Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГООБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТДРУЖБЫ НАРОДОВ»На правах рукописиКулябов Дмитрий СергеевичКомпьютерная реализациягеометрических методов в максвелловскойоптикеСпециальность 05.13.18 — математическое моделирование, методывычислений и комплексы программДиссертация на соискание учёной степенидоктора физико-математических наукНаучный консультантд.ф.-м.н., профессорЛ. А. СевастьяновМосква — 20172ОглавлениеВведение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Глава 1.Обзор исследований . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Глава 2.Представления уравнений Максвелла . . . . . . . 212.1.КовариантнаязаписьуравненийМаксвеллачерез3-векторы . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.КовариантнаязаписьуравненийМаксвеллачерез4-векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.Комплексное представление уравнений Максвелла . . . . . 292.4.Импульсное представление уравнений Максвелла . . . . .

. 332.5.Спинорная запись уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . 362.6.Представления уравнений Максвелла через дифференци-альные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7.Реализация уравнений Максвелла в некоторых системахкоординат. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Глава 3.Геометризация электромагнитного поля . . . . . . 523.1.Уравнения Максвелла в среде . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.Геометризация Плебаньского . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.Геометризация Тамма . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 643Глава 4.Гамильтонов подход к уравнениям Максвелла . . 734.1.Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2.Лагранжиан электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . 734.3.Гамильтониан электромагнитного поля . . . . . . . . . . . 764.4.Построение симплектического гамильтониана . . . . . . . . 78Глава 5.Расчёт оптических приборов . . . . . . . .

. . . . . 885.1.Обратная задача оптики. Трансформационная оптика . . . 895.2.Прямая задача оптики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Глава 6.Элементы математического формализма . . . . . 1016.1.Векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2.Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3.Связь голономного и неголономного базисов при записивекторов .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.Ковариантная тензорная запись дифференциальных опе-раторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.5.Спинорный формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.6.Вспомогательные соотношения для геометризации уравне-ний Максвелла . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Приложение A.A.1.Обозначения тензорных операций . . . . . 126Варианты обозначения тензорных операций. . . . . . . . . 1264A.2.Безындексные тензорные вычисления для теоретическихпостроений . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.3.Векторные вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130A.4.Тензорные вычисления в общей теории относительности . . 132Приложение B.B.1.Системы измерения. . . . . . . . . . . . . . 134Обоснование применения системы СГС . . . . . . . . . . . 134Приложение C.Инструментарий компьютерного моде-лирования. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137C.1.Вычислительные методы на основе интеграторов . . . . . . 137C.2.Программный комплекс openEMS . . . . . . . . . . . . . . 143C.3.Численное решение уравнения эйконала методом харак-теристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 159C.4.Применение систем компьютерной алгебры . . . . . . . . . 173Список иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025ВведениеОбщая характеристика работыАктуальность темы исследованияАвтором проводится построение геометрического описания уравнений Максвелла в терминах расслоенных пространств. Проводится описание разных вариантов тензора проницаемостей и, соответственно,предлагаются варианты геометризации уравнений Максвелла. В частности выделяется вариант геометризации на основе квадратичной метрики, приводящий к уравнениям Янг–Миллсовского типа.Также предлагается переформулировка задачи построения гамильтонова формализма уравнений Максвелла для случая полей без источников, что позволяет использовать симплектический гамильтонов формализм.Описанный формализм демонстрируется в применении к задачамтрансформационной оптики и расчёта линз.

Аналитические расчётыверифицируются с помощью численных методов.Имея в виду практическую задачу проектирования оптических приборов и устройств субволнового диапазона мы занялись проблемой геометризации уравнений оптики разного уровня: геометрической оптики,волновой скалярной оптики, уравнений Максвелла.

Максвелловская оп-6тика учитывает векторный характер электромагнитного излучения воптическом диапазоне.Для проведения расчётов в области оптики (расчёт линз, трансформационная оптика) и электродинамики в целом перспективным представляется метод геометризации уравнений Максвелла. При этом можно геометризовать как само поле, так и взаимодействие поля с веществом. Основная идея заключается в переводе материальных уравненийМаксвелла, а именно диэлектрической и магнитной проницаемости, вэффективную геометрию пространства-времени.В XIX-ом и XX-ом веках идея геометризации являлась одной из магистральных идей физики.

Геометризацией электромагнитного поля занималось большое количество учёных. Работы Вейля, Тамма, Калуцы–Клейна находились в русле исследований единой теории поля. Однакоэлектромагнитное поле в данных работах рассматривалось как электромагнитное поле в вакууме, то есть влияние среды не учитывалось.Были разработаны конструкции с одним полевым тензором. Поэтомумногие идеи данных исследователей были восприняты теорией Янга–Миллса.Однако при описании электромагнитного поля обычно используют два тензора.

Для обобщения этих конструкций на полевую теориюс двумя тензорами, необходимо понять и геометризовать взаимосвязьмежду ними, а перед этим необходимо понять природу обоих тензоров.Создаётся впечатление, что на некотором многообразии одновременнозаданы два касательных расслоения, связанных каким-то образом меж-7ду собой, на которых и заданы тензоры F и G.Кроме того, существовало направление, занимавшееся геометризацией собственно материальных уравнений. Это работы Мандельштама,Тамма, Плебаньского, де Феличе и др. Это направление развивалось безчётко сформулированных идейных и целевых посылок.

Оно нашло своёприменение в приложении к теории гравитационных линз, а позднее вприменении к трансформационной оптике. В обоих приложениях результирующие конструкции были слишком формальными. Например,в публикациях по трансформационной оптике эта реализация являетсянабором рецептов, сделанных под конкретные случаи. Что, естественно,приводит к появлению статей, пытающихся обосновать (или переформулировать) трансформационную оптику.Впрочем, также существует направление, занимающееся геометризацией ради самой геометризации.Первый аспект геометризации уравнений оптики заключается в геометризации материальных уравнений Максвелла.

Второй аспект геометризации уравнений оптики заключается в последовательном геометрическом подходе к решению уравнений Максвелла, а именно к лагранжеву и гамильтонову подходам.Однако в открытой печати, к сожалению, не решены систематическипроблемы геометризации уравнений оптики (геометрической, волновой,максвелловской).Это делает актуальным диссертационное исследование.8Цели диссертационной работы1. Получение геометризованных уравнений Максвелла. Одной из целей диссертации является получение геометризованных уравненийМаксвелла.

Геометризация материальных уравнений Максвелла позволяет изменить взгляд на прямую и обратную задачу оптики. Нахождение траектории лучей по параметрам среды можно назватьпрямой задачей оптики, а нахождение параметров среды по заданным траекториям лучей — обратной. И обратная задача сложнеепрямой. В геометризованой оптике эти задачи меняются местами.Прямая задача — нахождение диэлектрической и магнитной проницаемости по заданной эффективной геометрии (по траекториямлучей), обратная — нахождение эффективной геометрии по диэлектрической и магнитной проницаемости.

Сложность обеих задач сопоставимая.2. Реализация геометрического подхода к решению полевых уравненийМаксвелла. Второй целью диссертации является реализация геометрического подхода к решению собственно полевых уравнений Максвелла. При решении полевых задач, в частности задач электродинамики, используются лагранжев и гамильтонов формализмы. Полевой гамильтонов формализм имеет то преимущество перед лагранжевым, что уже содержит калибровочное условие.