Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 8

Показатель преломления изменяется в зависимости от расстояния от центра (сферическая линза) или от оси (цилиндрическая линза). При прохождениилинзы параллельные лучи фокусируются в одной точке на поверхности линзы. Лучи, испущенные точечным источником на поверхностилинзы формируют параллельный пучок (см. рис. 5.4).√Показатель преломления n меняется от 2n0 в центре до n0 на поверхности: r 2n0 2 − r , r 6 R,Rn(r) =n0 ,r > R.Здесь R — радиус сферы либо цилиндра. Также обычно полагают n0 =1.Поскольку в методе геометризации на основе квадратичной метрики97Рис. 5.4.

Ход лучей внутри линзы Люнебергадиэлектрическая и магнитная проницаемость равны, то запишем:εi j = µi j ,εi j = εδ i j ,µi j = µδ i j ,√n = εµ = ε = µ,r r 2ε=µ= 2−, r 6 R, n0 := 1.R981.51.00.50.0−0.5−1.0−1.512345Рис. 5.5. Траектории лучей как геодезические для линзы ЛюнебергаТогда, учитывая (3.34), получим следующую метрику:gα βr −3/4 2− R0=000− 2−0r 1/4R000− 2−00r 1/4R0.01/4 − 2 − RrТогда можно изобразить траектории лучей как геодезические в этомпространстве (см.

рис. 5.5).5.2.2.Линза МаксвеллаЛинза Максвелла [67] строится так, что, в частном случае, при испускании лучей из точечного источника, находящегося с одной сторонылинзы, лучи фокусируются в одной точке на противоположной поверх-99Рис. 5.6. Ход лучей Максвелланости линзы (см. рис. 5.6).Показатель преломления n меняется от 2n0 в центре до n0 на поверхности:n(r) =2n01+n ,0 ,r 2Rr 6 R,r > R.Здесь R — радиус сферы либо цилиндра. Также обычно полагают n0 =1.Поскольку в методе геометризации на основе квадратичной метрикидиэлектрическая и магнитная проницаемость равны, то запишем:εi j = µi j ,εi j = εδ i j ,n=√2ε=µ=1+µi j = µδ i j ,εµ = ε = µ, ,r 2Rr 6 R, n0 := 1.1001.51.00.50.0−0.5−1.0−1.51.01.52.02.53.03.54.04.5Рис. 5.7.

Траектории лучей как геодезические для линзы МаксвеллаТогда, учитывая (3.34), получим следующую метрику:gα β=21+−3/20r 2R0−0021+01/200.01/2 20r 2R00−21+1/2r 2R0−1+r 2RТогда можно изобразить траектории лучей как геодезические в этомпространстве (см. рис. 5.7).101Глава6.Элементыматематическогоформализма6.1.Векторные поляКасательным вектором vx в точке x многообразия M называют оператор, ставящий каждой дифференцируемой функции f на M в соответствие действительное число vx (f ). Также должны выполнятьсяследующие условия:линейность: vx (af + bg) = avx (f ) + bvx (g), где a, b — константы, f , g —функции;правило Лейбница: vx (f g) = f (x)vx (g) + g(x)vx (g).Касательные векторы к n-мерному многообразию M в точке x образуют n-мерное векторное пространство Tx M , которое называется касательным пространством.Возьмём в качестве базисных векторов этого пространства касательные векторы к координатным линиям на M через точку x.

Полученныйбазис будет называться голономным или координатным. Обычно егообозначают как ∂µ . Тогда вектор vx записывается в видеvx = v µ (x)∂= v µ (x)∂µ .µ∂x102Таким образом, вектор локально соответствует контравариантному тензору 1-го ранга.Наделим множество T M всех касательных пространств к многообразию M структурой 2n-мерного многообразия. Зададим на T M голономную систему координат (xµ , ẋµ ):00xµ = xµ (xν ),0∂xµ νẋ =ẋ ,∂xνµ0где xµ — координаты на M , а ẋµ — координаты на касательных пространствах к M относительно голономных базисов.На Tx M × · · · × Tx M можно определить поливекторное поле ω.

Полеω локально представимо контравариантным тензором ранга k:ω = ω µ1 ...µk ∂µ1 ⊗ · · · ⊗ ∂µk .6.2.Дифференциальные формыДифференциальная 1-форма α есть двойственный объект к касательному вектору v. Для отображения вектора v в действительное число используется операция свёртки (внутреннего произведения). Дляэтой операции используются следующие обозначения:– y : αyv;– ıv : ıv α;– α(v).103В локальных координатах 1-форма α в точке x имеет вид α =αµ (x) dxµ . Координатный базис 1-форм dx1 , .

. . , dxn связан с базисомвекторных полей соотношением ∂µ y dxν = δ (по определению). Локально 1-форма соответствует ковариантному тензору 1-го ранга. В точке xмногообразия M 1-формы образуют кокасательное пространство Tx∗ M .Из полилинейных функций Tx M × · · · × Tx M → R выделяется классантисимметричных линейных k-форм, заданных соотношениемω(X1 , . .

. , Xi , . . . , Xj , . . . , Xk ) = −ω(X, . . . , Xj , . . . , Xi , . . . , Xk ),Xi ∈ Tx M.Множество таких дифференцируемых функций обозначается какΛk (Tx M ), а элементы ωx ∈ Λk (Tx M ) называются дифференциальными (внешними, косыми) k-формами. Множество всех k-форм на многообразии обозначается через Ωk (M ). Операция произведения вводится с помощью ассоциативного, антикоммутативного, дистрибутивноговнешнего умножения ∧:ω ∧ η = (−1)pq η ∧ ω,ω ∈ Ωp (M ), η ∈ Ωq (M ).(6.1)В локальных координатах любая k-форма ω ∈ Ωk (M ) может быть записана в следующем виде:ω=1ωµ1 ...µk dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµk ,k!104илиω = ω|µ1 ...µk | dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµk .В последней записи суммирование производится по возрастающим индексам µ1 < . . . µk [20; 154].Функции (как скалярные объекты) являются 0-формами.

Если размерность многообразия равна n, то все k-формы при k > n равны нулю,а n-форма ω = ω(x) dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµn состоит из одного слагаемого.L kПространство всех форм Ω(M ) =Ω (M ) с операцией внешнего умножения (6.1) обладает структурой градуированной грассмановойалгебры.Алгебру дифференциальных k-форм можно превратить в дифференциальный комплекс (комплекс де Рама).

Для этого определяют операцию внешнего дифференцирования d. Внешний дифференциал d переводит k-форму в (k +1)-форму. Свойства внешнего дифференциала:– dd = 0;– d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη, ω ∈ Ωk (M ).Комплекс де Рама можно записать как цепной комплекс:dddn−1d01n0 → Ω0 (M ) −→Ω1 (M ) −→. . . −−→ Ωn (M ) −→0.(6.2)В голономных координатах внешний дифференциал можно записать следующим образом:dω = ∂|µ ωµ1 ...µk | dxµ ∧ dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµk .105Форма ω замкнута, если dω = 0. Это означает, что ω ∈ Z k (M ) =ker d : Ωk (M ) → Ωk+1 (M ) .

Форма ω называется точной, если существует (k−1)-форма η такая, что ω = dη. Это означает, что ω ∈ B k (M ) =Im d : Ωk−1 (M ) → Ωk (M ) .Фактор-пространство замкнутых k-форм по точным называетсяk-группой когомологий де РамаkHdR(M )ker dk=.Im dk−1Это фактор-пространство образовано классами эквивалентности замкнутых форм, разность которых является точной формой. Эти груп0пы являются линейными пространствами. Размерность группы HdR(M )(состоящей из постоянных функций) равна числу компонент связностимногообразия M . При k > n, где n — размерность многообразия M ,kHdR(M ) = 0.Пусть на ориентируемом многообразии M задан элемент объёмаV ∈ Ωn .

С помощью оператора двойственности Пуанкаре ] можно задать изоморфизм между пространствами Ωk и Ωn−k :] : Ωk → Ωn−k .(6.3)Используя оператор ], можно определить оператор дивергенции δ,106сопряжённый оператору d:δ = ]−1 d],δ : Ωk → Ωk−1 .(6.4)На римановом многообразии с метрикой gµν можно задать изоморфизм ıg :ıg : T M → T ∗ M.(6.5)В голономных координатах можно записать:ıg v = gµν v µ dxν = vµ dxµ .Аналогично (6.5) можно задать изоморфизм между k-векторами иk-формами:ıg ∧ · · · ∧ ıg : Ωk → Ωk .(6.6)Аналогично, можно построить изоморфизм, обратный (6.6):(ıg ∧ · · · ∧ ıg )−1 : Ωk → Ωk .(6.7)Тогда, с помощью изоморфизмов (6.7) и (6.3) можно определитьлинейный оператор дуальности Ходжа:∗ = ](ıg ∧ · · · ∧ ıg )−1 ,k∗ : Ω (M ) → Ωn−k(M ).(6.8)107В голономных координатах (6.8) имеет вид:p∗(dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµk ) =|g| µ1 ...µkενk+1 ...νn dxνk+1 ∧ · · · ∧ dxνn ,(n − k)!(6.9)...µkгде εµν11...ν— полностью антисимметричный тензор, gµν — метрическийkpтензор, g := det{gµν }, V = |g| dx1 ∧ · · · ∧ dxn — форма объёма.Аналогично (6.4), на основе оператора дуальности Ходжа (6.8), можно определить кодифференциал:δ = (−1)k ∗−1 d ∗ = (−1)k(n−k)+1 sign(g) ∗ d ∗,δ : Ωk → Ωk−1 .В случае согласованной с метрикой связности кодифференциал δможно выразить через оператор ковариантной производной ∇:A(δA)A= (∇A)= ∇µ AAµp1Aµ= p ∂µ|g|A.|g|Из операторов d и δ можно получить инвариантный лапласиан (оператор Лапласа–Бельтрами):∆k = (d + δ)2 = d δ + δ d ,k(6.10)k∆k : Ω (M ) → Ω (M ).Решения уравнения ∆k ω = 0 называются гармоническими формами.1086.3.Связь голономного и неголономного базисовпри записи векторовПусть задано многообразие M , в каждой точке которого определенабилинейная форма g : Tx M × Tx M → R.

Таким образом на M определено скалярное произведение с помощью симметричного невырожденноготензора gij (x).Обычно задают голономный базис:δii = ∂i =∂∈ T M,∂xiiδi = dxi ∈ T ∗ M,i = 1, n.Однако в векторном анализе распространено использование неголономного базиса. Дело в том, что неголономный базис может предоставлять некоторые удобства. В данном случае это:– сохранение величин при преобразовании координат (т.

е. расстоянияпереходят в расстояние, углы в углы и т. д.);– неразличимость контравариантных и ковариантных векторов, чтопозволяет использовать только один тип индекса.В векторном анализе неголономный базис задаётся через элементы0длины dsi по соответствующей координате:δii 0 =∂0,∂sii00δi = dsi ,i 0 = 1, n.109Квадрат интервала в голономном базисе имеет вид:ds2 = gi j dxi dxj ,i , j = 1, n,где gi j — метрический тензор.Аналогично квадрат интервала в неголономном базисе принимаетследующий вид:00ds2 = gi 0 j 0 dsi dsj ,i 0 , j 0 = 1, n.(6.11)В случае ортогонального базиса (6.11) принимает вид:00ds2 = gi 0 i 0 dsi dsi ,i 0 = 1, n.Выразим неголономный базис через голономный:i00dsi = hi dxi ,i0∂i ∂=h.0i0∂xi∂siiЗдесь hi , hi 0 , i , i 0 = 1, n, — коэффициенты неголономности.Для ортогонального базиса из (6.12) находим:iigi i dx dx = gi 0i 0i0 i0hi hi dxidxi ,i , i 0 = 1, n.(6.12)110Введём обозначение (для ортогональной системы координат): 2gi ii0 i0hi := hi hi =,gi 0 i 0hi :=i0his=gi i,gi 0 i 0i , i 0 = 1, n.Величины hi называются коэффициентами Ламе [155, Т.