Диссертация (1154392), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В то время какв лагражевом формализме калибровочное условие вводится из некоторых внешних соображений. Однако использование гамильтонового9формализма в полевых задачах затруднено из-за нерегулярности полевых лагранжианов. Действительно, можно установить однозначное соответствие между гамильтонианом и лагранжианом в случаегиперрегулярного лагранжиана, что не выполняется в калибровочноинвариантных теориях поля.
В случае нерегулярного лагранжианаприменяется обычно гамильтонов формализм со связями, использование которого связано с определёнными трудностями.Задачи диссертационной работы1. Для применения методов дифференциальной геометрии к уравнениям Максвелла необходимо последовательно записать разные представления уравнений Максвелла в криволинейных координатах.2.
Необходимо установить топологическую природу связи тензоровэлектромагнитного поля F и G.3. Необходимо установить топологическую природу материальныхуравнений Максвелла, а именно тензора проницаемостей λ, и соответственно тензора диэлектрической проницаемости ε и магнитнойпроницаемости µ.4. Для этого необходимо реализовать структуру расслоения без предварительного задания метрической структуры на базе.5. Необходимо конкретизировать данную конструкцию на случай квадратичной метрики, заданной на базе.6. Необходимо произвести геометризацию уравнений Максвелла исходяиз структуры лагранжиана типа Янга–Миллса.107. Необходимо проверить состоятельность полученной конструкции наоснове сравнения с геометризацией Плебаньского.8. Необходимо построить методику решения обратной задачи оптики.9. Необходимо показать, что полученная конструкция обосновываетметоды трансформационной оптики.10.
Разрешение проблемы вырожденности полевого лагранжиана теории Максвелла при переходе к гамильтонову формализму.Результаты, выносимые на защиту1. Записаны уравнения Максвелла в различных представлениях в криволинейных координатах с учётом материальных уравнений.2. Установлено соответствие между тензорами F и G.3. Построен формализм расслоенных пространств без заранее введённой метрики на базе расслоения.4. Записаны тензоры диэлектрической проницаемости ε и магнитнойпроницаемости µ через квадратичную метрику на базе с сигнатурой(+, −, −, −).5. Проведена геометризация уравнений Максвелла на основе программы Плебаньского.6. Проведена геометризация уравнений Максвелла на основе лагранжиана типа Янга–Миллса.7. Результаты геометризации верифицированы с помощью геометризации Плебаньского.8.
Построена методика решения обратной задачи оптики.119. Показана обоснованность методики при сравнении с методом трансформационной оптики.10. Построен симплектический гамильтониан Максвелловской оптики.Научная новизна1. В работе систематизирована запись различных представлений уравнений Максвелла в криволинейных координатах общего вида в квадратичной (псевдоримановой) метрике.2. Построение формализма расслоенных пространств без предварительно введения метрики на базе расслоения для уравнений Максвелла и установление соответствия между тензорами F и G.3.
Приведена реализация соответствия между тензорами F и G на основе квадратичной (псевдоримановой) метрики на базе расслоения.4. Соответствие между тензорами F и G реализовано с использованиемлагранжиана Янга–Миллса.5. Задачи проектирования оптических приборов формализованы в терминах геометризованных уравнений Максвелла.6. Построены алгоритмы решения задач проектирования оптическихприборов с помощью геометризованных уравнений Максвелла.7. Построен симплектический гамильтониан максвелловской оптики.Практическая значимостьРазработанные методики позволяют формализовать задачи проектирования волновой и максвелловской оптики однообразным способом,12что, в свою очередь, позволяет выделять подзадачи и алгоритмизировать их решение при реализации на компьютере.
А также использовать предыдущие исследования при уточнении моделей при ответ навозрастающие требования. Всё это позволяет реализовать процесс проектирования оптических приборов и систем в форме вычислительногоэксперимента, включающего этап верификации с экспериментальнымиизмерениями.Результаты диссертации использованы при создании курса «Разностные методы расчёта оптических наноструктур», обеспечивающегореализацию магистерской программы «Математическое моделированиеоптических наноструктур» и предназначенного для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика».Методы исследованияВ работе использовались методы дифференциальной геометрии (риманова геометрия, теория расслоенных пространств, теория когомологий).Обоснованность и достоверность результатовОбоснованность результатов диссертации следует строгих математических методов дифференциальной геометрии (риманова геометрия, теория расслоенных пространств, теория когомологий), зарекомендовавших себя пакетов символьных вычислений (Cadabra, Maxima,SymPy), а также математических пакетов численных вычислений13(NumPy).Достоверность подтверждается совпадением полученных в работерезультатов с результатами работ Плебаньского, Пендри, Леонгарда идр.Апробация работыОсновные результаты диссертации докладывались на следующихконференциях:– The 15th small triangle meeting of Theoretical Physics.
Stará Lesná,Slovakia, 2013 [49].– 54-ая научная конференции МФТИ «Проблемы фундаментальныхи прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика.Москва, 2011 [137].– 14-th Workshop on Computer Algebra. Дубна, 2011 [139].– Девятнадцатая Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2012 [142].– Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012. Москва, 2012 [138].– Научная сессия НИЯУ МИФИ-2014. Москва, 2014 [145].– Научная сессия НИЯУ МИФИ-2015. Москва, 2015 [146].– IV международная конференция «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование». Москва,2016 [148].14– Mathematical Modeling and Computational Physics (MMCP-2013).Дубна, 2013 [44].– International Conference on Mathematical Modeling and ComputationalPhysics (MMCP-2015).
Stará Lesná, Slovakia, 2015 [45].– Компьютерная алгебра. Москва, 2016 [149].– Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети:управление, вычисление, связь (DCCN-2016). Москва, 2016 [129].– Saratov Fall Meeting 2016: Laser Physics and Photonics XVII andComputational Biophysics and Analysis of Biomedical Data.
Саратов,2016 [51–53].Также основные результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:– Cеминар «Компьютерная алгебра» факультета ВМК МГУ и ВЦРАН.– Семинар «Математические методы в естественных науках» кафедрыматематики физического факультета МГУ.– Семинар «Математическое моделирование» кафедры прикладнойинформатики и теории вероятностей РУДН.ПубликацииОсновные положения диссертации опубликованы в 29 печатных работах, из них 17 — статьи в рецензируемых журналах, рекомендованныхВАК [41; 46–48; 50–54; 94; 140; 141; 143; 144; 147; 150; 185].15Личный вклад автораСодержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.16Глава 1.Обзор исследованийПосле работ по общей теории относительности стало ясно, что общаятеория относительности не полна.
В рамках общей теории тносительности удалось геометризовать только гравитационное взаимодействие.Ещё одно взаимодействие, электромагнитное, оставалось не геометризованным. Таким образов возникла идея о построении единой теорииполя [154; 180].Поскольку общая теория относительности является наиболее развитой из современных геометрических теорий, то при исследовании проблемы геометризации уравнений Максвелла необходимо уделять особое внимание общей теории относительности и связанным с ней теориям [167—169].
В рамках общей теории относительности исследованодостаточно большое количество решений уравнений гравитационногополя [74; 102; 158].Основным инструментарием общей теории относительности является дифференциальная геометрия.Первое направление геометризации электромагнитной теории — этогеометризация самих полевых уравнений.Один из вариантов геометризации электромагнетизма был предложен Г. Вейлем [19; 111]. В теории Г. Вейля электромагнитное поле вводится как калибровочное преобразование, изменяющая связность Кри-17стоффеля.Другим крупным течением была теория Калуцы–Клейна [36; 88;165]. В данной теории к 4-мерному риманову пространству добавлялось1-мерное пространство электромагнитной теории.
В результате получалось 5-мерное пространство.Второе направление — геометризация материальных уравненийМаксвелла. Первый всплеск интереса к этому направлению произошёлв 20-х годах XX-го века, на волне интереса к общей теории относительности. В первую очередь стоит обратить внимание на серию статейИ. Е.
Тамма (под влиянием и с участием Л. И. Мандельштамма) [101;172; 173]. Эти работы можно считать программными для данного направления. Кроме того, следует отметить статью В. Гордона [25].Следующий всплеск интереса к теме геометризации материальных уравнений Максвелла проявился в 1960-х годах и в первой половине 1970-х годов (во время золотого века теории относительности).В первую очередь это работы И. Плебаньского [87], Е. Поста [89],Ф. де Феличе [17], М. Лакса и Д. Ф.
Нельсона [55]. Впрочем, нельзяне признать, что данные работы были более похожи на игру с математическими формулами, нежели на обоснованную теорию.Долгое время эти результаты не находили широкого применения.Некоторые элементы этих работ были использованы для описания гравитационных линз [131].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
