Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 6

Пусть исходное пространство задаётся метрическим тензором ηαβ . Тогда система (C.1) примет следующий вид:∂α Fβγ + ∂β Fγα + ∂γ Fαβ = 0, 4π β√1√ ∂α −ηGαβ =j .−ηcДалее, повторяя шаги для эффективного риманового пространства (C.2), (C.3), (C.4), получим аналог (C.5) и (C.6):√−gj α = √ j̃ α ,−ηFαβ = F̃αβ ,√−gαβG = √ g αγ g βδ Fγδ .−η(3.23)63Формула для вектора электрической индукцииЗапишем выражение (3.23) в виде:Fαβ√−η= √ gαγ gβδ Gγδ .−gРассуждая аналогично (3.16), получим для компонент индукции Diсоотношение:√−g 1 ij1 ijkDi = − √g Ej +ε gj0 Hk ,−η g00g00а выражение для диэлектрической проницаемости примет вид:√−g 1 ijεij = − √g .−η g00Формула для вектора магнитной индукцииПерепишем (3.18) с учётом (3.23)∗Gαβ√−g= √ gαγ gβδ ∗ F γδ .−ηПо аналогии с (3.19), (C.9) и (C.10) получим соотношение для B i :√−g 1 ij1 ijkB = −√g Hj −ε gj0 Ek ,−η g00g00i64и для магнитной проницаемости:√−g 1 ijµij = − √g .−η g00Таким образом геометризованные уравнения связи в криволинейныхкоординатах с метрическим тензором ηαβ имеют следующий вид:Di = εij Ej + εijk wj Hk ,B i = µij Hj − εijk wj Ek ,√√−g1−g 1 ijεij = − √g ij ,µij = − √g ,−η g00−η g003.3.(3.24)wi =gi0.g00Геометризация ТаммаГеометризацию, основанную на лагранжиане Максвелла в виде лагранжиана Янга–Миллса будем называть геометризацией Тамма [101; 172; 173].Введём эффективную метрику на базе расслоения gαβ .

Тогда запишем лагранжиан электромагнитного поля в виде лагранжиана Янга–Миллса:L=−√√1 αγ βδ1g g Fαβ Fγδ −g − 2 Aα j α −g.16πccПостроим тензор λαβγδ следующим образом: √√√λαβγδ = 2 −gg αβ g γδ = −g g αγ g βδ + g αδ g βγ + −g g αγ g βδ − g αδ g βγ .65Тогда уравнение (3.2) примет следующий вид:Gαβ =1√−g g αγ g βδ − g αδ g βγ Fγδ .2Для наглядности распишем по компонентам, получим:√−g g 00 g i j –g 0i g 0j F0j + −g g 0j g i k –g 0k g i j Fj k ,√√= −g g i 0 g j k –g 0j g i k F0k + −g g i k g j l –g i l g j k Fk l .G0i =Gi j√На основании (3.5) получим:√√Di = − −g g 00 g i j –g 0i g 0j Ej − −g g 0j g i k –g 0k g i j εj k l B l ,√√−εi j k Hk = −g g i 0 g j k –g 0j g i k Ek − −g g i k g j l –g i l g j k εk l m B m .На основании (3.5) с учётом соотношения (6.30) получим:√√Di = − −g g 00 g i j –g 0i g 0j Ej + −gεk l j g 0k g i l B j ,√√Hi = −gεm n i εk l j g n k g m l B j + −gεk l j g0k gi l Ej ,(3.25)(3.26)Из (C.8) можно формально выписать выражение для диэлектрической проницаемости:√εi j = − −g g 00 g i j –g 0i g 0j .Из (C.9) можно формально выписать выражение для магнитной66проницаемости:(µ−1 )i j =√−gεm n i εk l j g n k g m l .(3.27)Таким образом геометризованные уравнения связи координатахимеют следующий вид:Di = εij Ej + (1) γji B j ,Hi = (µ−1 )ij B j + (2) γij Ej ,√εi j = − −g g 00 g i j –g 0i g 0j ,√(µ−1 )i j = −gεm n i εk l j g n k g m l ,√(1) iγj = (2) γji = −gεk l j g 0k g i l .(3.28)Теорема 1.

В геометризации Тамма выполняется равенствоεi j = µi j .при условии g 0i = 0.Доказательство. Заметим, что ∆i j = εm n i εk l j g n k g m l есть алгебраическое дополнение для g i j . Основываясь на (3.28), запишем j√√jεi j (µ−1 )i p = − −gg 00 g i j −gεm n i εk l p g n k g m l = gg 00 det g k l δp = δp .Отсюда следует, что εi j = µi j .673.3.1.Обратная задача в геометризации ТаммаОднородный случайРассмотрим реализацию обратной задачи геометризации Тамма дляоднородного случая.Рассмотрим следующий анзац для метрического тензора:00  a2 0 0 −b2 00gα β = , 0 0 −b2 0 0 00 −b2000 a−2 0 −b−200αβg =,00  0−b−2−2000−b√(3.29)−g = ab3 .Из соотношений (3.22) запишем выражения для диэлектрической и68магнитной проницаемостей:−2εi j0ij1 0 0  bb−20 1 0  = δ i j ,b aa0 b−20 0 1−400 b1 0 0  a a3= ab  0 b−4 0  = 0 1 0 = δi j . b b−400 b0 0 1b3 −2 = ab a  00µ−10 0 =(3.30)Из (3.30) запишем проницаемости в следующем виде:εi j = εδ i j ,−1µij1= δi j ,µbε= ,abµ= .a(3.31)Из (3.31) видно, что у нас остаётся один свободный параметр.

Пустьсвободным параметром будет b. Тогда положим:ba= .ε69Тогда на основе анзаца (3.29) запишем метрический тензор:2gα βb00  ε2 0 0 −b2 00=. 0 0 −b2 0 20 00 −b(3.32)Будем ориентироваться на идеи Тамма [101; 172; 173]. Положим:b2 =√µ.Тогда (3.32) запишется следующим образом:gα β√µ000  ε2√0 − µ00=.√00 0− µ√ 000− µИли, учитывая соотношение:εij µ−1jk= δki ,(3.33)70можно переписать (3.33) какgα β1000  ε√µ√ 0 − µ00=.√00  0− µ√000− µ(3.34)Неоднородный случайВ случае неоднородной среды рассмотрим следующий анзац дляметрического тензора:000 (a0 )2 0 −(a1 )200gα β = ,00  0−(a2 )22000−(a3 )000 (a0 )−2−2 000−(a)1αβg =,−200  0−(a2 )000−(a3 )−2√(3.35)−g = a0 a1 a2 a3 .Из соотношений (3.22) запишем выражения для диэлектрической и71магнитной проницаемостей:−2εi j(a1 )−2 = a0 a1 a2 a3 (a0 )  00µ−1ij0(a2 )−200 ε1 0 0   0  =  0 ε1 0 , (3.36)  −200(a3 )ε1=−2−200(a2 ) (a3 )−2−2= a0 a1 a2 a3 =00(a)(a)31−2−200(a1 ) (a2 )1 µ1 0 0 1= 0.0µ20 0 µ1(3.37)3Из (3.36) и (3.37) запишем проницаемости в следующем виде:√−gε1 =,2(a0 ) (a1 )2(a2 )2 (a3 )2µ1 = √,−g√−gε2 =,2(a0 ) (a2 )2(a3 )2 (a1 )2µ2 = √,−g√ε3 =−g,2(a03)(a1 )2 (a2 )2µ3 = √.−g)2 (a(3.38)72Из (3.38) выпишем следующие соотношения:(a3 )2 (a1 )2 (a1 )2 (a2 )2(a1 )4 (a2 )2 (a3 )2(a1 )4√√µ2 µ3 = √=√= √ µ1 ,−g−g−g−g−g(a1 )2 (a2 )2 (a2 )2 (a3 )2(a2 )4 (a3 )2 (a1 )2(a2 )4√√µ3 µ1 = √=√= √ µ2 ,−g−g−g−g−g2222422(a2 ) (a3 ) (a3 ) (a1 )(a3 ) (a1 ) (a2 )(a3 )4√√µ1 µ2 = √=√= √ µ3 .−g−g−g−g−gВыразим коэффициенты:rµ2 µ3,µ1rµ3 µ1a2 =,µ2rµ1 µ2a3 =.µ3a1 =Таким образом (3.35) запишется следующим образом:gα β1000  √ε 1 ε 2 µ 3qµµ2 3 000−µ1=.q 0µ3 µ100 − µ2qµ1 µ2000− µ373Глава 4.Гамильтонов подход к уравнени-ям Максвелла4.1.ВведениеВ геометрической оптике известен и широко применяется гамильтонов формализм [65].

В качестве гамильтониана используется гамильтониан материальной частицы.В случае же волновой оптики возникает ряд трудностей при построении гамильтонова формализма. Поскольку лагранжиан электромагнитного поля не является регулярным, то построение симплектического гамильтонового формализма не представляется возможным.

Длякалибровочных теорий применяют дираковский формализм со связямиили многоимпульсный формализм.Однако, если ограничиться рассмотрением только систем без источников, то возможно построение стандартного симплектического гамильтонового формализма.4.2.Лагранжиан электромагнитного поляБудем рассматривать главное расслоение P → X со структурнойгруппой U (1). Здесь X = M 4 — 4-мерное ориентируемое многообразие.74В касательном и кокасательном расслоениях задана метрика gαβ и g αβс сигнатурой (+, −, −, −).Лагранжева плотность задаётся как горизонтальная плотность:4L : J 1 P → ∧T ∗ X.На расслоении P → X заданы координаты (xλ , y i ), на расслоенииструн J 1 P заданы координаты (xλ , y i , yλi ).

Тогда лагранжева плотностьзапишется следующим образом:L = L (xλ , y i , yλi )ω,где ω := dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 .Для любого сечения A кокасательного расслоения T ∗ X можно ввести величину Fαβ , являющуюся тензором электромагнитного поля. Онаимеет геометрический смысл кривизны на кокасательном расслоении:Fαβ := ∂α Aβ − ∂β Aα ,где связность Aα имеет смысл 4-вектора потенциала Aα = (ϕ, A).Распишем тензор (4.1) по компонентам с учётом (2.5):F0i = ∂0 Ai − ∂i A0 = −∂0 Ai − ∂i A0 = Ei ,Fik = ∂i Ak − ∂k Ai = −εikl B l .(4.1)75Аналогично введём тензор Минковского (тензор смещений) Gαβ [124]на касательном расслоении T X. При этом обычно не вводятся связности на касательном расслоении.

Вместо этого задаётся связь междукривизнами на касательном и кокасательном расслоениях:Gαβ = λ(Fγδ ).В линейном случае задают тензор проницаемостей λαβγδ с симметриейα γβ δ:Gαβ = λαβγδ Fγδ .Тензоры Fαβ и Gαβ имеют следующие компоненты0−E1Fαβ = −E2−E30D 1Gαβ = D 2D3E1E2E332 0 −BB ,B30 −B 1 21−BB0123−D −D −D0 −H3 H2 .H30 −H1 −H2 H10(4.2)(4.3)Здесь Ei , Hi — компоненты векторов напряжённости электрическогои магнитного полей соответственно; Di , B i — компоненты векторов76электрической и магнитной индукции соответственно.Построим лагранжиан L в явном виде.Уравнение (2.6) представляет собой дифференциальное тождествоБьянки, то есть выполняется в силу построения (4.1).

Для построениялагранжиана достаточно использовать только группу уравнений (2.7).Тогда лагранжиан будет иметь вид:L (xα , Aβ , Aα,β ) = −pp11Fαβ Gαβ −4 g − Aα j α −4 g.16πccУравнения Эйлера–Лагранжа имеют вид:∇β4.3.δLδL−= 0.δAα;β δAα(4.4)Гамильтониан электромагнитного поляМожно выделить несколько вариантов гамильтонова формализма.– Симплектический гамильтонов формализм.– Формализм Дирака–Бергмана для систем со связями [71; 126].– Гамильтонов формализм Гамильтона–де Дондера [92].– Многоимпульсный гамильтонов формализм [22; 23; 92].Мы будем рассматривать симплектический гамильтонов формализмв силу его простоты. В этом случае лагранжева плотность определяетсякакL : J 1 P → R.77Для расслоения P → X введём расслоение Лежандра Π с атласомкоординат (xλ , y i , pi ).Лагранжева плотность L задаёт послойный морфизм:L̂ = J 1 P → Π,Ppi ◦ L̂ = πi .Расслоение Лежандра Π является фазовым пространством гамильтонова формализма.На расслоении Лежандра Π → Y вводится форма Лиувилля:θ = −pi dy i ∧ dt .Ей соответствует симплектическая форма:Ω = dpi ∧ dy i ∧ dt .4.3.1.Проблема построения симплектического гамильтониа-на электромагнитного поляГамильтониан электромагнитного поля строится через лагранжианс помощью преобразований Лежандра:H := pα Ȧα − L ,(4.5)где pα — плотность импульса, L — лагранжиан.Так как в гамильтоновом формализме все уравнения строятся че-78рез обобщённые координаты и импульсы, то в (4.4) требуется выразитьобобщённый импульс pα через скорости Ȧα , чтобы выписать гамильтонову плотность (4.5) и соответствующие ей уравнения Гамильтона:δH, Ȧα =δpαδH ṗα = −.δAαПри этом требуется, чтобы детерминант матрицы Гессе (гессиан)был отличен от нуля:det{H}(L ) 6= 0,где элементы матрицы Гессе:{H(L )}αβ∂ 2L=.∂ Ȧα ∂ Ȧβ∂ 2LНо F00 = 0 и {H(L )}00 == 0.

Следовательно, det{H}(L ) =∂(Ȧ0 )20. То есть лагранжиан нерегулярный, и построение симплектическогогамильтонового формализма в данном случае невозможно.4.4.Построение симплектического гамильтонианаОказывается, что в случае отсутствия источников (j α = 0) можнопостроить симплектический гамильтонов формализм, произведя необходимую замену переменных. В качестве одного из методов рассмотрим метод удвоения переменных [159; 160].

Данный метод применим в79случае, когда система содержит лишь обобщённые переменные, а обобщённые импульсы отсутствуют.4.4.1.Метод удвоения переменныхРассмотрим систему s уравнений.q̇ n = f n (q n , q;in , xi , t),n = 0, s.(4.6)Зададим пространство R2s со следующими координатами:ξ n := q n ,ξ n +s := pn ,ξ a ∈ R2s ;n = 0, s,a = 0, 2s.Введём в этом пространстве скобку Пуассона:∂A(ξ c , t) ∂B(ξ c , t){A(ξ c , t), B(ξ c , t)} = Ωab,∂ξ a∂ξ b 0 IΩab =  , a , b , c = 0, 2s.−I 0А гамильтониан определим следующим образом:H (q n , pn , xi , t) = pn f n (q n , q;in , xi , t).(4.7)Тогда первая группа уравнений Гамильтона будет совпадать с ис-80ходной системой (4.6), а вторая группа будет иметь следующий вид:ṗn = −4.4.2.δHδf m=−p.mδq nδq nСоответствие методуУстановим, что уравнения Максвелла без источников удовлетворяют условию применимости метода удвоения переменных.