Диссертация (Спектральные асимптотики в задачах с самоподобным весом)

Санкт-Петербургское отделениеМатематического института имени В.А.СтекловаРоссийской академии наукНа правах рукописиРастегаев Никита ВладимировичСПЕКТРАЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИВ ЗАДАЧАХ С САМОПОДОБНЫМ ВЕСОМСпециальность 01.01.02 —«Дифференциальные уравнения, динамические системыи оптимальное управление»Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Назаров Александр ИльичСанкт-Петербург — 20182ОглавлениеСтр.Введение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Глава 0. Основные определения и вспомогательные сведения . .18§ 1. Самоподобные функции обобщенного канторовского типа . . . . .18§ 2. Вспомогательные сведения о спектре задачи Штурма-Лиувилля .20Осцилляционные свойства . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .20Связь спектральных асимптотик для различных краевых задач .21Произведение отношений собственных чисел . . . . . . . . . . . .22§ 3. Критерий сингулярности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23§ 4. Вспомогательные сведения о медленно меняющихся функциях . .23§ 5. Почти регулярная спектральная асимптотика .

. . . . . . . . . . .25§ 6. Малые уклонения случайных гауссовских процессов . . . . . . . .25Глава 1. Задача Штурма-Лиувилля с арифметическисамоподобным весом. Асимптотика спектра в случаерезонанса 1:1:. . . :1 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .28§ 1. Спектральная периодичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28§ 2. Доказательство основного результата . . . . . . . . . . . . . . . .31Глава 2. Задача Штурма-Лиувилля с арифметическисамоподобным весом. Асимптотика спектра в случаеобщего резонанса . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35§ 1. Вспомогательные свойства спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . .35§ 2. Доказательство основного результата . . . . . . . . . . . . . . . .42Глава 3. Асимптотика спектра тензорного произведенияоператоров с почти регулярными маргинальнымиасимптотиками . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48§ 1. Предварительные факты об асимптотике почти меллиновскихсверток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483§ 2. Спектральная асимптотика тензорных произведений . . . . . . .56§ 3. Приложение к задаче об асимптотике малых уклоненийслучайных гауссовских процессов.

. . . . . . . . . . . . . . . . .73Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Список литературы81. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4ВведениеАктуальность темы исследования. Анализ асимптотики спектра кра­евых задач с сингулярным весом — классическая задача, изучение которой ве­дется с середины прошлого века и восходит к серии работ М.

Г. Крейна [16—18],в которых для распределения собственных значений задачи{︃− ′′ = ,(1)(0) = (1) = 0,в случае неотрицательной весовой меры была получена формула1lim √ =→∞∫︁1 √︀′ ,(2)0где — абсолютно непрерывная составляющая первообразной меры .В случае чисто сингулярной меры из соотношения (2) следует, что счита­ющая функция () = #{ : < } собственных значений задачи (1) допус­√√кает оценку ( ) вместо обычной асимптотики () ∼ в случае меры,содержащей абсолютно непрерывную составляющую (см. также [15], [60]).В [3] получены похожие результаты для операторов произвольного чет­ного порядка в многомерном случае и лучшие оценки сверху на считающуюфункцию собственных значений для некоторых специальных классов мер.В работе [1] получены общие результаты для многомерных интегральныхоператоров, ядра которых имеют особенность на диагонали. В частности, длядифференциальных операторов четного порядка из результатов этой работыследует, что если весовая мера содержит абсолютно непрерывную компонен­ту, то ее сингулярная составляющая не влияет на главный член асимптотикиспектра.В последние 20 лет наблюдается новый интерес к этим задачам, а такжек близким задачам о спектре краевых задач с сингулярным потенциалом.

В ра­ботах [5; 10; 12] рассматривается случай индефинитного самоподобного веса взадаче Штурма-Лиувилля. В этом случае для положительной и отрицательной5составляющей спектра имеет место асимптотика, аналогичная (3), однако пока­затель ∈ (0,1). В работе [20] асимптотика (3) обобщается на случай диффе­ренциального оператора произвольного четного порядка.

Кроме того, показано,что функция в этой асимптотике является непрерывной. В работах [9] (дляуравнения Штурма-Лиувилля) и [62; 8] (для уравнения произвольного четногопорядка) рассматривается случай дискретного самоподобного веса. В этом слу­чае собственные числа растут экспоненциально. В работе [30] для уравненияШтурма-Лиувилля рассматриваются самоподобные веса из пространства муль­типликаторов в пространствах Соболева. Задача Штурма-Лиувилля с потенци­алами из пространств Соболева, в том числе с потенциалами-распределениями,рассматривается в работах [22—26], [42—47], [49], [53].

Операторы Крейна-Фелле­ра, являющиеся обобщением весовых операторов Штурма-Лиувилля, рассмат­риваются в серии работ [35—38] (см. также [6]) в случае, когда хотя бы одна извходящих в определение оператора мер является самоподобной.Степень разработанности темы исследования. Точный степеннойпорядок роста считающей функции () для задачи (1) в случае сингулярнойсамоподобной меры был установлен в [39] (см. также более ранние работы [41]и [60], где получены частные результаты, касающиеся классической канторовойлестницы).В работах [67] и [52] был выделен главный член спектральной асимпто­тики в случае сингулярной самоподобной меры , и показано, что считающаяфункция собственных значений задачи (1) имеет асимптотику(︀)︀ () = · (ln ) + (1) , → +∞,(3)где — некоторая ограниченная и отделенная от нуля -периодическая функ­ция, а степенной показатель ∈ (0, 12 ).

Как функция (в частности, период ),так и показатель определяются параметрами самоподобия веса . В случаенеарифметического типа самоподобия (см. Определение 1 ниже) канторовойлестницы, производной которой является , функция вырождается в констан­ту.В работе [20] сформулирована следующая гипотеза.6Гипотеза 1. Функция в формуле (3) является непостоянной для произволь­ного неравномерного веса с арифметически самоподобной первообразной.Подтверждению этой гипотезы для определенных классов арифметическисамоподобных весов было посвящено несколько работ.В работе [12] при помощи компьютерных вычислений доказано, что функ­ция действительно не может являться постоянной в том простейшем случае,когда обобщённая первообразная веса представляет собой классическую кан­торову лестницу.В работе [11] гипотеза 1 была подтверждена для “ровных” лестниц (см.ниже условия (0.1)).

Для таких лестниц была доказана следующая характери­зационная теорема.Теорема A. Пусть первообразная меры представляет собой “ровную” лест­ницу. Тогда коэффициент из асимптотики (3) допускает представление∀ ∈ [0, ] () = − (),(4)где — некоторая чисто сингулярная неубывающая функция (т.е. ее произ­водная в смысле обобщенных функций есть мера, сингулярная относительномеры Лебега).Отсюда утверждение о непостоянстве функции () следует немедленно.Этот результат позднее обобщен в работе [7] на случай уравнения четвертогопорядка.Цели и задачи. В главах 1 и 2 данной диссертации доказывается фор­мула (4) из теоремы A и, следовательно, подтверждается гипотеза 1 для болееширокого класса лестниц.Заметим, что асимптотика (3) является частным случаем почти регуляр­ной спектральной асимптотики () ∼ ()(ln ), → +∞,где ∈ (0,1), — медленно меняющаяся функция, — -периодическая функ­ция.7В главе 3 рассматривается асимптотика спектра тензорного произведениякомпактных операторов с почти регулярной спектральной асимптотикой (см.соотношение (7) ниже).Научная новизна.

Выносимые на защиту положения являются новымии получены автором самостоятельно.Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носиттеоретический характер. Результаты представляют интерес для специалистовпо спектральной теории дифференциальных и интегральных операторов. Из­вестные приложения подобных результатов встречаются в задачах, касающих­ся асимптотик квантования случайных величин и векторов (см.

например [40],[58]), сложности в среднем линейных задач, то есть задач приближения непре­рывного линейного оператора (см. например [64]), а также в рамках интенсивноразвивающейся теории малых уклонений случайных процессов, а именно, длямалых уклонений гауссовских случайных процессов в 2 -норме (см. например[51], [50]).Методология и методы исследования. При доказательстве основ­ных результатов данной диссертации были использованы: классические методыспектральной теории операторов в гильбертовых пространствах; асимптотиче­ские методы; методы анализа асимптотики спектра тензорного произведенияоператоров; методы анализа асимптотики спектра, основанные на связи междуспектрами задач на отрезке и его подотрезках, в том числе свойство спектраль­ной периодичности и специально введенное в данной работе свойство спектраль­ной квазипериодичности; свертка Меллина, а также введенная в данной работеобобщающая ее почти меллиновская свертка и ее свойства.Методы анализа асимптотики спектра тензорного произведения операто­ров, обобщаемые в данной диссертации, были разработаны в [51] и [50].