Автореферат (1137381), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Нас, однако, интересовала сходимостьсферических средних без каких либо предположений о самой природе действия.В общем случае (для произвольной матрицы ⇧) вопрос о сходимости всреднем марковских сферических средних пока не решен. Стоит отметить, чтосходимость почти всюду не имеет места: Терренс Тао недавно привел пример19сохраняющего меру действия свободной группы и интегрируемой функции ' 2L1 (X, µ) таких, что для µ-почти всех x 2 X сферические средние неограниченыпо n:lim sup |Sn '(x)| = 1.n!14. В четвертой главе диссертации рассматривается планиметрическая за�дача,связаннаясэллиптическимбильярдом.Рассматриваетсяоднопараметри�ческоесемействоорбитпериодатриэллиптическогобильярда.Каждаяорбитазадаетсятреугольником,биссектрисыкоторогоперпендикулярныисходномуэл�липсу.В данной диссертации доказывается, что геометрическое место центроввписанныхвэтитреугольникиокружностейестьэллипс.Диссертация основывается на классических теоремах геометрии бильяр�дов: теореме Понселе и теореме о существовании каустик эллиптического би�льярда, а также продолжает подход Алексея Глуцюка20, предложившегоиспользовать комплексный закон отражения для изучения динамикипериодическихорбитбильярдов.Таким образом, теорема о центрах вписанных окружностей доказывается18Fujiwara K., Nevo A.
Maximal and pointwise ergodic theorems for word-hyperbolic groups, (1998)19Tao T. Failure of the L1 pointwise and maximal ergodic theorems for the free group, (2016)20Glutsyuk A. On quadrilateral orbits in complex algebric planar billiards (2014), Glutsyuk A., KudryashovYu. No planar billiard possesses an open set of quadrilateral trajectories (2012)16посредством методов комплексной алгебраической геометрии. Основной идеейявляется идея о том, что комплексифицировав задачу, достаточно доказать,что искомое геометрическое место точек является комплексной алгебраическойкривой степени 2.
Это следует из несложных геометрических наблюдений.Таким образом, комплексный подход оказывается проще вещественного,который также приведен в диссертации.5. Пятая глава диссертации относится к теории нормальных форм гипербо�лических отображений. Она основана на совместной работе с Ю.С. Ильяшенко.Основным объектом изучения является класс гёльдеровых косых произве�дений.Косые произведения есть отображения прямого произведения базы B наслой I следующего вида:F : M = B ⇥ I ! M, (b, x) 7! (↵(b), fb (x)).Здесь ↵(b) – преобразование базы (часто – сдвиг Бернулли на пространствепоследовательностей в случае дискретной базы или гиперболическое отображе�ние в случае многообразия в базе), а fb (x) - послойное отображение, зависящееот элемента базы.Таким образом, косые произведения являются одним из примеров отоб�ражений с инвариантным слоением: здесь инвариантное слоение состоит извертикальных листов {b = const}.
Понимание косых произведений, таким об�разом, является первым шагом в изучении динамики слоений, и им посвященонеобозримое количество работ.Косые произведения, удовлетворящие так называемому условию dominatedsplitting condition (DSC) являются частным случаем нормально гиперболиче�ских систем.Свойство нормальной гиперболичности (и, в частности, свойство DSC) га�рантирует тот факт, что динамика в слое слабее динамики в базе. Оказывается,что при C 1 возмущении нормально гиперболические системы сохраняют инва�17риантное слоение с гладкими слоями, но в трансверсальном направлении этослоение может не быть гладким.В последнее десятилетие было показано, что в трансверсальном направле�нии инвариантное слоение возмущения Ϳͳ;Ώ Ͷͻʹ;ͻΊ΄ͽͶдиффеоморфизматрансверсальногёльдерово.Приэтомпоказательгёльдерово�стисвязанссоотношениемдинамикипослоямивбазе(чемслабеединамикавслое, тем выше гладкость).
Это было доказано А.Городецким 21 и Ю. Илья�шенко بА.Негутом22 для случая косых произведений, и позднее в работеЧ.Пью, М.Шуба и Э.Вилкинсон23 в более общем контексте нормальногиперболическихотображений.Этоважноепониманиестепенигладкостивозмущенийкосыхпроизведенийпозволяет строить примеры открытых подмножеств в пространстве диффео�морфизмов, обладающих странными аттракторами. Процесс построения частоидетпооднойитойжесхеме:странныйаттракторстроитсясначалавклассеко�сых произведений, а затем доказывается, что он сохраняется при возмущении.Таким образом, новые найденные эффекты диффеоморфизмов косых произве�дениймогутбытьперенесенынагёльдеровыкосыепроизведения,итемсамымможетбытьдоказанаихтипичность.Эта программа выполнена в большом числе работ: для построения отоб�ражений с неустранимыми нулевыми показателями Ляпунова24, отображениймногообразий с краем с аттрактором Милнора положительной меры25 ͻ;ͻ сперемжающимисябассейнамиͻ΅ΒͻΒ26,кос΅;Β͵ыхаттракторов27В данной диссертации, в рамках этой программы, мы ищем локальную21Городецкий А.С.
Регулярность центральных слоев гипрболических множеств и приложения (2006)22Ilyashenko Yu. S., Negut A. Hölder properties of perturbed skew products and Fubini regained (2012)2324Pugh C., Shub M., Wilkinson A. Hölder foliations, revisited (2012)Ильяшенко Ю.С., Городецкий А.С., Клепцын В.А., Нальский М.Б. Неустранимость нулевых пока�зателей Ляпунова (2005)25Ilyashenko Yu. S. Thick attractors of step skew products (2010), Ilyashenko Yu.
S. Thick attractors ofboundary preserving diffeomorphisms (2011)26Ильяшенко Ю.С. Диффеоморфизмы с перемежающимися бассейнами притяжения27Кудряшов Ю.Г. Костистые аттракторы (2010)18нормальную форму для косого произведения F : M ! M над линейным ги�перболическим автоморфизмом A тора B = Td и со слоем отрезок в окрестно�сти неподвижной гиперболической точки. А именно, мы ищем гомеоморфизмH : M ! M , касательный к тождественному отображению, сопрягающий ис�ходное гиперболическое косое произведение с его линейной частью(b, x) 7! (Ab, (b)x),где (b) - мультипликатор линейной части исходного отобраения в слое.Важным в этой задаче является тот факт, что интересующее нас сопряже�ние H имеет специальный вид: H не меняет координату в базе, то есть сохраняетструктуру косого произведения:H(b, x) = (b, x + hb (x)).Существование такой нормальной формы (сопряжения с линейной частьюгомеоморфизмом, сохраняющим слои) дает возможность упрощать изучениекосых произведений и их возмущений в окрестности неподвижной точки.
Ин�тересным для нас в этой главе является вопрос изучения степени гладкостизависимости сопряжения H от точки в базе.Цели и задачи диссертационной работы.1. Целью первой главы диссертации было дать максимально точное описа�ние языков Арнольда для уравнения Джозефсона.2. Целью второй главы диссертации было решить задачу Лагранжа о на�хождении асимптотической угловой скорости вращающейся цепи на произволь�ной полной ориентированной римановой поверхности и, в частности, установитьответ в этой задаче для плоскости Лобачевского и сферической геометрии.
Зада�ча о поиске асимптотической скорости конца вращающейся цепи на плоскостиЛобачевского была поставлена нам А.М. Степиным. А.М. Степин высказал ги�потезу, что ответ для вращающейся системы отрезков длинами lj , j = 1, 2, 3на гиперболической плоскости должен выражаться как выпуклая комбинация19угловых скоростей !j с коэффициентами - функциями углов треугольника, со�ставленного из этих отрезков (аналогично евклидовому случаю) и предложилгипотезу:!=3Xj=1↵j !j.↵ 1 + ↵2 + ↵3Нашейцельюбылоподтвердить(илиопровергнуть)этугипотезу.3.
Целью третьей главы диссертации было развить эргодическую теориюповедения сферических средних для действий конечно-порожденных групп идоказатьтеоремуосходимостимарковскихсферическихсреднихвмаксималь�нообщихусловияхнастохастическуюматрицу⇧.4. Целью четвертой главы диссертации было доказать теорему планимет�рииоцентрахвписанныхокружностейдляорбитпериодатривэллиптическомбильярде,используячистокомплексныеметоды.5.Цельюпятойглавыдиссертациибылонайтиболеепростуюнормальнуюформу для гиперболических косых произведений в окрестности неподвижнойточкиидоказать,чтокнейможнопривестилюбоекосоепроизведениеспомо�щьюгомеоморфизма,сохраняющегопослойнуюструктуру,атакжедоказыватьсвойствогёльдеровости(побазе)этогогомеоморфизма.Научнаяновизнаработы.Всерезультатыдиссертацииявляютсяновыми.Основныерезультатыза�ключаютсявследующем.1.ДоказаноасимптотическоеповедениеязыковАрнольдауравненияДжо�зефсонаврежимебольшойамплитуды:языкиАрнольдаприближаютсяцело�численнымифункциямиБесселя,когдаb! 1.2.ОписанаструктураязыковАрнольдауравненияДжозефсонаврежиммалой͵ͼΊͳ΄΅΅Ύ΄ͻͶͳ;ͳͻµ!0.Доказано,чтовограниченныхподмножествах плоскости параметров (a, b) зазоры между языками Арнольдаэкспоненциально малы по µ.3.РешеназадачаЛагранжапридостаточномалыхдлинахзвеньев΅Έ20ͺ͵ͼвращающейсяцепидляпроизвольнойримановойориентированнойиполнойповерхности.4.
Доказана теорема о сходимости марковских сферических средних длядействийконечно-порожденнойсвободнойгруппыдляоткрытогомножествавпространствестохастическихматриц,задающихмарковскуюцепь.5. Доказано, что центры окружностей, вписанных в треугольные орбитыэллиптическогобильярда,лежатнаэллипсе.6.ДоказанатеоремаонормализацииСтернбергакосыхпроизведенийссо�хранением структуры косого произведения при нормализации, при этом пока�зано,чтосопрягающееотображениегладкопослоюигёльдеровопобазе.Пока�затель гёльдера явно выражен через динамические характеристики исходногоотображения.Теоретическая и практическая значимость.Работа носит теоретический характер.
Полученные в Главе 1 результатыo поведении языков Арнольда для уравнения Джозефсона могут быть полезныдля дальнейшего изучения этого уравнения (и уже применялись в несколькихработах).Численные методы построения языков Арнольда для джозефсоновскогосемейства (1), представленные во второй части Главы 1, также могут быть при�менимы и для других семейств отображений.Результаты Главы 2 могут быть применимы в дальнейшем изучении задачиЛагранжа на поверхностях с кривизной.В Главе 3 разрабатываются методы работы с несамосопряженными марков�скими операторами в контексте сходимости сферических средних – эти методымогут быть полезны при работе с действиями различных конечно-порожденныхгрупп, отличных от свободной группы.Главе 4 разрабатываются комплексные методы работы с бильярдами, втом числе комплексный закон отражения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
