Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 5

Тогда матрица Якоби будет иметь следующий вид∂x ∂ri00∂xiJi ==  ∂yi ∂r∂x∂z∂r∂x∂ϑ∂y∂ϑ∂z∂ϑ∂x∂ϕ sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ −r sin ϑ sin ϕ ∂y =.sinϑsinϕrcosϑsinϕrsinϑcosϕ∂ϕ  ∂zcosϑ−rsinϑ0∂ϕМетрический тензор:i0j0gi j = gi0 j 0 Ji Jj0 1 02= 0 r0 ,0 0 r2 sin2 ϑ49gi j1i0 j 0 i j= g Ji0 Jj 0 = 00√001r201r2 sin2 ϑ0g = r2 sin ϑ.Коэффициенты Ламе:h1 ≡ hr = 1,h2 ≡ hϑ = r,h3 ≡ hϕ = r sin ϑ.Символы Кристоффеля (не равные нулю):Γ122 = −r,Γ133 = −r sin2 ϑ,1Γ221 = Γ212 = Γ313 = Γ331 = ,rΓ233 = − cos ϑ sin ϑ,Γ323 = Γ332 = ctg ϑ.Соотношение между голономным (тензорным) и неголономным(векторным) базисами (см. (6.13) и (6.14)):000f r = f r,f ϑ = rf ϑ ,f ϕ = r sin ϑf ϕ ,fr 0 = fr ,1f ϑ 0 = fϑ ,rfϕ0 =1fϕ .r sin ϑ50Дифференциальные операторы в голономном базисе:∂f r ∂f ϑ ∂f ϕδ +δ +δ ;∂r i ∂ϑ i∂ϕ i11div f = 2 ∂r r2 f r +∂ϑ sin ϑf ϑ + ∂ϕ (f ϕ ) ;rsin ϑ1(rot f)i = 2[∂ϑ fϕ − ∂ϕ fϑ ] δri +r sin ϑ11+ 2[∂ϕ fr − ∂r fϕ ] δϑi + 2[∂r fϑ − ∂ϑ fr ] δϕi .r sin ϑr sin ϑ(grad f )i =Дифференциальные операторы в неголономном базисе:∂f r0 1 ∂f ϑ01 ∂f ϕ0(grad f )i =δi +δi +δ ;∂rr ∂ϑr sin ϑ ∂ϕ i1 2 r0 1ϑ0div f = 2 ∂r r f +∂ϑ sin ϑf+rr sin ϑ 01+∂ϕ f ϕ ;r sin ϑ1(rot f)i =[∂ϑ (sin ϑfϕ0 ) − ∂ϕ fϑ0 ] δri 0 + r sin ϑ111+∂ϕ fr0 − ∂r (rfϕ0 ) δϑi 0 + [∂r (rfϑ0 ) − ∂ϑ fr0 ] δϕi 0 .r sin ϑrЗапишем уравнения Максвелла в сферических координатах (r, ϑ, ϕ).i1 h1∂E−∂E=−∂t B i , i , j , k = 1, 3,jkkj2r sin ϑchi114π∂j Hk − ∂k Hj = − ∂t Di + j i , i , j , k = 1, 3,2r sin ϑcc12i∂rsinϑD= 4πρ, i = 1, 3,ir2 sin ϑ12i∂rsinϑB= 0, i = 1, 3.ir2 sin ϑ51После преобразований окончательно получаем:11[∂E−∂E]=−∂t B 1 ,ϑ3ϕ22r sin ϑc11[∂ϕ E1 − ∂r E3 ] = − ∂t B 2 ,2r sin ϑc11[∂E−∂E]=−∂t B 3 ,r2ϑ12r sin ϑc114π[∂ϑ H3 − ∂ϕ H2 ] = − ∂t D1 + j 1 ,2r sin ϑcc114π 22[∂H−∂H]=−∂D+j ,ϕ1r3tr2 sin ϑcc114π[∂r H2 − ∂ϑ H1 ] = − ∂t D3 + j 3 ,2r sin ϑcc2 1D + ∂r D1 + ctg ϑD2 + ∂ϑ D2 + ∂ϕ D3 = 4πρ,r2 1B + ∂r B 1 + ctg ϑB 2 + ∂ϑ B 2 + ∂ϕ B 3 = 0.r52Глава 3.Геометризация электромагнит-ного поляАппарат дифференциальной геометрии являлся основным языкомфизики XX-го века.

Его базовые элементы развивались в рамках общейтеории относительности. Возникает желание применить этот развитыйи к другим областям физики, в частности к оптике.Первые попытки применения методов дифференциальной геометрии в электродинамике следует отнести к публикациям И.

Е. Тамма [101; 172; 173]. В 1960 году Е. Плебанский предложил метод геометризации материальных уравнений электромагнитного поля [17; 58; 59;87], ставший классическим. Все последующие работы либо использовали его, либо пытались немного подправить, не меняя идеологии [104].3.1.Уравнения Максвелла в средеПри наличии среды претерпевает изменения лишь группа уравненийМаксвелла, содержащая связанные заряды, а именно уравнение (2.7).Помимо самих уравнений Максвелла (2.6) и (2.7) необходимо добавитьуравнения связи между тензорами F αβ и Gαβ .533.1.1.Тензор приницаемостейТензоры Fαβ и Gαβ имеют смысл кривизны в кокасательном (T ∗ X)и касательном (T X) расслоениях.

Связь между этими величинами задаётся следующим образом:Gαβ = λ(Fγδ ).(3.1)В линейном случае соотношение (3.1) можно задать как [161; 174;179]Gαβ = λαβγδ Fγδ .Будем считать, что λ задаёт на X некоторую эффективную метрику.Будем считать, что отображение λ : Λ2 → Λ2 линейное и локальное.Тогда его можно представить в следующем виде:Gαβ = λαβγδ Fγδ ,(3.2)здесь λαβγδ — тензор приницаемостей, содержащий информацию как обдиэлектрической и магнитной проницаемостях, так и об электромагнитной связи [101; 152; 172; 174].Заметим, что линейный, нелокальный случай при наличии трансляционной симметрии сводится к линейному локальному случаю с помощью преобразования Фурье.А именно, запишем нелокальную линейную связь между F и G сле-54дующим образом:Zλ(x, s) ∧ F (s).G(x) =(3.3)Тогда, предполагая наличие трансляционной инвариантностиλ(x, s) = λ(x − s),запишем связь между F и G (3.3):Gαβ (ω, ki ) = λαβγδ (ω, ki )Fγδ (ω, ki ).Из (3.2) видно, что λαβγδ имеет следующую симметрию:λαβγδ = λ[αβ][γδ]Для уточнения симметрии, тензор λαβγδ можно представить в следующем виде [24; 32; 75; 89]:λαβγδ = (1) λαβγδ + (2) λαβγδ + (3) λαβγδ ,(1) αβγδ= (1) λ([αβ][γδ]) ,(2) αβγδ= (2) λ[[αβ][γδ]] ,λλ(3) αβγδλ= (3) λ[αβγδ] .Очевидно, что λαβγδ имеет 36 независимых компонент,20 независимых компонент,(2) αβγδλ(1) αβγδλимеетимеет 15 независимых компонент,55(3) αβγδλимеет 1 независимую компоненту.Далее будем рассматривать только часть(1) αβγδλ.Запишем материальные уравнения:Di = εij Ej + (1) γji B j ,Hi = µ−1 ij B j + (2) γij Ej ,(3.4)где εij и µij — тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей,(1) iγjи(2) iγj— перекрёстные члены.Учитывая структуру тензоров Fαβ (4.2) и Gαβ (4.3), а также уравнения связи (3.4), запишемF0 i = E i ,ijGij k= −εHk ,G0 i = −Di ,(3.5)kFi j = −εi j k B .Из (3.4) и (3.5) выпишем структуру тензора λαβγδ :λ0i 0j = εi j /2,λi j m n = εi j k εl m n (µ−1 )l k /2.λ0i j k =λi j k l = 0.Считая, что в вакууме диэлектрическая и магнитная проницаемостьимеют вид:εij := δ ij ,µij := δ ij ,56получим, что в вакууме уравнения связи (3.4) принимают видDi = E i,3.1.2.B i = H i,Gαβ = F αβ .(3.6)Уравнения связи для движущихся средМинковским были выведены уравнения связи для изотропных движущихся сред [68; 132] (уравнения Минковского для движущихся сред).Пусть uα — 4-скорость среды.

Считая диэлектрическую и магнитнуюпроницаемости ε и µ скалярами, можно записатьGαβ uβ = εF αβ uβ ,∗F αβ uβ = µ ∗ Gαβ uβ .(3.7)В трёхмерном виде уравнения (3.7) принимают следующий вид:iiD =ε E +huj−hujii, Hk =huiiji= εE + (εµ − 1), Hk ,chuii h uiijjiiB =µ H −, Dk+, Ek =cchuiiji= µH − (εµ − 1), Ek .cc, Bkii c(3.8)Тамм расширил уравнения (3.8) для анизотропного случая [101;172], а именно, считая, что диэлектрическая и магнитная проницае-57мости имеют видiεj = diag(ε11 , ε22 , ε33 ),iµj = diag(µ11 , µ22 , µ33 ),и вектор скорость ui системы отсчёта параллельно одной из главныхосей анизотропии. Тогда уравнения Минковского для движущихся средприобретут следующий вид:huil h uiijjiilD = εl E +, Bk−, Hk ,cchuil h uiijjiilB = µl H −, Dk+, Ek .cc3.2.Геометризация ПлебаньскогоПлебаньским была предложена простейшая геометризация уравнений Максвелла [17; 87].

Однако в оригинальной статье сразу даны финальные формулы, а принципы и методы их получения остаются непрояснёнными. Авторы постарались явно выписать методику, которую понашему мнению использовал Плебаньский, а также подробно провестивычисления.Основная идея геометризации по Плебаньскому заключается в следующем:1. Записать уравнения Максвелла в среде в пространстве Минковского.2. Записать вакуумные уравнения Максвелла в эффективном римановом пространстве.583. Приравнять соответствующие члены уравнений.В результате мы получим выражение диэлектрической и магнитнойпроницаемостей через геометрические объекты.3.2.1.Геометризация в декартовых координатахЗапишем уравнения Максвелла в среде в декартовых координатах сметрическим тензором diag(1, −1, −1, −1):∂α Fβγ + ∂β Fγα + ∂γ Fαβ = 0,αβ∂α G4π β=j .c(3.9)Теперь запишем вакуумные уравнения Максвелла в эффективномримановом пространстве с метрическим тензором gαβ (относящиеся кним величины пометим тильдой):∂α F̃βγ + ∂β F̃γα + ∂γ F̃αβ = 0,√ 4π1αβ√ ∂α−g G̃=j̃ β .−gc(3.10)В вакууме будет верно следующее соотношение (см.

(3.6)):F̃αβ = G̃αβ .(3.11)Подымая индексы в (C.3), получимG̃αβ = g αγ g βδ F̃γδ .(3.12)59Сравнивая почленно (C.1) и (C.2), с учётом (C.4) получим:√Fαβ = F̃αβ ,j α = −g j̃ α ,√Gαβ = −gg αγ g βδ Fγδ .(3.13)(3.14)Уравнения (C.6) собственно и являются искомыми 4-мерными геометризованными уравнениями связи (3.4). Следуя методике Плебаньского мы должны получить явный вид для трёхмерных уравнений связи (3.4).Формула для вектора электрической индукцииПерепишем выражение (C.6) в виде:1Fαβ = √ gαγ gβδ Gγδ−g(3.15)и будем искать значение компонент F0i , учитывая (4.2) и (4.3):1F0i = Ei = √ g0γ giδ Gγδ =−g11=√g0j gi0 Gj0 + g00 gij G0j + √ g0j gik Gjk =−g−g111= √ g00g0j gi0 − gij Dj − √ g0j gik εjkl Hl .

(3.16)−gg00−gДля компонент индукции Di применим соотношение (6.30) и получим:√iD =−−g ij1 ijkg Ej +ε gj0 Hk .g00g00(3.17)60Из (C.8) можно формально выписать выражение для диэлектрической проницаемости:√ijε =−−g ijg .g00При этом смысл второго члена в (C.8) нуждается в дальнейшем уточнении.Формула для вектора магнитной индукцииДля получения выражения для вектора магнитной индукции будемиспользовать тензоры (2.10) и (2.11).

Опуская индексы у ∗ Gαβ в выражении (C.6) и применяя соотношения (2.8) и (2.9), получаем:∗Gαβ =√−ggαγ gβδ ∗ F γδ .(3.18)Будем искать значения компонент ∗ G0i :∗G0i =√√−gHi = −gg0γ giδ ∗ F γδ = √√= −g g0j gi0 ∗ F j0 + g00 gij ∗ F 0j + −gg0j gik ∗ F jk =√11= −gg00g0j gi0 − gij √ B j −g00−g√1− −gg0j gik εjkl √ El . (3.19)−gПрименяя соотношение (6.30), получим для B i следующее выраже-61ние:√iB =−−g ij1 ijkg Hj −ε gj0 Ek .g00g00(3.20)Из (C.9) можно формально выписать выражение для магнитнойпроницаемости:√ijµ =−−g ijg .g00(3.21)Таким образом геометризованные уравнения связи в декартовых координатах имеют следующий вид:Di = εij Ej + εijk wj Hk ,B i = µij Hj − εijk wj Ek ,√√−g−g ijεij = −g ij , µij = −g ,g00g00(3.22)wi =gi0.g00Эти уравнения и были приведены в исходной статье [87]. Теперь мыможем считать выполненной нашу задачу по восстановлению методикиПлебаньского.Интерпретация члена электромагнитного взаимодействияВ уравнениях (3.22) член электромагнитного взаимодействия у Плебаньского никакого истолкования не получает.

Однако Леонгард предложил интерпретировать его как скорость движения геометризованной системы отсчёта [59]. Действительно, на основании (3.8) уравне-62ния (3.22) можно переписать в виде:iijD = ε Ej +hujii, Hk ,chuiijiijB = µ Hj −, Ek ,cp√√3g−g−ggci0εij = −g ij , µij = −g ij , ui =,g00g00g00 n2 − 1где ui — трёхмерная скорость движения системы отсчёта, 3 g = detgij —определитель пространственной части метрического тензора gαβ , n =√εµ — показатель преломления.3.2.2.Геометризация в криволинейных координатахРасширим теперь область применения полученных формул за счётзаписи уравнений Максвелла в произвольных криволинейных системахкоординат.