Диссертация (1137382), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Рис. 1.3. Однако, вопреки классической Канторовской лестницемножество точек роста (замыкание множества параметров a, соответствующихиррациональным числам вращения) имеет положительную меру Лебега.Изучение языков Арнольда для уравнения Джозефсона продолжает про�цесс, начатый Арнольдом, однако в случае уравнения (1.2) и соответствующегоотображения Пуанкаре Pa,b,µ ситуация сильно отличается от стандартного се�мейства. Мы опишем ее в следующей части.1.2. Чем необычно уравнение Джозефсона?1.2.1. Уравнение Риккати и целые числа вращенияЗаметим, что правая часть уравнения (1.2) (а поэтому и отображение/ Q. ЭтоPea,b,µ ) растет монотонно с a, поэтому захват фазы невозможен для k 2верно для типичных семейств дифференциальных уравненй, но необычностьуравнения (1.1) состоит именно в том, что для k 2 Q \ Z захват фазы такжене наблюдается. Это следует из того, что уравнение Джозефсона записано в ка�ком-то смысле в плохих координатах: в правильно выбранной карте оно простоявляется уравнением Риккати, для которого свойство отсутствия захвата фазыдля нецелых чисел вращения практически очевидно.Впервые это наблюдение было сделано Футом в [19] и затем переоткрытонезависимо в [12] и в [16, 29] в контексте уравнения Джозефсона.Лемма 1.1.
Уравнение Джозефсона (1.2) сопряжено уравнению Риккати и егоотображение Пуанкаре Pa,b,µ с трансверсалиl {t = 0} на себя сопряжено дробно�линейному (мёбиусову) отображению.u̇= ẋ, cos x =Доказательство. После замены координат u = tan x2 , u22+1система (1.2) превращается в систему8EV><= ↵(t)u2 + (t)u + (t),E⌧>: Et = µ.E⌧где ↵(t) = a + b cos t12,1 u21+u2(1.8)(t) = 0, (t) = a + b cos t + 12 .
Это уравнение Риккати,для которого отображение Пуанкаре мебиусово, см. например [30].Нужное утверждение следует из данной леммы: любое мебиусово отобра�жение имеет ноль, одну или две неподвижные точки и в этих случаях назы�вается соответственно эллиптическим, параболическим или гиперболическим.Предположим, что число вращения для фиксированных параметров рациональ�но, ⇢ =pq2/ Z, тогда P – эллиптическое отображение в правильно выбранной42координате.
Тогда, как отображение окужности, P – вращение. И в этом случаечисло вращения изменяется при малом возмущении. ⇤Итак, языки Арнольда существуют только для целых чисел вращения, иболее того, при фиксированном µ точка(a, b) принадлежит внутренности языкатогда и только тогда, когда Pa,b,µ – гиперболическое отображение, и лежит награнице языка тогда и только тогда, когда Pa,b,µ – параболическое (или тож�дественное). Действительно, граница языка соответсвует случаю неподвижныхточек отображения, исчезающих при малом возмущении: эти точки называют�ся параболическими.
При движении по кривой внутри языка по направлениюк границе, вещественные решения уравнения Pa,b,µ (z) = z схлопываются в однорешение и при выходе переходят в две комплексно сопряженные точки.Это свойство уравнения Джозефсона (1.1)отсутствия языков Арнольдадля всех рациональных значений числа вращения уникально, а именно какнедавно доказано в [31], семейство уравнений вида ẋ = v(x) + A + Bf (t) на торене имеет всех рациональных языков Арнольда для всех функций f только в слу�чае, если v(x) есть комбинация двух гармоник v(x) = a sin(mx) + b cos(mx) + c.При таком виде v языки Арнольда существуют для значений числа вращенияв дискретном множестве1m Z.1.2.2.
Динамическое описание границПомимо мёбиусовсти ещё одним важным свойством уравнения (1.2) явля�ется обратимость динамики, то есть сохранение фазовых кривых при отобра�жении(t, x) 7! ( t, x).(1.9)Это свойства симметрии объясняет (чисто практическую) замену синуса на ко�синус и перехода от уравнения (1.5) к уравнению (1.1) . Мебиусовость и цен�тральная симметрия фазовых кривых вместе дают аналитическое описание гра�ниц языков Арнольда в терминах отображения Пуанкаре. Это очень важныйфакт, как для теоретического изучения языков, так и для практического по�строения границ на компьютере.Действительно, пусть Pa,b,µ 6= id и точка (a, b) лежит на границе неко�торого языка Арнольда при фиксированном µ. Тогда число вразения ⇢P 2 Z(см.
Лемму 1.1). В этом случае P имеет неподвижную точку. Фазовые кри�вые сохраняются при центральной симметрии, и значит эта неподвижная точкаотображения Пуанкаре должна переходить в неподвижную точку отображенияПуанкаре под действием симметрии x 7!x на окружности. Поскольку у пара�болического дробно-линейного отображения неподвижная точка единственна,она обязана переходить в себя. Значит, она обязана удовлетворять уравнениюx на окружности. Существуют две точки, удовлетворяющие этому урав�x=нению: 0 и ⇡. Таким образом, границы языка Арнольда с числом вращенияk 2 Z суть две аналитических кривые a0,k и a⇡,k , задающиеся условиямиa = a0,k (b) , Pa,b,µ (0) = 0a = a⇡,k (b) , Pa,b,µ (⇡) = ⇡Численные эксперименты показывают, что границы одного языка Арноль�да пересекаются друг с другом в счетном числе точек, см. Рис 1.4.
Мы будемназывать их точками перемчки (или перемычками). Математическое доказа�тельство существования перемычек следует из нашей теоремы с Алексеем Кли�менко, см. часть 1.3. На рисунке видно, что границы "осциллируют": мы до�казываем, что эта осцилляция близка осцилляции целочисленных бесселевыхфункций, см. 1.3 для более формального утверждения. Можно также заметитьпо картинке Рис. 1.4, что перемычки для одного языка располагаются на однойи той же прямой a = kµ, где k – номер языка.
Это было доказано(для µ1)в[15] с помощью явления Стокса. Для µ < 1 этот факт не доказан и остаетсяразумной гипотезой. Сложность состоит в изучении перемычек в окрестностиb = 0.Рис. 1.4. Языки Арнольда уравнения Джозефсона на плоскости параметров (a, b)при фикси�рованном µ, здесь µ = 11.2.3.
Корни языковЗдесь мы хотим представить два небольших замечания о структуре язы�ков, которые будут важны в дальнейшем. Во-первых, благодаря симметрии (см.часть 1.2.2), достаточно рассматривать структуру языков в первом квадрантеплоскости параметровt a, b > 0. Второе замечание состоит в том, что нам извест�ны "корни"языков (то, где языки "начинаются"). Иначе говоря значение числавращения ⇢a,0,µ может быть явно вычислено, так как при b = 0 уравнение (1.1)может быть проинтегрировано.
После некоторых вычислений (см., например,[16]) мы видим, что язык с номером k (соответствующий ⇢ = k)пересекает пря�pмую {b = 0} в точке (sgn k · k 2 µ2 + 1, 0), если k 6= 0. В случае k = 0 пересече�нием является отрезок [ 1, 1]. Поэтому (за исключением k = 0)языки ( k > 0)пробиваются в некоторых точках на оси a и затем наклоняются немного влево,осциллируя в окресности кривой a = kµ с помощью бесселевской асимптотики.Основные результаты данной главы.Мы будем изучать сечения языков Арнольда плоскостью с фиксированнымµ iв двух режимах:• Первый режим: большая амплитуда тока Мы предполагаем, что ампли�туда тока достаточно велика, или b ! 1. В нашей статье с АлексеемКлименко [4] мы описываем асимптотичеки бесселевое поведение языков.Несмотря на то, что µ фиксировано, мы учитываем его в оценках остаточ�ных членов.• Второйрежим:малаявнешняячастотасигналаЭтотслучайсоответ�ствует пределу µ ! 0 и больше подходит физическим конструкциям. Мыобъясним качественное поведение системы в данном случае и покажемсвязь между геометрической структурой языков и быстро-медленнымисвойствами уравнения (1.2).
Также будут показаны области пространствапараметров, которые почти полностью ( за исключением пробелов, экспо�ненциально малых по µ) покрыты ковром языков Арнольда. Мы строимэффективный алгоритм построения границ для малых значений µ (до0.01).1.3. Первый режим: большая амплитуда токаРежим больших амплитуд был рассмотрен в работе [4] и мы приводимздесь результаты и доказательства из этой статьи.1.3.1. Обобщения уравнения ДжозефсонаВ этой части мы будем рассматривать специальный режим поведения урав�нения Джозефсона и его обобщений (когда b ! 1).
В этом разделе мы сумми�руем основные идеи введения, и определяем семейство, обобщающее уравнениеДжозефсона.Напомним (см. введение 1.1), что мы рассматриваем семейство дифферен�циальных уравнений на окружности R/2⇡Zdx cos x + a + b cos t=,dtµ(1.10)4которое возникает в физике при исследовании эффекта Джозефсона.Семейство уравнений (1.10) может быть обобщено в следующем виде:dx f (x) + a + bg(t)=,dtµ(1.11)где f и g � 2⇡-периодические функции с нулевыми средними значениями:2⇡Zf (x) dx = 0,02⇡Zg(t) dt = 0.(1.12)0Как уже объяснено для уравнения Джозефсона во введении, любое урав�нениевида(1.11)задаётвекторноеполенадвумерноҶтореR2/2⇡Z2 скоордина�тамиxиt.Аименно,вводяпеременнуювремени⌧ ,мыможемзадатьвекторноеполеследующимобразом:8@x><= f (x) + a + bg(t),@⌧>: @t = µ.@⌧(1.13)То же векторное поле можно рассматривать как векторное поле на цилиндреR2 /((x, t) ⇠ (x, t + 2⇡)).
В обоих случаях можно определить отображение Пу�анкаре из трансверсальной полю кривой {t = 0 mod 2⇡} на себя. Мы будемобозначать его Pa,b,µ в случае тора и Pea,b,µ в случае цилиндра. Ясно, что как ираньше, Pea,b,µ является поднятием Pa,b,µ .Число вращения для обобщенной системы и понятие захвата фазы опреде�ляются аналогично уравнению Джозефсона, см. Введение 1.1. Нас будут инте�ресовать языки Арнольда, соответствующие числу вращения ⇢a,b,µ .Как было объяснено ранее, структура языков Арнольда для уравнения(1.10) и его обобщений представляет значительный интерес как с точки зренияприложений в физике, так и с чисто математической точки зрения.
В этой частимы изучаем сечения языков Арнольда, задаваемые плоскостями с фиксирован�ным значением параметра µ. Тем не менее, мы обращаем внимание на параметрµ, в частности, константы асимптотических членов O( · ) не зависят от µ.Как было показано во введении, языки Арнольда для уравнения Джозеф�сона возникают только при целочисленных значениях параметра: языки Ар�нольда отсутсвуют для иррациональных чисел вращения (что неудивительно,см. введение), однако для данного уравнения они отсутствуют и для нецелых ра�циональных чисел вращения. Это связано с тем, что при замене u = tan x2 урав�нение (1.10) оказывается сопряжённым уравнению Риккати, см. раздел 1.2.1.Р.Фут обратил внимание на это в работе [19] в контексте планиметра Притца,а впоследствии это было независимо переоткрыто Ю.С. Ильяшенко [16, 29] иВ.М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
