Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 8

Бухштабером, О.В. Карповым и С.И. Тертычным [12] в контексте эффектаДжозефсона. Это простое, но важное замечание говорит о том, что отображениеПуанкаре Pa,b,µ сопряжено преобразованию Мёбиуса.Таким образом, для фиксированного значения µ существует счётное числоязыков на плоскости с координатами (a, b), соответствующих целым значениямчисла вращения. С этого момента и далее мы будем рассматривать полуплос�кость b > 0. Дополнительная полуплоскость может быть изучена при помощисимметрий уравнения.Предыдущее рассуждение использует только факт, что f (x) = cos x, не на�лагая никаких условий на функцию g(t).

Тем временем, если функция g чётна(в частности, для g(t) = cos t) уравнение (1.13) обладает дополнительной сим�метрией: отображение (x, t) 7! ( x, t) переводит переводит фазовые кривыев себя, меняя ориентацию. Это означает, что1(x). Следова�Pa,b,µ ( x) = Pa,b,µтельно, если точка x0 неподвижна при отображении Pa,b,µ , то точкаx0 такжеявляется фиксированной для этого отображения.

Если точка (a, b, µ) лежит награнице языка Арнольда, то преобразование Мёбиуса Pea,b,µ является либо па�раболическим, либо тождественным. В параболическом случае единственнаянеподвижная точка x̂ обязана удовлетворять соотношению x̂ ⌘x̂ (mod 2⇡),откуда x̂ равно либо 0, либо ⇡.Для любых фиксированных значений b и µ множество Ekb,µ = {a 2 R :(a, b, µ) 2 Ek } является отрезкам Ekb,µ = [ab,µ , a+b,µ ]. При движении точки a от ле�eвого конца ab,µ отрезка Ekb,µ к его правому концу a+b,µ множество {x : Pa,b,µ (x) >x + k} монотонно возрастает, так как правая часть уравнения (1.11) монотоннапо a. Значит, если точка x̂ является неподвижной для отображения Pa,b,µ дляa = ab,µ , то Pea,b,µ (x̂) > x̂+k для всех a 2 Ekb,µ , кроме a = ab,µ , и x̂ не может бытьнеподвижной точкой отображения Pa,b,µ для a = a+b,µ .

Отсюда отображение Pa,b,µимеет фиксированную точку 0 для одного конца отрезка Ekb,µ и неподвижнуюточку ⇡ для другого конца отрезка.Таким образом, для фиксированного значения µ границу языка Арнольда,соответствующего числу вращения k 2 Z, можно представить как объединениеграфиков двух аналитических функций, обозначаемых через a0,k (b) и a⇡,k (b),где 0 (соответственно, ⇡) является неподвижной точкой отображения Пуанка�ре, где a = a0,k (b) (соответственно, a = a⇡,k (b)). Графики этих функций могутпересекаться, и отображение Пуанкаре P̃a,b,µ тождественно в точках пересече�ния.1.3.2. Основные результатыНас интересуют асимптотические оценки границ a0,k (b) и a⇡,k (b) языковАрнольда уравнения (1.10) при b ! 1.

Эти оценки доказываются в два шага.Сначала в теореме 1.2 мы показываем, что границы a0,k (b) и a⇡,k (b) близки кпрямой a = kµ. Далее в теореме 1.3 мы показываем, что функции a0,k (b)kµ и a⇡,k (b)kµ асимптотически близки к нормализованной целой функцииБесселя. Впервые этот факт был замечен в работе [32] сразу после открытияэффекта Джозефсона в 1962г., где впервые был объяснён на физическом уровнестрогости. См.

также часть 5 статьи [7], §11.1 статьи [33], а также статью [12]. Вданной работе мы приводим полное доказательство этого результата, а такжеоценки разности.Теорема 1.2. Существуют такие положительные константы C1 , C2 , K1 , K2 , чтоесли для параметров a, b, µ выполнены неравенства|a| + 1  C1тоaµ⇢a,b,µpbµ,b(1.14)C2 µ,✓ ◆bK1K1K22K2lnp +p .p +µbµ bµbµbµ3(1.15)Теорема 1.3. Существуют такие положительные константы C10 , C20 , K10 , K20 , K30 ,что если параметры b, µ и число k 2 Z удовлетворяют неравенствам|kµ| + 1  C10pbµ,bто имеют место следующие неравенства:◆✓✓11ba0,k (b)k + JkK10 +µµµb◆✓✓11ba⇡,k (b)kJkK10 +µµµbC20 µ,(1.16)✓ ◆◆K20b0,+Kln3µ3µ✓ ◆◆bK200.+Kln3µ3µ(1.17)Теорема 1.3 является нашим основным результатом: она показывает, какграницы языков Арнольда могут быть приближены функциями Бесселя придостаточно больших значениях параметра b, что иллюстрирует рис.

1.5.Напомним, что функция Бесселя первого рода определяется следующимобразом:1Jk ( z) =2⇡2⇡Z(1.18)cos(kt + z sin t)dt.0Она имеет следующую асимптотику при больших z (см. [34]):r◆✓◆✓k⇡ ⇡21при z ! +1.cosz++ O 3/2Jk ( z) =⇡z24zПрименяя это к уравнению (1.17), получаемr✓◆2b k⇡ ⇡cos++ Oµ (ba...,k (b) = k ±⇡bµµ241ln b).(1.19)(Здесь Oµ ( · ) является O( · ) с константой, зависящей от µ.) Таким образом, вдействительности функция Бесселя является главный членом асимптотическо�го разложения функции a...,k (b). В частности, из асимптотического разложения(1.19) следует, что графики функций a0,k (b) и a⇡,k (b) имеют бесконечно многоточек пересечения. Это означает, что каждый язык Арнольда имеет бесконечномного горизонтальных сечений нулевой ширины.

Точки (a, b) плоскости пара�метров, соответствующие пересечениями границ языков Арнольда, само собой,являются очень специальными. Отображение Пуанкаре Pa,b,µ , соответствующееэтим точкам, тождественно.Определение 2. Точка (a, b) 2 R2 с b 6= 0 на границе языка Арнольда с⇢a,b,µ = k 2 Z называется перемычкой, если она лежит на пересечении границ,то есть a = a0,k (b) = a⇡,k (b).Недавно было получено множество интересных результатов о структуреязыков Арнольда для эффекта Джозефсона.

Ниже мы приводим краткое изло�жение основных результатов.Прежде всего, заметим, что k-ый язык Арнольда Ek пересекает прямуюp6 0, а E0 пересекаетb = 0 в единственной точке (sgn k · k 2 µ2 + 1, 0), если k =эту прямую по отрезку [ 1, 1] (в случае b = 0 уравнение (1.10) не зависит от пе�ременной времени и может быть просто интегрировано). Как отмечалось выше,из теоремы 1.3 следует, что каждый язык имеет бесконечно много перемычек.Что более удивительно, рис. 1.5 наталкивает на следующую гипотезу: всеперемычки k-го языка Арнольда лежат на одной прямой a(b) ⌘ kµ (пунктирнаялиния на рис.

1.5). Это доказано в [15] для µ1, и доказательство используетклассическую теорию неавтономных линейных уравнений комплексной пере�менной. Для µ < 1 этот факт до сих пор не доказан и остаётся осмысленнойгипотезой. Сложность состоит в изучении перемычек около прямой b = 0.Результат работы [15] является единственным нетривиальным глобальнымрезультатом о структуре языков Арнольда уравнения (1.10), тогда как прочиерезультаты касаются поведения языков Арнольда в некоторых областях плос�кости параметров.Например, при достаточно малых значениях µ применима техника быстро�b20Γ11510Γ25ℓ1ℓ2a0−2−1012Рис. 1.5.

Языки Арнольда уравнения Джозефсона в области на плоскости с координатами(a, b) для фиксированного значения µ = 0.4.Серые области соответствуют языкам Арнольда Ek для k =4, . . . , 4, их границы (жирныелинии) соответствуют кривым a = a0,k (b) и a = a⇡,k (b).Кривые1и2задаются условиями вида (1.14). Оценки из теоремы 1.3 применимы в обла�сти выше обеих кривых1и2(очерченной жирной линией).

Связь условий вида (1.14) иусловий (1.16) теоремы 1.3 изучается в первой части доказательства этой теоремы. Штри�хованные линии в этой области представляют приближения функциями Бесселя, заданныетеоремой 1.3.Штрихованные линии являются прямыми a = kµ, содержащими все перемычки языков Ар�нольда [15].Область между прямыми `1 и `2 является областью применимости техники быстро-медлен�ных систем [5].Компьютерное вычисление, приводящее к данной иллюстрации, выполнено И.Щуровым.52 40медленныхдинамическихсистем,показывающая,чтообластьмеждупрямыми`1={b=a+1}и`2={b=a 1}плотнозаполненаязыкамиАрнольдаичторасстояниемеждунимиуменьшаетсяэкспоненциальнопоµ.Обзорпотехникебыстро-медленныхсистемвслучаеуравнения(1.10)см.в[5].ВцеломкартинаповеденияязыковАрнольдаследующая:влюбойконеч�ной области вокруг прямой b= 0 языки плотно заполняют пространство [5], втожевремядляb,стремящихсякбесконечности(когда“bболеебольшое,чемµмаленькое”)поведение,описываемоефункциямиБесселя,преобладаетнадповедением,описываемымбыстро-медленнымисистемами.Однако,этоописа�ниедостаточносхематично,имногиевопросыолокальномповеденииязыковАрнольдапо-прежнемуимеютсмысл.Например,иллюстрацияподсказывает,чтоправыеграницыязыковАрнольдаEk ,k > 0имеютточкиперегибанапря�мой`2 .Мынеимеемдогадок,правдалиэто,атакже,какэтоможнобылобыдоказать.Приведёмтеперьнабросокдоказательствтеоремы1.2итеоремы1.3.Впервуюочередь,перепишемуравнение(1.10)какинтегральноеуравнениеx(t)Rtat + b sin t + 0 cos x(⌧ ) d⌧x(0) =µ(1.20)и используем факт, что на основной части отрезка [0, 2⇡] функция cos x(t) оченьбыстро осциллирует, так как значение dx/dt достаточно велико, если толькозначение |cos t| не очень мало.

Ниже будет показано, что отсюда следует, чтоинтеграл в (1.20) достаточно мал, а, значит, для всех решений уравнения (1.10)разность x(2⇡) x(0) = Pea,b,µ (x(0)) x(0) близка к 2⇡a/µ. Но если отображениеокружности равномерно 2⇡"-близко к жёсткому повороту на угол 2⇡↵, то егочисло вращения "-близко к ↵. Отсюда внутри k-го языка Арнольда a/µ должнобыть близко к k, поэтому a близко к kµ.В случае второй теоремы мы раскроем интеграл в (1.20), используя самуформулу (1.20):x(2⇡)2⇡a 1+x(0) =µµ2⇡Z0R⌧◆a⌧ + b sin ⌧ + 0 cos x(s) ds+ x(0) d⌧.

(1.21)cosµ✓На границе языка Арнольда, где либо a = a0,k (b), либо a = a⇡,k (b), левая частьравна 2⇡k, если либо x(0) = 0, либо x(0) = ⇡. Мы покажем, что внутреннийинтеграл мал, и его влияние на значение внешнего интеграла также мало, итаким образом он может быть отброшен. Далее мы заменяем a⌧ на kµ⌧ внутривнешнего интеграла (так как akµ мало по теореме 1.2).