Диссертация (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 4

Зададим аналогично (2.13)соответствие упорядоченной пары и комплексного 3-вектораF i ∼ (E i , B i ),F i = E i + iB i ;(2.14)iiiG ∼ (D , H ),iiiG = D + iH .Выразим напряжённость и индукцию через соответствующие комплексные векторыF i + F̄ iE =,2Gi + ḠiiD =,2iF i − F̄ iB =,2iGi − ḠiiH =.2ii(2.15)Здесь черта сверху означает комплексное сопряжение.Используя (2.15) уравнения (2.3) можно переписать в виде:∇i Gi = 4πρ;1 ∂F i4π−i+ eijk ∇j Fk = i j i .c ∂tc(2.16)Запишем (2.16) в более симметричном виде.

Для этого введём два31дополнительных комплексных вектораKi =Gi + F i,2Li =Ḡi − F̄ i.2(2.17)Тогда уравнения (2.3) примут вид∇i (K i + Li ) = 4πρ;1 ∂(K i − Li )4π−i+ eijk ∇j (Kk − Lk ) = i j i .c∂tc2.3.1.(2.18)Комплексное представление уравнений Максвелла ввакуумеФактически, мы просто переписали (2.3) в другом виде. Особогоупрощения мы не получили. Для упрощения запишем наши уравненияв вакууме. Будем считать, что у нас выполняются соотношения Di = E i ,H i = B i1 . Тогда, используя (2.17) получаемK i = E i + iB i = F i ,Li = 0.Тогда уравнения (2.18) будут иметь вид∇i F i = 4πρ;1 ∂F i4π−i+ eijk ∇j Fk = i j i .c ∂tc(2.19)В данном случае мы получили только один комплексный вектор.1Данные соотношения формальны, поскольку поля D и H суть отклик среды [179; 183].32При этом наложив достаточно жёсткие ограничения.2.3.2.Комплексное представление уравнений Максвелла воднородной изотропной средеУсложним уравнение (2.19), считая верными следующие соотношения: Di = εE i , µH i = B i , где ε и µ — диэлектрическая и магнитнаяпроницаемости.Сделаем следующий трюк.

В (2.19) делаем формальную замену c →c0 =√cεµ(то есть заменяем скорость света в вакууме на скорость светав среде) и j α →jα√.εТогда получим4π∇i F i = √ ρ,ε√√4π µ iεµ ∂F iijke ∇j Fk = ij +i.cc ∂tЗдесь комплексный вектор электромагнитного поля имеет следующийвид:Fi =√1εE i + i √ B i .µДанное представление уравнений Максвелла имеет несколько наименований, например, представление Зильберштейна [95; 96; 171] илиРимана–Зильберштейна[1; 38].332.4.Импульсное представление уравнений Макс-веллаИспользование преобразования Фурье для уравнений Максвеллаособенно удобно при волновом представлении. Кроме того, с помощьюпреобразований Фурье нелокальную задачу можно свести к локальной.Разложим векторы напряжённости электрического и магнитногополей, электрической и магнитной индукций в ряд Фурье по волновым векторам kj .

Будем использовать нотацию абстрактных индексов,Фурье-образы обозначим шапочкой:1ZÊ i (t, kj ) = p(2π)3Z1Ĥ i (t, kj ) = p(2π)3Z1B̂ i (t, kj ) = p(2π)3Z1D̂i (t, kj ) = p(2π)3Z1ρ̂(t, kj ) = p(2π)3Z1i̂ (t, kj ) = p(2π)3jd3 xjpd3 xjpd3 xjpj3 jdxpjd3 xjpd3 xjp3 gE i (t, xj )e−ikj x,j3 gH i (t, xj )e−ikj x ,3 gB i (t, xj )e−ikj x,(2.20)3 gD i (t, xj )e−ikj x3 gρ(t, xj )e−ikj xj,j3 gj i (t, xj )e−ikj x .,34Соотношениям (2.21) соответствуют обратные преобразования:ij1ZE (t, x ) = p(2π)3Z1ijH (t, x ) = p(2π)3Z1ijB (t, x ) = p(2π)3Z1ijD (t, x ) = p(2π)3Z1jρ(t, x ) = p(2π)3Z1ijj (t, x ) = p(2π)3d3 kjp3 ĝ Ê i (t, kd3 kjp3 ĝ Ĥ i (t, k3d kjp3 ĝ B̂ i (t, k3d kjp3 ĝ D̂i3d kjp3 ĝ ρ̂(t, k3pj )eikj xj,ikj xj,j )ej )eikj xj,(2.21)d kj(t, kj )ej )e3 ĝ̂i (t, kikj xjikj xj,,ikj xj.j )eКомпоненты векторов E i (t, xj ) и Ê i (t, kj ), (аналогично: H i (t, xj ) иĤ i (t, kj ), Di (t, xj ) и D̂i (t, kj ), B i (t, xj ) и B̂ i (t, kj ), j i (t, xj ) и ̂i (t, kj )) рассматриваются в разных базисах:E i (t, xj ) = E i (t, xj )δii ,Ê i (t, kj ) = Ê ı̂ (t, kj )δı̂i ,3ĝ := det gı̂ ̂ ,ds2 = gı̂ ̂ dxı̂ dx̂ .где базис δı̂i взят относительно вектора ki .

Для всех ki определён свойнезависимый базис.Обратим внимание на полезные формулы для преобразований Фу-35рье:i ) + bg(xi )) = afˆ(k ) + bĝ(k ),(af (x\iia, b = const,\∂f(xi )= ikj fˆ(k i ),j∂x1i )g(xi ) = p\f (x(fˆ ∗ ĝ)(ki ),3(2π)где свёртка имеет видZ ∞(fˆ ∗ ĝ)(ki ) =fˆ(ki − si )ĝ(si ) d3 si .−∞Считая 3 g = const, из (2.3) получим11i p εijk kj Ek (t, kj ) = − ∂t B i (t, kj ),3gc114πp εijk kj Hk (t, kj ) = ∂t Di (t, kj ) + j i (t, kj ),3gcc(2.22)iki Di (t, kj ) = 4πρ(t, kj ),iki B i (t, kj ) = 0.Поскольку результирующие (2.22) уравнения получаются комплексными, то представляется более оправданным использование в данном36подходе комплексного представления уравнений Максвелла (2.14):ij1ZF (t, x ) = p(2π)3Z1ijG (t, x ) = p(2π)3Z1jρ(t, x ) = p(2π)Z1ijj (t, x ) = p(2π)3d3 kjp3 ĝ F̂ i (t, kd3 kjp3 ĝ Ĝi (t, k3d kj3d kjp3 ĝ ρ̂(t, kpj )eikj xj,ikj xj,j )eikj xj,j )e3 ĝ̂i (t, kikj xj.j )eВ рамках классической электродинамики разложение векторов E j ,H j , B j , Dj в ряд Фурье по волновым векторам k j соответствует в квантовой механике разложению этих векторов в ряд Фурье по импульсам.Поэтому представление (2.22) можно назвать импульсным.2.5.Спинорная запись уравнений МаксвеллаПри рассмотрении спинорного представления уравнений Максвелла обычно ограничиваются вакуумным случаем, когда Gαβ = Fαβ [162].Рассмотрим спинорное представление уравнений Максвелла в более общем случае.Представим тензор электромагнитного поля Fαβ и его компоненты37Fα β в 2-спинорной форме [162] (аналогично и для Gαβ ):Fαβ = FAȦB Ḃ ;Fα β = FA Ȧ B Ḃ gα A Ȧ gβ B Ḃ ,A , Ȧ , B , Ḃ = 0, 1,α , β = 0, 3,где gα A Ȧ , α = 0, 3, — символы Инфельда–ван дер Вердена, определяемые в действительном спинорном базисе εA B следующим образом [162]:gα A Ȧ := gα α εA A εȦ Ȧ ,εA B = εȦ ḂgA Ȧ α := g α α εA A εȦ Ȧ , 0 1=,−1 0AεA εAB= εAB(2.23)1 0 =.0 1(2.24)Пусть gαβ = diag(1, −1, −1, −1) — метрика пространства Минковского, а метрика спинового пространства выбрана как (2.24), то символыИнфельда–ван дер Вердена будут иметь следующее координатное представление:1 1= gA0 Ȧ = √ 2 01 0= −gA2 Ȧ = √ 2 −iA Ȧg0A Ȧg201 0A Ȧ1 , g1 = gA Ȧ = √ 2 11i1 1A Ȧ3√,g=g=3A Ȧ2001,00.−1Поскольку тензор Fαβ действителен и антисимметричен, то его мож-38но представить в видеFαβ = ϕAB εȦḂ + εAB ϕ̄ȦḂ ,∗F αβ = −iϕAB εȦḂ + iεAB ϕ̄ȦḂ .(2.25)здесь ϕAB — спинор электромагнитного поля:111ϕAB := FAB Ċ Ċ = FAȦB Ḃ εȦḂ = Fαβ εȦḂ .222Выпишем компоненты спинора электромагнитного поля:1ϕA B = Fα β εȦ Ḃ g α A Ȧ g β B Ḃ .2Используя (2.23), (2.24) и обозначив Fi = Ei − iB i , можно записать:11ϕ00 = (F31 + F01 − iF32 − iF02 ) = (F1 − iF2 ) ,2211ϕ01 = ϕ10 = (−F03 − iF12 ) = − F3 ,2211ϕ11 = (F31 − F01 + iF32 − iF02 ) = − (F1 + iF2 ) .22Аналогично можно записатьGαβ = η AB εȦḂ + εAB η̄ ȦḂ ,∗Gαβ = −iηAB εȦḂ + iεAB η̄ȦḂ .(2.26)39здесь η AB — спинор Минковского:111η AB := GAB Ċ Ċ = GAȦB Ḃ εȦḂ = Gαβ εȦḂ .222Выпишем компоненты спинора η AB :1A ȦB Ḃη A B = Gα β εȦ Ḃ gα gβ.2Используя (2.23), (2.24) и обозначив Gi = Di − iHi , можно записать: 1 11 31G + G01 + iG32 + iG02 =G − iG2 ,2211η 01 = η 10 = −G03 + iG12 = − G3 ,221 311= G − G01 − iG32 + iG02 = − G1 + iG2 .22η 00 =η 11Заменяя в уравнении (2.7) абстрактные индексы α на AȦ и β на B Ḃ,запишем:∇AȦ GAȦB Ḃ =4π B Ḃj .cИспользуя соотношение (2.26) получим∇AḂ ηAB + ∇B Ȧ η̄ȦḂ =4π B Ḃj .cАналогично, из (2.12) и (2.25) получимAḂ Ȧ∇ȦB ϕAϕ̄Ḃ = 0.B −∇40Таким образом полная система уравнений Максвелла в спинорномпредставлении имеет видAḂ Ȧ∇ȦB ϕAϕ̄Ḃ = 0,B −∇∇AḂ η B + ∇B Ȧ η̄ Ḃ = 4π j B Ḃ .AȦc(2.27)В вакуумном случае (при отсутствии среды) мы можем положитьη AB = ϕAB .

Тогда система уравнений (2.27) примет вид:AḂ Ȧ∇ȦB ϕAϕ̄Ḃ ,B =∇∇AḂ ϕB + ∇B Ȧ ϕ̄Ḃ = 4π j B Ḃ .AȦc(2.28)Подставляя первое уравнение в (2.28) во второе, получим, что система уравнений Максвелла в вакууме в спинорной форме записывается ввиде одного уравнения:∇AḂ ϕBA =2.6.2π B Ḃj .cПредставления уравнений Максвелла черездифференциальные формы2.6.1.Представление через 4-мерные формыЗапишем уравнения (2.6) и (2.7) через дифференциальные формы вформализме расслоенных пространств [23; 127; 184].41Будем рассматривать расслоениеY → X,где X = R4 — четырёхмерное пространство.

При этом мы не делаемпредположение о метрике данного пространства.Зададим F (2-форма), G (бивектор) и j (вектор):1F = Fα β dxα ∧ dxβ , F ∈ Λ2 ,21G = Gα β ∂α ∧ ∂β , G ∈ Λ2 ,2j = j α ∂α(2.29)j ∈ Λ1 .Можно также записать (2.29) с использованием нотации абстрактных индексов:1αβFαβ = Fα β dxα ∧ dxβ , Fαβ ∈ Λ2 ,21Gαβ = Gα β ∂αα ∧ ∂ββ , Gαβ ∈ Λ2 ,2j α = j α ∂αα ,j α ∈ Λ1 .Тогда уравнения (2.6) и (2.7) примут вид:dF = 0,δG =4πj.c(2.30)Здесь δ = ]−1 d ] — дивергенция, ] : Λk → Λn−k задаёт двойственность42Пуанкаре.Запишем материальные уравнения в виде:G = λ(F ).Тогда уравнение (2.30) примет вид:d]λ(F ) =4π]j.c(2.31)Зададим изоморфизм:∗ : Λ 2 → Λ2 ,(2.32)∗ : F 7→ ]λ(F ).Тогда (2.33) примет вид:d∗ F =4π]j.c(2.33)Оператор (2.32) является оператором дуальности Ходжа.2.6.2.Представление через 3-мерные формыДля записи уравнений Максвелла используют 1-форму напряжённости электрического поля E и 2-форму магнитной индукции B:E = Ei dxi ,B = B i ∂i ,B=B = ]B,1εi j k B i dxj ∧ dxk .3!(2.34)43Аналогично для D и H:H = Ei dxi ,D = D i ∂i ,D=D = ]D,1εi j k Di dxj ∧ dxk .3!Уравнения Максвелла (2.3) принимают вид:dEdH1= − ∂t ]B,c14π= ∂t ]D + ]J,ccδDδB= 4πρ,= 0.На основе 3-мерных форм (2.34) и (2.34) можно построить 4-мерныеформы (2.29):F = E ∧ dt + ]B,G = H ∧ ∂t − ]−1 D,j = 4πρ +2.7.(2.35)4πJ.cРеализация уравнений Максвелла в некото-рых системах координатПродемонстрируем реализацию уравнений Максвелла в голономномбазисе на примере часто используемых систем координат: цилиндрической и сферической.

Результат можно сравнить с реализацией в него-44лономной системе координат.2.7.1.Уравнения Максвелла в цилиндрической системе коор-динатВ рамках стандарта ISO 31-11 координаты (x1 , x2 , x3 ) обозначаютсякак (ρ, ϕ, z). Чтобы не возникало коллизий с обозначением плотностизаряда ρ, будем использовать обозначения (r, ϕ, z)Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z.Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:pr = x2 + y 2 ,y ϕ = arctg,xz = z.Обозначим декартовы координаты штрихованным индексом, а цилиндрические — нештрихованным.

Тогда матрица Якоби будет иметь45следующий вид∂x ∂ri00∂xiJi ==  ∂yi ∂r∂x∂z∂r∂xcos ϕ −r sin ϕ 0∂z  ∂y =.sinϕrcosϕ0∂z  ∂z001∂z∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z∂ϕМетрический тензор:1 0 0 i0 j 02gi j = gi0 j 0 Ji Jj = 0 r 0 ,0 0 11 0 0 iji0 j 0 i j2g = g Ji0 Jj 0 = 0 1/r 0 .0 0 1√g = r.Коэффициенты Ламе:h1 ≡ hr = 1,h2 ≡ hϕ = r,h3 ≡ hz = 1.Символы Кристоффеля (не равные нулю):Γ122 = −r,1Γ221 = Γ212 = .r46Соотношение между голономным (тензорным) и неголономным(векторным) базисами (см. (6.13) и (6.14)):000f r = f r,f ϕ = rf ϕ ,f z = f z,fr 0 = fr ,1fϕ0 = fϕ ,rf z 0 = fz .Дифференциальные операторы в голономном базисе:(grad f )i =∂f r ∂f ϕ ∂f zδ +δ +δ ;∂r i ∂ϕ i∂z i1div f = ∂r (rf r ) + ∂ϕ (f ϕ ) + ∂z (f z ) ;r1(rot f)i = [∂ϕ fz − ∂z fϕ ] δri +r11+ [∂z fr − ∂r fz ] δϕi + [∂r fϕ − ∂ϕ fr ] δzi .rrДифференциальные операторы в неголономном базисе:∂f r0 1 ∂f ϕ0 ∂f z 0(grad f )i =δ +δ +δ ;∂r ir ∂ϕ i∂z i 01 r0 1 ϕ0 div f = ∂r rf + ∂ϕ f+ ∂z f z ;rr1(rot f)i = [∂ϕ fz 0 − r∂z fϕ0 ] δri 0 +r1+ [∂z fr0 − ∂r fz 0 ] δϕi + [∂r (rfϕ0 ) − ∂ϕ fr0 ] δzi 0 .rЗапишем уравнения Максвелла в цилиндрических координатах47(r, ϕ, z).i1h1∂j Ek − ∂k Ej = − ∂t B i , i , j , k = 1, 3,rci1h14π∂j Hk − ∂k Hj = − ∂t Di + j i , i , j , k = 1, 3,rcc1∂i rDi = 4πρ, i = 1, 3,r1∂i rB i = 0, i = 1, 3.rПосле преобразований окончательно получаем:11[∂ϕ E3 − ∂z E2 ] = − ∂t B 1 ,rc11[∂z E1 − ∂r E3 ] = − ∂t B 2 ,rc11[∂r E2 − ∂ϕ E1 ] = − ∂t B 3 ,rc114π[∂ϕ H3 − ∂z H2 ] = − ∂t D1 + j 1 ,rcc114π[∂z H1 − ∂r H3 ] = − ∂t D2 + j 2 ,rcc114π[∂r H2 − ∂ϕ H1 ] = − ∂t D3 + j 3 ,rcc1 1 ∂D1 ∂D2 ∂D3D +++= 4πρ,r∂r∂ϕ∂z1 1 ∂B 1 ∂B 2 ∂B 3B +++= 0.r∂r∂ϕ∂z2.7.2.Уравнения Максвелла в сферической системе коорди-натВ рамках стандарта ISO 31-11 координаты (x1 , x2 , x3 ) обозначаютсякак (r, ϑ, ϕ).48Закон преобразования координат от декартовых к сферическим:x = r sin ϑ cos ϕ,y = r sin ϑ sin ϕ,z = r cos ϑ.Закон преобразования координат от сферических к декартовым:pr = x2 + y 2 + z 2 ,!zϑ = arccos p= arctg2 + y2 + z2xy ϕ = arctg.x!p22x +y,zОбозначим декартовы координаты штрихованным индексом, а сферические — нештрихованным.