Автореферат (1137381), страница 5
Текст из файла (страница 5)
КлепцынВ., РомаскевичО., Щуров И. ЭффектДжозефсонаибыстро�медленныесистемы//Наноструктуры.Математическаяфизикаимоделирова�ние.2013.Vol.8:1.P.31–46.Личный вклад автора.Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, от�29ражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка кпубликации полученных результатов проводилась совместно с соавторами (Гла�вы 1,3,5), причем вклад диссертанта был определяющим. Результаты Глав 2 и4 были получены лично автором.Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и библиографии.Общий объём диссертации 182 страницы.
Библиография включает 108 наиме�нований на 10 страницах.Содержание работы.Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор�мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимыеназащитунаучныеположения.В первой главедиссертацииизучаетсядинамикатакназываемогоурав�ненияДжозефсона(трехпараметрическогосемействауравненийнатореспара�метрамиa,b,µ)ивособенностиструктураязыковАрнольдадляэтогоуравне�ния.Этаструктураобъясняетсявдвухпредельныхрежимах,b! 1 иµ!0.В Разделе 1.1 этой главы даются основные определения, а также физиче�скаяиматематическаямотивировкидляизученияданногоуравнения.ВРазделе1.2объясняютсяосновныесвойствауравненияДжозефсона-мёби�усовостьсоответствующегоотображенияПуанкареисимметрииуравнения.ИзэтихдвухсвойстввыводитсядинамическоеописаниеграницязыковАрнольда.В Разделе 1.3 формулируется и доказывается результат о приближенииязыков Арнольда для уравнения Джозефсона целочисленными бесселевымифункциями,когдапараметрb! 1.В Разделе 1.4 дается качественное описание языков Арнольда в случае,когдапараметрµдостаточномал.Доказываютсядветеоремыотом,чтовнеко�торыхобластяхпространствапараметровязыкиАрнольданаходятсянаэкспо�ненциально малом по µ расстоянии друг от друга при µ!0.
Дается объясне�30ние поведения языков Арнольда на языке теории быстро-медленных систем и,наконец, предлагается алгоритм построения языков Арнольда при достаточномалых µ (вплоть до µ = 0.01).Результаты Раздела 1.1 опубликованы в совместной работе автора с Алек�сеем Клименко28 , результаты Раздела 1.2 опубликованы в совместной работеавтора с Ильей Щуровым и Виктором Клепцыным29 .Во второй главе изучается задача Лагранжа о среднем движении вра�щающейся цепи N отрезков.В Разделе 2.1 этой главы дается формулировка классической задачи Лагран�жа, когда вращающаяся цепь совершает движение на евклидовой плоскости.
Вэтом же разделе приводится новое доказательство классического результата овыражении асимптотической скорости системы при N = 3 как выпуклой ком�бинации угловых скоростей движения отрезков с коэффициентами, пропорцио�нальными углам треугольника, составленном из отрезков цепи.В Разделе 2.2 это доказательство обобщается на случай произвольной ори�ентированной полной римановой поверхности. В частности, приводится реше�ние задачи Лагранжа для гиперболической и сферической геометрий.В третьей главе доказывается теорема о сходимости марковских сфери�ческих средних для действий свободной группы на пространстве с мерой.В Разделе 3.1 этой главы даются все необходимые определения и форму�лируется основная теорема о сходимости сферических средних, а также даетсяобзор литературы по данному сюжету.В Разделе 3.2 доказывается основное техническое утверждение статьи - аименно, исследуется хвостовая сигма-алгебра, соответствующая марковскомуоператору, определяющему марковскую цепь, кодирующую действие группы.Доказывается, что эта хвостовая сигма-алгебра тривиальна.
Это утверждениевлечет за собой сходимость сферических средних. Переход от утверждения раз�28Klimenko A., Romaskevich O. Asymptotic properties of Arnold tongues and Josephson effect, (2014)29Клепцын В., Ромаскевич О., Щуров И. Эффект Джозефсона и быстро-медленные системы (2013)31дела 3.2 к доказательству основной теоремы осуществляется в разделе 3.3 спомощью стандартных техник. Результаты третьей главы представляют собойсовместную работу с Александром Буфетовым и Льюисом Боуэном30 .В четвертой главе рассматривается геометрическое место точек центроввписанных окружностей, соответствующих треугольным орбитам эллиптиче�ского бильярда.
Доказывается, что это геометрическое место точек являетсяэллипсом.Раздел4.1являетсявведениемкглаве,внемдаетсяформулировкатеоре�мы.В Разделе 4.2 теорема доказывается с помощью методов комплексной алгебраическойгеометрии:вэтомразделесоответственноопределяетсякомплекс�ныйзаконотражения,идальнейшаяработапроисходитскомплексификациямиисходныхкривых.ВРазделе4.3приведенопланиметрическоедоказательствотогожерезуль�тата, в данном случае, более громоздкое, чем доказательство с помощью ком�плекснойтехники.Результаты четвертой главы опубликованы в журнале L’Enseignementmathématique 31 .В пятой главе доказывается теорема о нормализации косых гёльдеровыхпроизведений.В Разделе 5.1 этой главы дается формулировка основной теоремы, а так�же дается мотивировка изучения класса именно гёльдеровских косых произ�ведений.
В этом разделе доказывается, что косое произведение над линейнымдиффеоморфизмом Аносова с одномерным слоем может быть линеаризованов окрестности гиперболической неподвижной точки посредством сопрягающегогомеоморфизма H. При этом линеаризация проводится послойно: H являетсятождественным преобразованием по базе.30Bowen L., Bufetov A., Romaskevich O. On convergence of spherical averages for Markov operators, (2016)31Romaskevich O.
On the incenters of triangular orbits on elliptic billiards , (2014)32В Разделе 5.2 приведен план доказательства теоремы о нормализации: со�прягающий гомеоморфизм находится как неподвижная точка некоторого опе�ратора, сохраняющего некоторое замкнутое подпространство N в некоторомфункциональном пространстве M. Этот оператор является композицией Lдвух операторов – оператора L решения гомологического уравнения и операто�ра сдвига.В Разделе 5.3 изучается оператор решения гомологического уравнения, идоказывается, что этот оператор сохраняет пространство гёльдеровых функ�ций с показателем ↵, где ↵ – минимум из показателя гельдеровости исходногоотображения и константы, характеризующей соотношение гиперболического ди�намики в слое и в базе.
Этот раздел является основным технически сложнымместом.В Разделе 5.4 изучается оператор сдвига и также доказывается, что онсохраняетзамкнутоеподпространствоN.ВРазделе5.5доказывается,чтоком�позицияоператоровLявляетсясжимающимоператоромвM.ВРаздел5.6вынесенытехническиелеммыидоказательствоосновнойтео�ремы в случае более высокой гладкости. Результаты пятой главы – результатработысЮ.С.Ильяшенко32 .Заключение.Я хочу в первую очередь поблагодарить моих научных руководителей.Спасибо Юлию Сергеевичу за то, что он поделился со мной своим видениемматематики, за его умение объяснить и понять. Спасибо Вам за возможностьбыть частью нашего семинара. Спасибо Этьену за всю чудесную математику,которойонменянаучилизадружескуюподдержкувмоментысомнений.Яхочутакжепоблагодаритьмоихсоавторов,͛ͬΆ͵ͳ͕͝;ΉΎͳ ͓ Кли-Ϳͽ͓͔Ά·΅͵ͳͻ͔͞Άΐͳͺͳ΄Ίͳ΄΅Ώʹ΄Άͷͳ΅Ώͻͳ΅Ώ΄;ΎͺͳͷͳΊͻ͵Ϳ΄΅͡΅ͷ;Ώ΄ͳ΄ͻʹ͛ͬΆ͵Άͺͳͣͻ΄Άͽͻ·ͳ΅ͳ͛΄ͳ΄ͻʹͿͻͿͷΆͺΏΒͿͺͳ͵΄Δ32Ilyashenko Yu.
, Romaskevich O. Sternberg linearization theorem for skew products, (2016).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
