Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 3

Также делались попытки применить их собственно для описания электромагнитных полей [56; 60; 61; 81; 107; 109;110].18Частично исследования ушли в направлении применения разных экзотических вариантов римановой геометрии [32; 72; 75; 97; 98].Метод трансформации оптики привлёк к себе широкое вниманиепосле публикации работ Дж. Б.

Пендри [13; 63; 73; 82; 113] и У. Леонгардта [57–59]. В этих статьях была описана шапка-невидимка (плащневидимка). Шапка-невидимка искривляет лучи света таким образом,что они обходят объект маскировки. Наблюдателю кажется, что на этомместе ничего нет. Для построения этой иллюзии использовался аппаратпреобразования координат с помощью матриц Якоби (отсюда и название). Для диэлектрической и магнитной проницаемостей предлагалосьформальное соотношение, описывающее преобразование этих величинпри преобразовании координат.Сама трансформационная оптика представляет собой скорее наборрецептов (в духе инженерного подхода), нежели хорошо обоснованнуютеорию.

Делались попытки обосновать её, впрочем, не выходящие запределы математических манипуляций с известными формулами [12;104].Кроме того, используемые в трансформационной оптике преобразования сингулярны. Как попытку преодолеть сингулярность преобразований трансформационной оптики можно рассматривать введениеУ. Леонгардом конформных преобразований трансформационной оптики [14; 83].Неплохой обзор истории развития трансформационной оптики представлен в статье [39].19Численное решение уравнений Максвелла представляет собой достаточно сложную проблему. Уравнения Максвелла в дифференциальнойформе представимы в виде уравнений в частных производных.

Их аналитическое решение возможно получить лишь в небольшом количествеслучаев [128]. Для решения возможно использовать несколько подходов. Большое значение имеют разнообразные приближённые методы,например метод эйконала [10; 40; 116]. В этих методах уравнения переводятся в форму, в которой процесс решения уравнений упрощается.Кроме того, активно развиваются разнообразные численные методы [84–86; 91].Теоретические и численные методы решения нелинейных волновых уравнений разрабатываются Н.

А. Кудряшовым [42; 43], исследуются волновые электромагнитные процессы в плазме К. В. Брушлинским [118—120]. Многомерные системы исследовались А. В. Кряневым [34].Наряду с численными методами активно используются системыкомпьютерной алгебры [3–5; 21]. Особенно перспективным представляется использование систем тензорной компьютерной алгебры [8; 78].Обозначения и соглашения В работе использованы следующие основные обозначения и соглашения.1. В работе, где это обосновано, используется нотация абстрактных индексов.

В данной нотации тензор представляется как целостный объект и обозначается просто индексом (например, xi ). Компоненты обо-20значаются подчёркнутым индексом (например, xi ). Более подробноеописание и обоснование использования нотации абстрактных индексов дано в разделе A.1.2. Будем придерживаться следующих соглашений по именованию индексов. Греческие индексы (α, β) будут обычно относиться к четырёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: α = 0, 3. Латинские индексы (i, j, k) будут обычноотноситься к трёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: i = 1, 3.3.

Запятой в индексе обозначается частная производная по соответствующей координате (f,i := ∂i f ); точкой с запятой — ковариантнаяпроизводная (f;i := ∇i f ).4. Для записи уравнений электродинамики в работе используется система СГС симметричная. Обоснование использование системы СГСдано в разделе B.1.5. Антисимметризация обозначается квадратными скобками. Симметризация обозначается круглыми скобками.21Глава2.ПредставленияуравненийМаксвеллаДля нужд геометризации представляется оправданным представитьобщую запись уравнений Максвелла в произвольных координатах (рассматривается только вариант риманового пространства).

Кроме того, взадачах математического моделирования волноводов может возникатьпотребность использования криволинейных систем координат (например, если задача имеет некую естественную симметрию). Выбор конкретной системы координат зависит от формы волновода.Исторически сложилось так, что трёхмерные уравнения Максвеллазаписывают в неголономном формализме (см. 6.3). В этом случае запись уравнений в криволинейной системе координат несколько громоздка. При использовании тензорного формализма обычно предпочитаютиспользовать голономный базис. Также, тензорный формализм имеетмощный математический аппарат, который позволяет работать с ковариантной бескоординатной формой записи уравнений. В этом случаепереход к конкретной системе координат нужен только на заключительном этапе исследований при записи результата.При решении задач используют следующие формы записи уравнений Максвелла:– через 3-векторы;22– через 4-векторы;– комплексное представление;– импульсное представление (для его записи в свою очередь применяется комплексное представление);– спинорное представление;– представление во внешних формах.Рассмотрим вышеперечисленные представления уравнений Максвелла, делая упор на корректную запись в произвольной (римановой)системе координат.

При этом будем использовать голономный базис,поскольку в голономном базисе уравнения имеют наиболее простой вид.2.1.Ковариантная запись уравнений Максвеллачерез 3-векторыНаиболее известна запись уравнений Максвелла через 3-векторы,выполненная Хевисайдом и Герцем [70]. Рассмотрим данное представление уравнений Максвелла в системе СГС [122]:rot Erot H1 ∂B,c ∂t1 ∂D 4π=+ j,c ∂tc=−(2.1)div D = 4πρ,div B = 0.Здесь E и H — напряжённости электрического и магнитного полей,23D и B — электрическая и магнитная индукция соответственно, j —плотность тока, ρ — плотность заряда, c — скорость света.Стоит заметить, что эта запись достаточно абстрактная.

Конкретноепредставление векторов тут не присутствует.Для записи уравнений (2.1) можно использовать векторный оператор ∇ (введённый Гамильтоном В. Р. и Тэтом П. Г. [100]). Данная запись явно представляет дифференциальные операторы через векторные операции (см. 6.4).∇×E∇ × H∇·D∇ · B1 ∂B,c ∂t1 ∂D 4π=+ j,c ∂tc=−(2.2)= 4πρ,= 0.Используя индексное представление векторных операторов (см. 6.4)запишем уравнения Максвелла (2.1) и (2.2) в абстрактных индексах(см. A.1) в голономном базисе:eijk ∇j Ekeijk ∇j Hk1= − ∂t B i ,c14π= ∂t Di + j i ,cc∇i D i∇i B i= 4πρ,(2.3)= 0.Здесь ∇i есть ковариантная производная, eijk — тензор Леви-Чивиты24(альтернирующий тензор):1eijk = p εijk .3gn oЗдесь g := det gi j есть определитель трёхмерного метрического тен3зора, εijk — символ Леви-Чивиты.При необходимости вычислений следует перейти от ковариантнойпроизводной к частной, и от абстрактных индексов к компонентным.Перепишем (2.3) в компонентах в голономном базисе, используя (6.21)и (6.18):i1 hp ∂j Ek − ∂k Ej3gi1 h p3 g ∂j Hk − ∂k Hjp1i3p ∂igD3gp1i3gB p3 ∂ig1= − ∂t B i ,c14π= − ∂t Di + j i ,cc(2.4)= 4πρ,= 0.Собственно форма уравнений Максвелла (2.4) может быть применена при конкретных расчётах.

При этом уравнения Максвелла записаныв ковариантном виде.При рассмотрении теории Максвелла в рамках подхода расслоенныхпространств важную роль играет векторный потенциал Aµ , имеющийсмысл связности в кокасательном расслоении. При переходе к трёхмерию векторный потенциал Aµ расщепляется на скалярный потенциал ϕи 3-векторный потенциал Ai . Соответственно и полевые функции E и25B можно представить через потенциалы поля ϕ (скалярный потенциал) и A (векторный потенциал). Это можно записать как с помощьюдифференциальных операторов:B = rot A,E = −∇ϕ − 1 ∂t A,cтак и в индексной нотации:2.2.B i= (rot A)i = eijk ∂j Ak ,Ei= −∂i ϕ − ∂0 Ai .(2.5)Ковариантная запись уравнений Максвеллачерез 4-векторыЯвная релятивистская 4-мерная запись уравнений Максвелла обычно выполняется с помощью 4-тензоров.

Запишем (2.1) через тензорыэлектромагнитного поля Fαβ и Gαβ [15; 68; 171; 174]:∇α Fβγ + ∇β Fγα + ∇γ Fαβ = F[αβ;γ] = 0,∇α Gαβ =4π βj ,c(2.6)(2.7)26где тензоры Fαβ , F αβ , Gαβ и Gαβ имеют следующие компоненты0−E1Fα β = −E2−E30E 1αβF=E 2E30D 1Gα β = D 2D30−D1Gα β = −D2−D3E1E2E30 −B 3 B 2 ,B30 −B 1 21−BB0123−E −E −E0 −B3 B2 ,B30 −B1 −B2 B10123−D −D −D0 −H3 H2 ,H30 −H1 −H2 H10D1D2D332 0 −HH ,H30 −H 1 −H 2 H 10E i , H i , i = 1, 3, — компоненты векторов напряжённости электрическогои магнитного полей соответственно; Di , Bi , i = 1, 3, — компонентывекторов электрической и магнитной индукции соответственно1 .1Следует заметить, что именно B i имеет физический смысл напряжённости магнитного поля.27Используя оператор сопряжения Ходжа (6.8), можно ввести сопряжённые тензора. Например, введём тензор ∗ F αβ , дуально сопряжённыйтензору Fαβ∗1F αβ = eαβγδ Fγδ ,2(2.8)где eαβγδ — альтернирующий тензор (см.

(6.22)):eα β γ δ =√−gεα β γ δ ,1e α β γ δ = − √ εα β γ δ .−gАналогично запишем1F αβ = eαβγδ F γδ ,21∗Gαβ = eαβγδ Gγδ ,21∗ αβG = eαβγδ Gγδ .2∗(2.9)Запишем в компонентах:∗Fαβ0B1B2B3−B320E−E 1√ ,= −g 1 −B2 −E 3 0E 21−B3 E−E0280B 11∗ αβF=√−g B 2B30H 11∗ αβG =√−g H 2H30−H1√ ∗Gα β = −g −H2−H3−B 1 −B 2 −B 30E3 −E2 ,−E3 0E1 E2 −E1 0123−H −H −H0D3 −D2 ,−D30D1 D2 −D10H1H2H3320D −D ,−D3 0D1 21D −D0(2.10)(2.11)Данный вид тензоров используется, в частности, при геометризации Плебаньского (см. 3.2). Также с помощью дуального тензора (2.8)уравнение (2.6) можно записать в виде:∇α ∗ F αβ = 0.(2.12)Данный вид является более простым, чем (2.6).Тензоры электромагнитного поля Fα β и Gα β имеют достаточно простую структуру.

Для удобства выкладок удобно представить эти тензоры в виде некоторой структуры, нагруженной дополнительной семан-29тикой. Кодифицируем запись используемых тензоров в виде кортежа(упорядоченной пары). Для этого поставим в соответствие Fα β упорядоченную пару (Ei , B i ) (Fα β ∼ (Ei , B i )) следующим образомF0i = Ei ,Fi j = −εi j k B k .Таким образом можно выписать следующие соответствия∗∗FαβFα β ∼ (Ei , B i ),F α β ∼ (−E i , Bi ),Gα β ∼ (Di , H i ),√∼ −g(Bi , −E i ),Gα β ∼ (−Di , Hi ),Gα β ∼√−g(Hi , −Di ),1F α β ∼ √ (−B i , −Ei ),−g1∗ αβG ∼ √ (−H i , −Di ).−g∗(2.13)Использую данную упорядоченную пару, удобно строить разныепредставления уравнений Максвелла.2.3.Комплексное представление уравнений Макс-веллаКомплексное представление уравнений Максвелла не только компактное, но и удобно.

Например, его удобно применять при работе спреобразованием Фурье (см. 2.4), спинорным представлением (см. 2.5),представлением полей в виде комплексного анзаца.Можно построить несколько видов комплексного представления30уравнений Максвелла [1; 2; 95; 96; 171]. При этом обычно ограничиваются вакуумным случаем в евклидовом пространствеЗдесь же запишем комплексное представление в среде в произвольных координатах.В простейшем варианте заменим четыре полевых вектора Ei , B i ,Di , Hi на два комплексных вектора F i и Gi .