Автореферат (1137381)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиРомаскевичОльгаЛеонидовнаДинамика физических систем, нормальныеформы и цепи Маркова01.01.02–Дифференциальныеуравнения,динамическиесистемыиоптимальноеуправлениеАВТОРЕФЕРАТдиссертациинасоисканиеученойстепеникандидатафизико-математическихнаукМосква– 2016РаботавыполненанафакультетематематикиНациональногоисследовательскогоуниверситета”ВысшаяШколаЭкономики”Научные руководители:ȭȷȳȻȷȹȽȱȰȱȳȷȵȩȻȮȵȩȻȱɀȮȺȳȱȾȶȩȼȳȸȹȷȽȮȺȺȷȹͱ;ͻͼͤ͸΃Ͷ͸͸͵ͻΊ͛;ΏΒ΋͸΀ͽ΁ȩȳȩȭȮȵȱȳȝȹȩȶȿȼȰȺȳȷȲȉȳȩȭȮȵȱȱȖȩȼȳȫȮȭȼɂȱȲȶȩȼɀȶɄȲȺȷȻȹȼȭȶȱȳͰ΅Ώ͸΀͙ͻ΄Официальные оппоненты:ȭȷȳȻȷȹȽȱȰȱȳȷȵȩȻȮȵȩȻȱɀȮȺȳȱȾȶȩȼȳȸȹȷȽȮȺȺȷȹȳȩȽȮȭȹɄȵȩȻȮȵȩȻȱɀȮȺȳȷȲȽȱȰȱȳȱȚȘȪȌȜȭȷȿȮȶȻͤ͸΃Ͷ͸ͼ͖͸΀΀ͳͷΏ͸͵ͻΊ͝΃Ύ͹͸͵ͻΊȭȷȳȻȷȹȽȱȰȱȳȷȵȩȻȮȵȩȻȱɀȮȺȳȱȾȶȩȼȳȸȹȷȽȮȺȺȷȹȽȩȳȼȴɅȻȮȻȩȋȕȓȖȌȜȱȵȖȑȔȷȪȩɀȮȫȺȳȷȬȷȸȹȷȽȮȺȺȷȹ͘͵Ͷ͸΀ͻͼ͕ͻͽ΅΁΃΁͵ͻΊ͙Ά͹΁ͿͳВедущаяорганизация:͟ͳ΅͸Ϳͳ΅ͻΊ͸΄ͽͻͼͻ΀΄΅ͻ΅Ά΅ͻͿ͕͓ͤ΅͸ͽ;΁͵ͳͣ΁΄΄ͻͼ΄ͽ΁ͼͳͽͳͷ͸Ϳͻͻ΀ͳΆͽ͚ͳΌͻ΅ͳ΄΁΄΅΁ͻ΅΄Β΁ͽ΅Βʹ΃ΒͶ͵Ίͳ΄΁͵΀ͳͺͳ΄͸ͷͳ΀ͻͻͷͻ΄΄͸΃΅ͳΉͻ΁΀΀΁Ͷ΁΄΁͵͸΅ͳ͗΀ͳʹͳͺ͸͓͛͛ͣ͢͢͠΃ͳ΄΂΁;΁͹͸΀΀΁Ϳ΂΁ͳͷ΃͸΄Ά͔΁;Ώ΋΁ͼ͝ͳ΃͸΅΀Ύͼ΂͸΃ͷ΄΅΃͟΁΄ͽ͵ͳͤͷͻ΄΄͸΃΅ͳΉͻ͸ͼͿ΁͹΀΁΁ͺ΀ͳͽ΁Ϳͻ΅Ώ΄Β͵ʹͻʹ;ͻ΁΅͸ͽ͸͓͛͛ͣ͢͢͠Авторефератразослан��ͳ͵ͶΆ΄΅ͳͶУченыйсекретарьдиссертационногосовета͗,докторфизико-математическихнаукСоболевскийА.Н.3ОбщаяхарактеристикаработыАктуальность̖̍̀̇̃̌̌̆̀˿̉˽˻̗̈̃̃̌̍̀̊̀̈̋̚ ˻̂̋˻˼̉̍˻̈̈̉̌̍̃̊̋̉˼̖̆̀̇͗ͻ΄΄͸΃΅ͳΉͻ΁΀΀ͳΒ΃ͳʹ΁΅ͳ΂΁΄͵ΒΌ͸΀ͳ΃ͳͺ;ͻΊ΀ΎͿͺͳͷͳΊͳͿ΅͸΁΃ͻͻͷͻ΀ͳͿͻΊ͸΄ͽͻΈ΄ͻ΄΅͸Ϳ͵ͽ;ΑΊͳΑΌͻΈ͵΄͸ʹΒΐ΃Ͷ΁ͷͻΊ͸΄ͽΆΑ΅͸΁΃ͻΑ͖;ͳ͵Ύ‫ب‬΅͸΁΃ͻΑʹͻ;ΏΒ΃ͷ΁͵͖;ͳ͵ͳͻ΅͸΁΃ͻΑ΀΁΃Ϳͳ;Ώ΀ΎΈ·΁΃Ϳ΁΅΁ʹ΃ͳ͹͸΀ͻͼ͖;ͳ͵ͳ1.͕΂͸΃͵΁ͼͶ;ͳ͵͸ͷͻ΄΄͸΃΅ͳΉͻͻ΃ͳ΄΄Ϳͳ΅΃ͻ͵ͳ͸΅΄Β΅΃͸Έ΂ͳ΃ͳͿ͸΅΃ͻΊ͸΄ͽ΁͸΄͸Ϳ͸ͼ΄΅͵΁͵͸ͽ΅΁΃΀ΎΈ΂΁;͸ͼ΀ͳͷ͵ΆͿ͸΃΀΁Ϳ΅΁΃͸ͻͿ͸ΑΌ͸͸΄;͸ͷΆΑΌͻͼ͵ͻͷ@x><= cos x + a + b cos t,@⌧(1)>: @t = µ.@⌧Здесь a, b 2 R, µ > 0 – вещественные параметры.

Нас интересует отображениеПуанкаре Pa,b,µ этого уравнения, определенное как отображение первого возвра�щения с трансверсали {t = 0} на саму себя, и в особенности его число вращения⇢ как функция параметров ⇢ = ⇢a,b,µ . НапомнимОпределение. Числом вращения ⇢ отображения P : S1 ! S1 называетсяпределPe n (x) x⇢ := limn!12⇡n4 5В19годуВ.И.Арнольдпредложилрассматриватьчиславращениянедляединичныхдиффеоморфизмов,адляконечнопараметрическихсемействотображенийокружностиfp,гдеp2P-векторпараметров,P-пространствопараметров.Вэтомконтекстеимбылрассмотренпримердвухпараметрическо�госемействаfa," :x7!x+a+"sin2⇡xсинусоидальныхвозмущенийсемействаповоротовокружности.ЗдесьпространствопараметровP являетсядвумернойплоскостьюR2 скоординатами(a,").Арнольда интересовало, как меняется число вращения отображения fp ,когда вектор параметров p меняется в пространстве P.

Для изучения этоговопроса он дал следующееОпределение. Будем говорить, что для конечнопараметрического семей�стваfp ,p2P имеетместозахватфазыдлязначения⇢0 числавращения,еслимножествоуровняE⇢0={p2P|⇢(fp) = ⇢0}имеетнепустуювнутренность.Ͱ΅ͻͿ΀΁͹͸΄΅͵ͳ΀ͳͺΎ͵ͳΑ΅΄Βͺ΁΀ͳͿͻͺͳΈ͵ͳ΅ͳ·ͳͺΎ͕последствии΁΀ͻполучилиназываниеязыковАрнольда.Рис.

1. СемействоязыковАрнольдадлястандартногосемействаx7!x+a+"s in2⇡xнаплоскостипараметров( a,")5Название языки Арнольда объясняется расширяющейся формой ΁ʹ;ͳ΄΅͸ͼͺͳΈ͵ͳ΅ͳ·ͳͺΎдлястандартногосемействавозмущенийповоротовокружности,΃ͳ΄΄Ϳ΁΅΃͸΀΀ΎΈ͓΃΀΁;Ώͷ΁Ϳͣͻ΄Из каждой точки ( pq , 0 ) 2 P на плоскости параметров растет язык Ар�нольда - подмножество пространства параметров, соответствующее числу вра�щения pq .

Соображения монотонности и теорема Данжуа для C 2 -гладких диф�феоморфизмов показывают, что языков Арнольда для иррациональных чиселвращения в стандартном семействе не появляется - соответствующие множе�ства уровня суть гладкие кривые. В типичном семействе диффеоморфизмовокружнсти будет наблюдаться тот же эффект: языки Арнольда существуютдля рациональных значений числа вращения и отсутствуют для иррациональ�ныхзначений.В данной диссертации изучается поведение языков Арнольда для семей�ства (1). Это семейство моделирует динамику д͹озефсоновского контакта изфизики сверхпроводимости. Более точно, это трехпараметрическое семействовекторныхполейнадвумерномтореназываетсярезистивноймодельюджозеф�соновского контакта с малой емкостью (большим затуханием) и синусоидаль�нымтоком.Вданнойдиссертациимыбудемдляпростотыназыватьэтосемей�ство уравнением Джозефсона.Помимосвязисфизикойсверхпроводимости,данноеисследованиемотиви�ровано необычным (вырожденным) поведением языков Арнольда для отобра�женияпервоговозвращенияPa,b,µ .Аименно,оказывается,чтоязыкиАрнольдав данном семействе существуют только для целых значений числа вращения.Это соответствует тому факту, что отображение Pa,b,µ является мебиусовымотображением окружности.

Таким образом, в ограниченных подмножествахпространствапараметровнаблюдаетсялишьконечноечислоязыковАрнольда.Этотэффектназываетсяэффектомквантования числа вращения.ЯзыкиАрнольдауравненияДжозефсонаимеюточенькрасивуюструкту�ру,Рис.2.Даннаяработаподробноизучаетэтоповедение.6Семейство(1)изучалосьвразличныхработахвнеконтекстадинамикиджозефсоновскогоконтакта:наскольконамизвестно,впервыеэтоуравнениепоявляетсявлитературевстатьеР.ФутавконтекстепланиметраПритца1 .Позднееоноизучалосьтакжеприизучениидинамикидвижениявелосипеда.2Также Ю.С.Ильяшенко и Дж.Гукенхеймер в 2001 году3,ещёне подозреваяосвязиэтогосемействасдинамикойджозефсоновскихконтактов,рассматри͵ͳ;ͻуравнение(1)вконтекстеизученияуточныхцикловбыстро-медленныхсистемна торе в случае, когда µ<<1.

Данная диссертация использует методыИльяшенко-ГукенхеймерадляописанияповеденияязыковАрнольдауравненияДжозефсонавслучаемалостипараметраµ.Семейство(1)вконтекстемоделированияджозефсоновскогоконтактавпер�выеизучаетсявциклеработВ.М.Бухштабера,О.В.КарповаиС.И.Тертыч�ного4 .Ими(одновременносЮ.С.Ильяшенко5 )былипереоткрытысвойствамебиусовостиотображенияПуанкаре(изначальноустановленныеФутом)ибы�лоданоэмпирическоеописаниеязыковАрнольда.РезультатыданнойдиссертацииявляютсячастьюактивногоисследованияязыковАрнольдаотображенияпервоговозвращениядлясемейства(1).Бла�годарячисленномумоделированиюязыковАрнольдауравненияДжозефсона,описанному͵΁͵΅΁΃΁ͼΊͳ΄΅ͻ͖;ͳ͵Ύͷͻ΄΄͸΃΅ͳΉͻͻΆͷͳ͸΅΄Β΂΁;ΆΊͻ΅Ώͷ΁΄΅ͳ΅΁Ί΀΁΅΁Ί΀΁͸ͻΈͻͺ΁ʹ΃ͳ͹͸΀ͻ͸΂΃ͻͿͳ;΁Ϳuͣͻ΄В работах А.

Глуцюка, В. Клепцына, Д. Филимонова, Д.Рыжова, И.Щурова,1Foote R.L. Geometry of the Prytz planimeter (1998)2Finn D. Can a bicycle create a unicycle track? (2002); Levi M., Tabachnikov S. On bicycle tire tracksgeometry, hatchet planimeter, Menzin’s conjecture and oscillation of unicycle tracks (2009)3Guckenheimer J., Ilyashenko Yu.S. The duck and the devil: canards on the staircase (2001)4Karpov O.V., Buchstaber V.M., Tertychniy S.I. et al.

Modeling of rf-biased overdamped Josephsonjunctions (2008); Buchstaber V.M., Karpov O.V., Tertychniy S.I. Features of the dynamics of a Josephson junctionbiased by a sinusoidal microwave current (2006); Математические модели динамики сильношунтированногоперехода Джозефсона (2008); Эффект квантования числа вращения (2010); Система на торе, моделирую�щая динамику перехода Джозефсона (2012); Бухштабер В.М., Тертычный С.И. Семейство явных решенийуравнения резистивной модели перехода Джозефсона (2013)5Лекции Летней Школы по динамическим системам, (2009), не опубликовано7Ю. Ильяшенко и др. формулируются строгие математические утверждения,подтверждающиеэмпирическиерезультаты,полученныеблагодарячисленномумоделированию.СуществованиенеобычныхсамопересеченийязыковАрнольда(называемыхперемычками)объясняетсявГлаве1даннойдиссертации.А.

Глуцюк с соавторами6 доказывают, что для каждого языка Арнольдаперемычки лежат на одной и той же вертикальной прямой. Эта прямаязадается уравнением a = ⇢0µ, где⇢0– значение числа вращения на этом языке.Этот результат называется эффектом квантования перемычек языковАрнольдаиондоказанпрификсированномµ,µ>1.Применьшихµэтотфактостаетсяправдоподобнойгипотезой.Результаты данной диссертации являются отправным пунктом в работеГлуцюкассоавторами,таккаксамосуществованиеперемычеквытекаетиз΅еоремыобасимптотическомповеденииграницязыковприb! 1,доказанноͼв Глав͸Глава 1 состоит из двух частей: в первой из них изучается структураязыков Арнольда в так называемом режиме большой амплитуды, b ! 1 .Эта часть основана на совместной работе автора с Алексеем Клименко.

Вовторой части Главы 1 рассматривается поведение языков Арнольда в быстро�медленномрежиме,µ!0.Этачастьосновананасовместнойработеавторас И.ЩуровымиВ.Клепцыным.ВобоихрежимахдоказываютсятеоремыобасимптотическомповеденииязыковАрнольда.Стоитотметить,чтоуравнениеДжозефсонапредставляетинтереснетоль�коиз-заинтереснойформыязыковАрнольда,а также из-заудивительногосвой�ства квантования числа вращения, уже упомянутого выше. Языки Арнольдауравнения Джозефсона существуют только для целых значений чисел враще�ния. В работе Ю.С.

Ильяшенко, Д.А. Рыжова и Д.А. Филимонова7 изучается6Глуцюк А.А.,Клепцын В.А., Филимонов Д.А.,Щуров И.В. О квантовании перемысек в уравнении,моделирующем эффект Джозефсона (20147Ильяшенко Ю.С., Филимонов Д.А., Рыжов Д.А. Захват фазы для уравнений, описывающих рези�стивную модель джозефсоновского перехода, и их возмущений (2011)8b20Γ11510Γ25ℓ1ℓ2a0−2−1012Рис. . СемействоязыковАрнольдадляуравненияДжозефсонанаплоскостипараметров(a,b)прификсированномзначениипараметраµ,рисунокИльиЩуроваповедение языков Арнольда возмущений специального вида уравнения Джо�зефсона и доказывается, что квантование числа вращения представляет собойявлениекоразмерностибесконечность.Продолжаяэтоисследование,А.Глуцюки Л.Рыбниковпоказывают8,показывают,чтоуравнениеДжозефсонаиеговоз�что изучаемоемущения гармониками уникальны – в каком-то смысле, эффект квантованиячиславращенияпроисходиттолькодляних.Аименно,в работе Глуцюка-Рыб�никовадоказывается,чтоприрассмотрениивекторногополянаторескоорди�натами (x,t) вида ẋ = v(x) + a+bf (t) и для фиксированной аналитическойфункцииv(x),отличнойотv(x) = ↵sin(mx) + cos(mx) + , m 2Zсуществуетаналитическаяфункцияf (t)такая,чтосоответствующеесемействоуравненийобладаетязыкамиАрнольдадлявсех рациональныхчиселвращения.2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации