Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 7

Для этого перепишем уравнения (2.3) в следующем виде:∂t Bi = −ceijk ∇j E k , ∂t Di = ceijk ∇j Hk ,∇i Bi = 0,∇ Di = 0.iВидно, что вторая пара уравнений нарушает условие применимостиметода. Однако, можно показать, что в случае отсутствия источниковэти уравнения линейно зависят от остальных уравнений Максвелла.Для этого запишем первое и второе уравнения в компонентном виде:11p [E3,2 − E2,3 ] = − ∂t B 1 ,3gc11p [E1,3 − E3,1 ] = − ∂t B 2 ,3gc11p [E2,1 − E1,2 ] = − ∂t B 3 .3gc(4.8)811p [H3,2 − H2,3 ] =3g1p [H1,3 − H3,1 ] =3g1p [H2,1 − H1,2 ] =3g1∂t D1 ,c1∂t D2 ,c1∂t D3 .c(4.9)И вторые два уравнения распишем аналогичным образом:pppi11 h p3 1 i23333p ∂igB = p∂1gB + ∂2gB + ∂3gB= 0,3g3g(4.10)pppi11 h p3 1 i23333p ∂igD = p∂1gD + ∂2gD + ∂3gD= 0.3g3g(4.11)Дифференцируя обе части уравнений (4.8) и (4.9) получаем (считая,что g не зависит от времени):E3,21 − E2,31E1,32 − E3,12E2,13 − E1,23p113= − ∂t ∂1gB ,cp123= − ∂t ∂2gB ,cp133= − ∂t ∂3gB .c(4.12)p113= ∂t ∂1gD ,cp123= ∂t ∂2gD ,cp133= ∂t ∂3gD .c(4.13)H3,21 − H2,31H1,32 − H3,12H2,13 − H1,23Складывая почленно (4.12) и (4.13) получаем (4.10) и (4.11) соответственно.82Таким образом, система уравнений Максвелла переходит в следующую редуцированную систему, удовлетворяющую условию метода: ∂t Bi = −ceijk ∇j E k ,(4.14)∂t Di = ceijk ∇j Hk .4.4.3.Пример реализации гамильтонианаЗададим материальные уравнения:Di = εij (xk )Ej ,Hi = (µ−1 )ij (xk )B j .Перепишем (4.14) в следующем виде (считая, что метрика не зависитявным образом от времени):i−1 i 1∂E=c(ε)l p εljk Hk,j ,t3gi−1 i 1∂H=−c(µ)l p εljk Ek,j .t3gВыберем обобщённые координаты в виде:qn = E 1, E 2, E 3, H 1, H 2, H 3T,n = 1, 6.83Система (4.6) приобретает вид:ii n n i−1 i 1q̇=f(q,q,x,t)=c(ε)l p εljk qk+3 ,j ,;i3gi+3i+3 n n i−1 i 1q̇=f(q,q,x,t)=−c(µ)l p εljk qk ,j .;i3g(4.15)Запишем гамильтониан на основе (4.7) и (4.15):H (q n , pn , xi , t) = pn f n (q n , q;in , xi , t) =i 1i 1= pi c(ε−1 )l p εljk qk+3 ,j − pi+3 c(µ−1 )l p εljk qk ,j .3g3gСоответствующая система уравнений Гамильтона имеет вид:4.4.4.δH= f n,δpnδHδf mṗn = − n = −pm n =δqδq∂f m∂f m∂f m= −pm+ pm ∂ i n = pm ∂ i n .∂qn∂q,i∂q,iq̇ n =Импульсное представлениеСделаем замену переменных, положив j α = 0:C l = E l + iB l ,84получив таким образом уравнения Максвелла в виде:4π 0∇l C l = 4πρ =j = 0,c[∇, C]l − i 1 ∂t C l = 4π ij l = 0.cc(4.16)Разложим C в ряд Фурье:1 X ikj xj lC (x) =ea (k),Ωlk = (0, 0, k).kИз уравнений Максвелла найдём al (k).Подставив (4.17) в первое уравнение (4.16) имеем:∂l!X1j√eikj x al (k) = 0Ω kjikj eikj x al (k) = 0⇒⇒∂l ea (k) = 0,ikj xj likj al (k) = 0.Так как k = (0, 0, k), то ikj a3 = 0, и, следовательно, a3 = 0.Из второго уравнения (4.16) получаем:1eijk ∂j Ck − i ∂t C i = 0.cПри i = 1:1e1jk ∂j Ck − i ∂t C 1 = 0,cp13 g (∂ C − ∂ C ) − i ∂ C 1 = 0.2 33 2tc(4.17)85Подставив (4.17), получаем:p3 g (ik a2 31jj− ik3 a2 ) eikj x − i eikj x ∂t a1 = 0.cТак как k = (0, 0, k), т.е.

k2 = 0, тоpȧ = −c 3 gk3 a2 .1При i = 2 по аналогии имеем:1e2jk ∂j Ck − i ∂t C 2 = 0,cp13 g (∂ C − ∂ C ) − i ∂ C 2 = 0.3 11 3tcПодставив (4.17), получаем:p3 g (ik a3 11jj− ik1 a3 ) eikj x − i eikj x ∂t a2 = 0.cТак как k = (0, 0, k), т.е. k1 = 0, тоpȧ2 = c 3 gk3 a1 .При i = 3 получаем, что ȧ3 = 0.86После поднятия индекса имеем:p13 gkâ2 g ,˙â=−c22pâ˙ ∗1 = −c 3 gkâ∗2 g22 ,p˙ 2 = c 3 gkâ1 g11 ,âpâ˙ ∗ = c 3 gkâ∗ g .2(4.18)1 11Гамильтониан можно представить в следующем виде:Hˆ ∝ â∗1 â1 + â∗2 â2 .q 2 = â∗2 ,q 1 = â2 ,p1 = â∗1 ,p2 = â1 .Найдём a1 , решив уравнение:ä1 + c2 gk 2 g22 g11 a1 = 0.Характеристическое уравнение имеет вид:λ2 + c2 gk 2 g22 g11 λ = 0,откуда λ1,2 = ±ickp √3 g g g .

Следовательно, решение имеет вид:22 11 p √ p √33a = C1 cos ck g g22 g11 + C2 sin ck g g22 g11 ,1где C1 и C2 — константы.87Подставив a1 в (4.18):h p √ p √ip333ȧ = c gk C1 cos ck g g22 g11 + C2 sin ck g g22 g11 g11 ,2найдём a2 .88Глава 5.Расчёт оптических приборовВ данной главе рассматривается применение геометризации уравнений Максвелла для расчёта оптических приборов.

Результаты расчётовсравниваются с расчётами по методу трансформационной оптики.Геометризация материальных уравнений Максвелла позволяет изменить взгляд на прямую и обратную задачу оптики. Нахождение траектории лучей по параметрам среды можно назвать прямой задачейоптики, а нахождение параметров среды по заданным траекториям лучей — обратной. И обратная задача сложнее прямой.

В геометризованойоптике эти задачи меняются местами. Прямая задача — нахождение диэлектрической и магнитной проницаемости по заданной эффективнойгеометрии (по траекториям лучей), обратная — нахождение эффективной геометрии по диэлектрической и магнитной проницаемости. Сложность обеих задач сопоставимая.Геометризация заключается в построении индуцированной (электромагнитной) метрики. При этом индуцированная метрика должнабыть связанна с метрикой лабораторного пространства. При этом впрямой задаче геометризованной оптики задаётся траектория в лабораторной системе координат, далее по этим траекториям задаются геодезические в индуцированной (электромагнитной) системе координат.

Поуравнениям геодезических строится метрика в индуцированной системе89координат. Далее возможны два пути.– Вычисления проводятся в электромагнитной системе координат.При этом уравнения Максвелла рассматриваются как уравнения вкриволинейных системах координат и в вакууме. После решения переводятся в лабораторную систему координат.– Метрика в электромагнитной системе координат преобразовываетсяв тензор проницаемостей в лабораторной системе координат. Послеэтого вычисления проводятся в лабораторной системе координат дляуравнений Максвелла в среде.5.1.Обратная задача оптики. ТрансформационнаяоптикаБудем использовать следующие координатные системы:– Лабораторная система координат. Будет обозначаться нештрихованными индексами (xi ).

Метрический тензор лабораторной системы координат обозначим как ηij .– Эффективная система координат, связанная с уравнениями Макс0велла. Будем обозначать её штрихованными индексами (xi ). Метрику в эффективной системе координат обозначим как gi0 j 0 .– Если планируется выполнять вычисления в лабораторной системекоординат, то эффективную метрику необходимо тоже записать влабораторной системе координат. Будем записывать эффективнуюметрику в лабораторной системе координат как gij .90Рис. 5.1.

Исходная система координат5.1.1.Общее рассмотрениеРассматривается некоторое преобразование координатных линий,такое, что из исходной системы координат (см. рис. 5.1) мы получаем новую (эффективную) систему координат (см. рис. 5.2). Будем считать, что координатные линии являются геодезическими линиями. Тогда, внутренняя область на рис. 5.2 и всё её содержимое становятся«невидимыми».Пусть эффективная система координат задана с помощью некоторых преобразований с матрицей Якоби J.

Для простоты будем рассматривать преобразования только пространственных координат. Считаем,что g0i = 0.91Рис. 5.2. Трансформированная система координатНа основании (3.24) запишем:√−g 1 ijε =√g ,−η g00ij√−g 1 ijµ =√g .−η g00ij(5.1)Поскольку в (5.1) фигурирует эффективная метрика в лабораторной системе координат, то выразим её через эффективную метрику вэффективной системе координат. Перепишем (5.1) следующим образом:√−g 1 i0 j 0 i jεij = √g Ji0 Jj 0 ,−η g00√−g 1 i0 j 0 i jµij = √g Ji0 Jj 0 .−η g00(5.2)92Также выразим определитель метрического тензора:g := g00 det{gij } = g00 3 g,no n 0 o2det{gi0 j 0 }3i0 j 0g := det{gij } = det gi0 j 0 Ji Jj = det{gi0 j 0 } det Jii=2.i(det{Ji0 })(5.3)Кроме того, запишем:00g00 = g00 00 J00 J00 =g00 00.J000 J000Тогда, на основании (5.2) и (5.3) запишем:pg00 00 det{gi0 j 0 } J000 J0001iji0 j 0 i jε =pgJi0 Jj 0 ,η00 00 det{ηi0 j 0 } g00 00 det{Jii0 }pg00 00 det{gi0 j 0 } J000 J0001iji0 j 0 i jpµ =gJi0 Jj 0 .η00 00 det{ηi0 j 0 } g00 00 det{Jii0 }5.1.2.(5.4)Случай цилиндрической шапки-невидимкиРеализуем рассмотренные расчёты для случая цилиндрическойшапки-невидимки.

Введём в регионе, где мы производим трансформацию координат цилиндрическую систему координат (см. рис. 5.3).Будем использовать результаты раздела 2.7.1.Запишем правило перехода между лабораторной и эффективной си-93Рис. 5.3. Цилиндрическая система координатстемами координат:r = r(r0 ),ϕ = ϕ0 ,z = z 0 .(5.5)Запишем метрический тензор для лабораторной системы координат:ηi j = diag 1, r2 , 1 ,n odet ηi j = r2 .Запишем эффективный метрический тензор для эффективной системы координат:gi0 j 0 = diag 1, r02 , 1 ,nodet gi0 j 0 = r02 .94Матрица Якоби будет иметь вид:iJi0∂xi∂r= i0 = diag, 1, 1 ,∂r0∂xn io∂rdet Ji0 = 0 .∂rДля простоты будем рассматривать только пространственные преобразования, то есть положим:g00 = 1,g0i = 0,g00 00 = 1,0g00 i0 = 0,J00 = 1,J000 = 1.Тогда, из (5.4) получимεi j = µi j∂r∂r1 0 0 ∂r0 0 0 ∂r0 0 0r0 1  1 = ∂r 0 02 0 0 1 0 0 1 0 =r ∂r0  r0 0 10 0 10 0 1∂r r0 ∂r0 r= 0001∂r∂r 00 0 .

(5.6)01r0 r1 rr0∂r∂r 0Также можно записатьiε j = ε i k ηk j∂r r0 ∂r0 r= 0001∂r∂r 01r0 r0∂r r00 1 0 0  ∂r0 r  0 0 r 2 0  =  0  1 r00001∂r r0∂r01 rr0∂r∂r 000 0 .01 rr∂r∂r 095Зададим преобразование (5.5) в следующем виде (см. рис. 5.3):R2 − R1 0r=r + R1 , 0 < r0 < R2 ,R2ϕ = ϕ0 ,z = z 0 .(5.7)Тогда запишем следующие соотношения:∂rR2 − R1=,0∂rR2r − R1r0 =R2 .R2 − R1(5.8)Тогда перепишем (5.6) с учётом (5.8):r−R1εi j = µi j r= 00001(r−R1 )r002R2R2 −R1r−R1r.Коэффициент преломления будет иметь вид:nimq= εi j ηj k µk l ηl m =r−R1 r= 0001(r−R1 )r001 0 0 0 r 2 0  =02R2r−R10 0 1R2 −R1r96r−R1 r= 00001(r−R1 )r002R2R2 −R1r−R1r.Данные решения согласуются с решениями, получеными в рамкахтрансформационной оптики [82; 93].5.2.5.2.1.Прямая задача оптикиЛинза ЛюнебергаЛинза Люнеберга [65; 69] есть градиентная линза.