Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 6

Значение числа вращения являетсяважным инвариантом отображения Pa,b,µ : в частности, оно сохраняется при со�пряжении и гомеоморфизмах.Определение 1. Будем говорить, что имеет место захват фазы для значенияk 2 R числа вращения, если множество линий уровняEk := {(a, b, µ)|⇢a,b,µ = k}(1.4)пространства параметров R2 ⇥ R+ имеет непустую внутренность. В этом случаемножество Ek называется языком Арнольда.Начиная с этого момента и до конца этой главы основным вопросом длянас будет: для каких значений числа вращения ⇢ существуют языки Арнольда,и как они выглядят ?31.1.2. Физическая мотивировкаУравнение (1.1) приходит к нам из физики сверхпроводников и может бытьнайдено в физических работах и учебниках [7–9] в качестве модели динамикиджозефсоновского перевода.

Уравнение Джозефсона в физическом контекстезаписывается в синусоидальной формеdx sin x + a + b sin t=.dtµ(1.5)Замены x ! x ± ⇡/2, t ! t ± ⇡/2 переводят первый вариант уравнения(1.1) во второй (1.5). Мы исследуем уравнение в более удобной для нас косину�соидальной форме, это никак не влияет на результаты.Свойства этого уравнения изучались в контексте эффекта Джозефсона вбольшом количестве работ [10–18], однако изначально свойства этого уравненияизучались в совершенно других областях. К примеру, это уравнение появляетсяестественным образом в контексте планиметра Притца [19], а также в контекстединамики движения велосипеда [20, 21]. Изначально техника быстро-медлен�ных динамических систем (для µ ⌧ 1) была применена Дж.

Гукенхаймером иЮ. Ильяшенко в [22], однако в контексте эффекта Джозефсона семейство (1.10)не было изучено с математической точки зрения до серии работ [10, 11] В.М.Бухштабера, О.В. Карпова и С.И. Тертычного. Сейчас этот предмет исследова�ния обрёл широкую популярность.Дадим физическую интерпретацию (см. [7, 8, 23]) уравнения (1.5). Этоуравнения дает математическую модель так называемого джозефсоновскогоперехода. Это небольшое устройство, названное в честь Брайана Джозефсна,который предсказал возможность его существования в 1962 году. Джозефсонудостоился Нобелевской премии за это открытие десять лет спустя, посколькуего гипотеза была экспериментально подтверждена.В наши дни джозефсоновские контакты широко используются для постро�ения замкнутых электронных цепей. Имеется большое количество научных ра�бот об ультра-быстрых компьютерах (с низким потреблением энергии), исполь�зующих "джозефсоновскую логику". Что может быть даже более значительно,джозефсоновские контакты могут быть использованы в устройствах, называе�мых сквидами (от англ.

squid, сверхпроводящее квантовое интерференционноеустройство). Сквиды являются самыми чувствительными из известных нынедетекторов магнитного поля. Они используются для построения чрезвычайночувствительных датчиков магнитного поля и вольтметров (в 1000 раз болеечувствительных любых других устройств). Поскольку сквиды чувствуют дажемалейшее изменение магнитного поля, они могут быть использваны для измере�ния магнитных полей живых организмов: например, при изучении активностимозга или сердца человека.

Другие применения – составление магнитных картв геологии и детектирования объектов, скрытых под поверхностью (поиск под�водных лодок и так далее).Контакт собирается следующим образом: нужно поместить очень тонкийбарьер несверхпроводящего материала (так называемую слабую связь) междудвумя слоями сверхпроводящего материала. Этот барьер может быть сделаниз разных материалов, например диэлектрик или любой другой не сверхпрово�дящий метал.

В этом случае, размер барьера составляет несколько микронов.Джозефсоном было пердсказано, что в такой микроскопической системе воз�можен эффект туннелирования: суперпроводящие электроны проходят черезбарьер без сопротивления.Мы знаем, что для многих металлов резкое охлаждение переводит их всовершенно другое состояние. А именно, существует критическая температура(которая зависит от металла, но в любом случае очень низка - в районе минус250 градусов по Цельсию), при которой металл переходит из состояния элек�трического сопротивления в состояние сверхпроводника. В этом новом состоя�нии металл практически не дает никакого сопротивления электрическому току.Заметим, что недавно было установлено существования сверхпроводимости навысоких температуха, например для некоторых керамических материалов.

Онидают то же поведения при температурах около - 70 градусов Цельсия, [24].Объяснениетакогоповеденияследующее:внекоторыймоментпонижениятемпературы, из-за взаимодействия электроннов с ионной решеткой металла,дваэлектронаначинаютслабопритягиваться,втовремякакпритемпературевыше критической они отталкивались. Это новое притяжение позволяет элек�тронампопастьвсостояниеменьшейэнергии,поэтомудляэлектроновпоявля�етсявозможностьпутешествоватьчерезионнуюрешетку,ипоэтомупоявляетсяток.Вэтомсостояниинетэлектрическогосопротивления,и,втожевремя,естьсуперток,называемыйкритическим током.В джозефсоновском контакте до того как критический ток достигнут, па�рыэлектронновмогутпутешествоватьчерезнесверхпроводящийбарьербезвся�когосопротивления.Кактолькосупертокпревзойден,появляетсянапряжениечерез барьер (между пластинками).

Это напряжение – функция времени и то�ка, и пока ток меньше критического, напряжение равно нулю. Как только токпревосходит критический ток, напряжение будет осциллировать во времени.Брайан Джозефсон предсказал точные соотношения между током и напряже�нием.Именноэтисоотношениябудутнаминтересны.Предположим,чтоток,проходящийчерезконтакт,имеетвидI(t) = I¯(t)+ I˜(t),тоестьявляетсясуммойпостоянногочленаI¯ ипериодическогочленаI˜с нулевым средним (мы предполагаем, что это так порождается внешним элек�тромагнитнымсигналом).Напряжениеэлектродовджозефсоновскогоконтактадается производной по времени функции x(t), имеющей квантовую природу.Эта функция x дает разность фаз волновых функций, описывающих свойствасобранияэлектроноввсверхпроводящихматериалах.Несмотрянато,чтосамафункция имеет квантовую природу, ее производная – макроскопическая вели�чина,отвечающаянапряжениюмеждусверхпроводящимипластинками.Для описания джозефсоновского перехода используется резистивная мо�дельсмалойемкостью(большимзатуханием),задающаяся[7,8]уравнениемẋ + F (x) = I(t),(1.6)где F нечетная 2⇡-периодическая функия, которая соответствует связи меджутоком и фазой.

Для большинства реализаций F (x) = sin x+H(x), где H нулеваяили небольшая поправка. Важен тот факт, что такая модель хорошо сопостав�ляется с результатами экспериментов [9].Заметим, что строго говоря, все функции и переменные в данном уравне�нии – безразмерные величины, соответствующие их физическим аналогам. Дляболее точного описания уравнения (1.6), см. [7, 25, 26].Физически важной величиной является так называемая вольт-амперная(V-I) характеристика контакта. Эта функция соответствует соотношению меж�Rду средним по времени значением ẋ и средним значением тока I(t)dtt Для кон�такта описанного уравнением (1.5) ток синусоидален и выражается как I(t) = a+bsint.Поэтомувольт-ампернаяхарактеристикасовпадаетсчисломвраще�ния⇢a,b,µ ,котороерассматриваетсякакфункцияпараметраaпрификсирован�ныхbиµ.Здесьпараметрµиграетрольотношениямеждучастотойвнешнегосигналаивнутреннейчастотойконтакта,подробнеесм.

[16] .Втипичныхсемействахдиффеоморфизмовокружностирациональныечис�ла вращения существуют на интервалах пространства параметров (посколькумалыевозмущениянеразрушаютпериодическихгиперболическихорбит).ДляуравненияДжозефсона,соответствующиесеченияязыковАрнольда(прямымиb= const при фиксированных a и µ) называются ступеньками Шапиро в фи� зической терминологии. На картинке 1.1 можно увидеть изображение ступенекШапироизоригинальнойстатьиСидниШапиро1963года,<>.Заметим,чтоэтиступеньки неспроста похожҲ на Ҵанторову лестницу: это сходство станет яснеечутьпозже.Далеемыувидим,чтоуравнениеДжозефсонанеудовлетворяетобщейпа�радигмесуществованияступенекдлявсехрациональныхзначенийчиселвраще�ния:языкидляуравнения(1.2)существуюттолькодляцелых значенийчиславращения.

Этот факт имеет простое математическое объяснение, к которому мыпереходим.Рис. 1.1. Ступеньки Шапиро на вольт-амперной характеристике из оригинальной статьи [27]1.1.3. Математическая мотивировкаНесмотря на то, что мы предпочли бы не отделять физику от математики,начнем эту часть несколькими "более математическими"объяснениями. Уравне�ние (1.1) является в каком-то смысле уникальным в контексте изучения языковАрнольда.Впервые числа вращения семейств диффеоморфизмов окружности былирассмотрены В.

И. Арнольдом для следующего семейства диффеоморфизмов(при достаточно малом " ) окружности:x 7! x + a + " sin 2⇡x(1.7)Арнольд рассматривал открытые подмножества пространства параметров(a, "), в которых число вращения оставалось постоянным. Им была полученакартинка языков, см. Рис. 1.2.

При " = 0 семейство является семейством поворо�тов ⇢a,0 = a. Арнольд заметил, что для семейства (1.7) языки не существуют дляиррациональных значений числа вращения ⇢a," из-за теоремы Данжуа и сообра�жений монотонности: несложно показать, что множество ⇢(a, ") = ↵ 6= Q – этонепрерывная кривая, стартующая из точки (↵, 0), см. [28]. Для каждого ⇢ 2 QРис.

1.2. Языки Арнольда для стандартного семейства (1.7) на плоскости параметров (a, ")Рис. 1.3. "Канторова лестница"для стандартного семейста (1.7): представленный график яв�ляется сечением картинкиРис. 1.2 прямой " = constсоответстующий язык существует и "растет"из точки (⇢, 0). Заметим, что дляфиксированного " > 0 число вращения как функция параметра a – канторовалестница, см.