Диссертация (1137382)
Текст из файла
Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияНациональный исследовательский университет�Высшая школа экономики�На правах рукописиРОМАСКЕВИЧ Ольга ЛеонидовнаДинамика физических систем, нормальныеформы и цепи Маркова01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы иоптимальное управлениеДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук,профессор Юлий Сергеевич ИльяшенкоНаучный руководительакадемик Французской Академии Наук,ведущий научный сотрудник Этьен ЖисМосква – 2016Содержание1. Введение................................................................................................. 3 Глава1ϏүҸҶүҼҺҲӁүһҴҪӉһҼҺҽҴҼҽҺҪӉұӅҴҸҬόҺҷҸҵӆҮҪҽҺҪҬҷүҷҲӉϐҰҸұүҾһҸҷҪ Глава2.ϓҪҮҪӁҪϗҪҭҺҪҷҰҪҸҫҪһҲҶҹҼҸҼҲӁүһҴҸҳҽҭҵҸҬҸҳһҴҸҺҸһҼҲҬҺҪӃҪӈӃүҳһӉӀүҹҲ4.ϏҵҪҬҪϝҿҸҮҲҶҸһҼӆҶҪҺҴҸҬһҴҲҿһҾүҺҲӁүһҴҲҿһҺүҮҷҲҿҮҵӉһҸҿҺҪҷӉӈӃҲҿҶүҺҽҮүҳһҼҬҲҳһҬҸҫҸҮҷҸҳҭҺҽҹҹӅ ГлаваϓҪҮҪӁҪҸӀүҷҼҺҪҿҬҹҲһҪҷҷӅҿҸҴҺҽҰҷҸһҼүҳҼҺүҽҭҸҵӆҷӅҿҸҺҫҲҼӇҵҵҲҹҼҲӁүһҴҸҭҸҫҲҵӆӉҺҮҪГлава5.ϞүҸҺүҶҪϝҼүҺҷҫүҺҭҪҸҭӊҵӆҮүҺҸҬҸҳҹҸһҵҸҳҷҸҳҷҸҺҶҪҵҲұҪӀҲҲҴҸһӅҿҹҺҸҲұҬүҮүҷҲҳ12 Заключение.18.
Литература13Общая характеристика работыАктуальностьтемыисследованияистепеньразработанностипро�блемы.Диссертационнаяработапосвященаразличнымзадачамтеориидинамиче�скихсистем,включающихвсебяэргодическуютеорию(см.Главы1–3),теориюбильярдов(Глава4)итеориюнормальныхформотображений(Глава5).1. В первой главе диссертации рассматривается трехпараметрическоесемействовекторныхполейнадвумерномторескоординатами(x,⌧ ),имеющееследующийвид8@x><= cos x + a + b cos t,@⌧(1)@t>:= µ.@⌧Здесь a, b 2 R, µ > 0 – вещественные параметры.
Нас интересует отображениеПуанкаре Pa,b,µ этого уравнения, определенное как отображение первого возвра�щения с трансверсали {t = 0} на саму себя, и в особенности его число вращения⇢ как функция параметров ⇢ = ⇢a,b,µ . НапомнимОпределение. Числом вращения ⇢ отображения P : S1 ! S1 называетсяпределPe n (x) x⇢ := limn!12⇡n4 5В 1978 году В.И. Арнольд предложил рассматривать числа вращения недля единичных диффеоморфизмов, а для конечнопараметрических семействотображений окружности fp , где p 2 P - вектор параметров, P - пространствопараметров. В этом контексте им был рассмотрен пример двухпараметрическо�го семейства fa," : x 7! x + a + " sin 2⇡x синусоидальных возмущений семействаповоротов окружности. Здесь пространство параметров P является двумернойплоскостью R2 с координатами (a, ").Арнольда интересовало, как меняется число вращения отображения fp ,когда вектор параметров p меняется в пространстве P. Для изучения этоговопроса он дал следующееОпределение.
Будем говорить, что для конечнопараметрического семей�ства fp , p 2 P имеет место захват фазы для значения ⇢0 числа вращения, еслимножество уровняE⇢0 = {p 2 P|⇢(fp ) = ⇢0 }имеетнепустуювнутренность.ЭтимножествавпоследствииполучилиназываниеязыковАрнольда.Рис. 1. СемействоязыковАрнольдадлястандартногосемействаx7!x+a+"sin2⇡xнаплоскостипараметров(a,"),рисунокИльиЩурова5Название языки Арнольда объясняется расширяющейся формой языковдля стандартного семейства возмущений поворотов окружности, рассмотрен�ных Арнольдом, см. Рис. 1.⇣ ⌘Из каждой точки pq , 0 2 P на плоскости параметров растет язык Ар�нольда - подмножество пространства параметров, соответствующее числу вра�щения pq . Соображения монотонности и теорема Данжуа для C 2 -гладких диф�феоморфизмов показывают, что языков Арнольда для иррациональных чиселвращения в стандартном семействе не появляется - соответствующие множе�ства уровня суть гладкие кривые.
В типичном семействе диффеоморфизмовокружнсти будет наблюдаться тот же эффект: языки Арнольда существуютдля рациональных значений числа вращения и отсутствуют для иррациональ�ных значений.В данной диссертации изучается поведение языков Арнольда для семей�ства (1). Это семейство моделирует динамику дэозефсоновского контакта изфизики сверхпроводимости. Более точно, это трехпараметрическое семействовекторных полей на двумерном торе называется резистивной моделью джозеф�соновского контакта с малой емкостью (большим затуханием) и синусоидаль�ным током.
В данной диссертации мы будем для простоты называть это семей�ство уравнением Джозефсона.Помимо связи с физикой сверхпроводимости, данное исследование мотиви�ровано необычным (вырожденным) поведением языков Арнольда для отобра�жения первого возвращения Pa,b,µ . А именно, оказывается, что языки Арнольдав данном семействе существуют только для целых значений числа вращения.Это соответствует тому факту, что отображение Pa,b,µ является мебиусовымотображением окружности.
Таким образом, в ограниченных подмножествахпространства параметров наблюдается лишь конечное число языков Арнольда.Этот эффект называется эффектом квантования числа вращения.Языки Арнольда уравнения Джозефсона имеют очень красивую структу�ру, см. Рис. 2. Данная работа подробно изучает это поведение.6Семейство (1) изучалось в различных работах вне контекста динамикиджозефсоновского контакта: насколько нам известно, впервые это уравнениепоявляется в литературе в статье Р. Фута в контексте планиметра Притца1 .Позднее оно изучалось также при изучении динамики движения велосипеда.2Также, Ю.С. Ильяшенко и Дж.
Гукенхеймер в 2001 году 3 , ещё не подозреваяо связи этого семейства с динамикой джозефсоновских контактов, рассматри�вали уравнение (1) в контексте изучения уточных циклов быстро-медленныхсистем на торе в случае, когда µ << 1. Данная диссертация использует методыИльяшенко-Гукенхеймера для описания поведения языков Арнольда уравненияДжозефсона в случае малости параметра µ.Семейство (1) в контексте моделирования джозефсоновского контакта впер�вые изучается в цикле работ В.М.
Бухштабера, О.В. Карпова и С.И. Тертыч�ного4 . Ими (одновременно с Ю.С. Ильяшенко5 ) были переоткрыты свойствамебиусовости отображения Пуанкаре (изначально установленные Футом) и бы�ло дано эмпирическое описание языков Арнольда.Результаты данной диссертации являются частью активного исследованияязыков Арнольда отображения первого возвращения для семейства (1).
Бла�годаря численному моделированию языков Арнольда уравнения Джозефсона,описанному во второй части Главы 1 диссертации, удается получить достаточноточное изображение языков Арнольда, см. Рис.2.В работах А. Глуцюка, В. Клепцына, Д. Филимонова, Д.Рыжова, И.Щурова,1Foote R.L. Geometry of the Prytz planimeter (1998)2Finn D. Can a bicycle create a unicycle track? (2002); Levi M., Tabachnikov S.
On bicycle tire tracksgeometry, hatchet planimeter, Menzin’s conjecture and oscillation of unicycle tracks (2009)3Guckenheimer J., Ilyashenko Yu.S. The duck and the devil: canards on the staircase (2001)4Karpov O.V., Buchstaber V.M., Tertychniy S.I. et al. Modeling of rf-biased overdamped Josephsonjunctions (2008); Buchstaber V.M., Karpov O.V., Tertychniy S.I. Features of the dynamics of a Josephson junctionbiased by a sinusoidal microwave current (2006); Математические модели динамики сильношунтированногоперехода Джозефсона (2008); Эффект квантования числа вращения (2010); Система на торе, моделирую�щая динамику перехода Джозефсона (2012); Бухштабер В.М., Тертычный С.И. Семейство явных решенийуравнения резистивной модели перехода Джозефсона (2013)5Лекции Летней Школы по динамическим системам, (2009), не опубликовано7Ю.
Ильяшенко и др. формулируются строгие математические утверждения,подтверждающие эмпирические результаты, полученные благодаря численномумоделированию. Существование необычных самопересечений языков Арнольда(называемых перемычками) объясняется в Главе 1 данной диссертации.А. Глуцюк с соавторами6 доказывают, что для каждого языка Арнольдаперемычки лежат на одной и той же вертикальной прямой. Эта прямая задаетсяуравнением a = ⇢0 µ, где ⇢0 – значение числа вращения на этом языке. Этотрезультат называется эффектом квантования перемычек языков Арнольда ион доказан при фиксированном µ, µ > 1. При меньших µ этот факт остаетсяправдоподобной гипотезой.Результаты данной диссертации являются отправным пунктом в работеГлуцюка с соавторами, так как само существование перемычек вытекает изТеоремы об асимптотическом поведении границ языков при b ! 1, доказанномв Главе 1.Глава 1 состоит из двух частей: в первой из них изучается структураязыков Арнольда в так называемом режиме большой амплитуды, b ! 1 .Эта часть основана на совместной работе автора с Алексеем Клименко.
Вовторой части Главы 1 рассматривается поведение языков Арнольда в быстро�медленном режиме, µ ! 0. Эта часть основана на совместной работе авторас И.Щуровым и В.Клепцыным. В обоих режимах доказываются теоремы обасимптотическом поведении языков Арнольда.Стоит отметить, что уравнение Джозефсона представляет интерес не толь�ко из-за интересной формы языков Арнольда, а также из-за удивительного свой�ства квантования числа вращения, уже упомянутого выше. Языки Арнольдауравнения Джозефсона существуют только для целых значений чисел враще�ния. В работе Ю.С.
Ильяшенко, Д.А. Рыжова и Д.А. Филимонова7 изучается6Глуцюк А.А., Клепцын В.А., Филимонов Д.А., Щуров И.В. О квантовании перемысек в уравнении,моделирующем эффект Джозефсона (20147Ильяшенко Ю.С., Филимонов Д.А., Рыжов Д.А. Захват фазы для уравнений, описывающих рези�стивную модель джозефсоновского перехода, и их возмущений (2011)8b20Γ11510Γ25ℓ1ℓ2a0−2−1012Рис.
1. Семейство языков Арнольда для уравнения Джозефсона на плоскости параметров(a, b) при фиксированном значении параметра µ, рисунок Ильи Щуроваповедение языков Арнольда возмущений специального вида уравнения Джо�зефсона и доказывается, что квантование числа вращения представляет собойявление коразмерности бесконечность. Продолжая это исследование, А.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
