелокальную линейную связь между F и G сле-54дующим образом:Zλ(x, s) ∧ F (s).G(x) =(3.3)Тогда, предполагая наличие трансляционной инвариантностиλ(x, s) = λ(x − s),запишем связь между F и G (3.3):Gαβ (ω, ki ) = λαβγδ (ω, ki )Fγδ (ω, ki ).Из (3.2) видно, что λαβγδ имеет следующую симметрию:λαβγδ = λ[αβ][γδ]Для уточнения симметрии, тензор λαβγδ можно представить в следующем виде [24; 32; 75; 89]:λαβγδ = (1) λαβγδ + (2) λαβγδ + (3) λαβγδ ,(1) αβγδ= (1) λ([αβ][γδ]) ,(2) αβγδ= (2) λ[[αβ][γδ]] ,λλ(3) αβγδλ= (3) λ[αβγδ] .Очевидно, что λαβγδ имеет 36 независимых компонент,20 независимых компонент,(2) αβγδλ(1) αβγδλимеетимеет 15 независимых компонент,55(3) αβγδλимеет 1 независимую компоненту.Далее будем рассматривать только часть(1) αβγδλ.Запишем материальные уравнения:Di = εij Ej + (1) γji B j ,Hi = µ−1 ij B j + (2) γij Ej ,(3.4)где εij и µij — тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей,(1) iγjи(2) iγj— перекрёстные члены.Учитывая структуру тензоров Fαβ (4.2) и Gαβ (4.3), а также уравнения связи (3.4), запишемF0 i = E i ,ijGij k= −εHk ,G0 i = −Di ,(3.5)kFi j = −εi j k B .Из (3.4) и (3.5) выпишем структуру тензора λαβγδ :λ0i 0j = εi j /2,λi j m n = εi j k εl m n (µ−1 )l k /2.λ0i j k =λi j k l = 0.Считая, что в вакууме диэлектрическая и магнитная проницаемостьимеют вид:εij := δ ij ,µij := δ ij ,56получим, что в вакууме уравнения связи (3.4) принимают видDi = E i,3.1.2.B i = H i,Gαβ = F αβ .(3.6)Уравнения связи для движущихся средМинковским были выведены уравнения связи для изотропных движущихся сред [68; 132] (уравнения Минковского для движущихся сред).Пусть uα — 4-скорость среды.

Считая диэлектрическую и магнитнуюпроницаемости ε и µ скалярами, можно записатьGαβ uβ = εF αβ uβ ,∗F αβ uβ = µ ∗ Gαβ uβ .(3.7)В трёхмерном виде уравнения (3.7) принимают следующий вид:iiD =ε E +huj−hujii, Hk =huiiji= εE + (εµ − 1), Hk ,chuii h uiijjiiB =µ H −, Dk+, Ek =cchuiiji= µH − (εµ − 1), Ek .cc, Bkii c(3.8)Тамм расширил уравнения (3.8) для анизотропного случая [101;172], а именно, считая, что диэлектрическая и магнитная проницае-57мости имеют видiεj = diag(ε11 , ε22 , ε33 ),iµj = diag(µ11 , µ22 , µ33 ),и вектор скорость ui системы отсчёта параллельно одной из главныхосей анизотропии. Тогда уравнения Минковского для движущихся средприобретут следующий вид:huil h uiijjiilD = εl E +, Bk−, Hk ,cchuil h uiijjiilB = µl H −, Dk+, Ek .cc3.2.Геометризация ПлебаньскогоПлебаньским была предложена простейшая геометризация уравнений Максвелла [17; 87].

Однако в оригинальной статье сразу даны финальные формулы, а принципы и методы их получения остаются непрояснёнными. Авторы постарались явно выписать методику, которую понашему мнению использовал Плебаньский, а также подробно провестивычисления.Основная идея геометризации по Плебаньскому заключается в следующем:1. Записать уравнения Максвелла в среде в пространстве Минковского.2. Записать вакуумные уравнения Максвелла в эффективном римановом пространстве.583. Приравнять соответствующие члены уравнений.В результате мы получим выражение диэлектрической и магнитнойпроницаемостей через геометрические объекты.3.2.1.Геометризация в декартовых координатахЗапишем уравнения Максвелла в среде в декартовых координатах сметрическим тензором diag(1, −1, −1, −1):∂α Fβγ + ∂β Fγα + ∂γ Fαβ = 0,αβ∂α G4π β=j .c(3.9)Теперь запишем вакуумные уравнения Максвелла в эффективномримановом пространстве с метрическим тензором gαβ (относящиеся кним величины пометим тильдой):∂α F̃βγ + ∂β F̃γα + ∂γ F̃αβ = 0,√ 4π1αβ√ ∂α−g G̃=j̃ β .−gc(3.10)В вакууме будет верно следующее соотношение (см.

(3.6)):F̃αβ = G̃αβ .(3.11)Подымая индексы в (C.3), получимG̃αβ = g αγ g βδ F̃γδ .(3.12)59Сравнивая почленно (C.1) и (C.2), с учётом (C.4) получим:√Fαβ = F̃αβ ,j α = −g j̃ α ,√Gαβ = −gg αγ g βδ Fγδ .(3.13)(3.14)Уравнения (C.6) собственно и являются искомыми 4-мерными геометризованными уравнениями связи (3.4). Следуя методике Плебаньского мы должны получить явный вид для трёхмерных уравнений связи (3.4).Формула для вектора электрической индукцииПерепишем выражение (C.6) в виде:1Fαβ = √ gαγ gβδ Gγδ−g(3.15)и будем искать значение компонент F0i , учитывая (4.2) и (4.3):1F0i = Ei = √ g0γ giδ Gγδ =−g11=√g0j gi0 Gj0 + g00 gij G0j + √ g0j gik Gjk =−g−g111= √ g00g0j gi0 − gij Dj − √ g0j gik εjkl Hl .

(3.16)−gg00−gДля компонент индукции Di применим соотношение (6.30) и получим:√iD =−−g ij1 ijkg Ej +ε gj0 Hk .g00g00(3.17)60Из (C.8) можно формально выписать выражение для диэлектрической проницаемости:√ijε =−−g ijg .g00При этом смысл второго члена в (C.8) нуждается в дальнейшем уточнении.Формула для вектора магнитной индукцииДля получения выражения для вектора магнитной индукции будемиспользовать тензоры (2.10) и (2.11).

Опуская индексы у ∗ Gαβ в выражении (C.6) и применяя соотношения (2.8) и (2.9), получаем:∗Gαβ =√−ggαγ gβδ ∗ F γδ .(3.18)Будем искать значения компонент ∗ G0i :∗G0i =√√−gHi = −gg0γ giδ ∗ F γδ = √√= −g g0j gi0 ∗ F j0 + g00 gij ∗ F 0j + −gg0j gik ∗ F jk =√11= −gg00g0j gi0 − gij √ B j −g00−g√1− −gg0j gik εjkl √ El . (3.19)−gПрименяя соотношение (6.30), получим для B i следующее выраже-61ние:√iB =−−g ij1 ijkg Hj −ε gj0 Ek .g00g00(3.20)Из (C.9) можно формально выписать выражение для магнитнойпроницаемости:√ijµ =−−g ijg .g00(3.21)Таким образом геометризованные уравнения связи в декартовых координатах имеют следующий вид:Di = εij Ej + εijk wj Hk ,B i = µij Hj − εijk wj Ek ,√√−g−g ijεij = −g ij , µij = −g ,g00g00(3.22)wi =gi0.g00Эти уравнения и были приведены в исходной статье [87]. Теперь мыможем считать выполненной нашу задачу по восстановлению методикиПлебаньского.Интерпретация члена электромагнитного взаимодействияВ уравнениях (3.22) член электромагнитного взаимодействия у Плебаньского никакого истолкования не получает.

Однако Леонгард предложил интерпретировать его как скорость движения геометризованной системы отсчёта [59]. Действительно, на основании (3.8) уравне-62ния (3.22) можно переписать в виде:iijD = ε Ej +hujii, Hk ,chuiijiijB = µ Hj −, Ek ,cp√√3g−g−ggci0εij = −g ij , µij = −g ij , ui =,g00g00g00 n2 − 1где ui — трёхмерная скорость движения системы отсчёта, 3 g = detgij —определитель пространственной части метрического тензора gαβ , n =√εµ — показатель преломления.3.2.2.Геометризация в криволинейных координатахРасширим теперь область применения полученных формул за счётзаписи уравнений Максвелла в произвольных криволинейных системахкоординат.

Характеристики

Список файлов диссертации

Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее