Автореферат (1137381), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Они могут быть полезны для работыв теории бильярдов.21В Главе 5 доказывается новая теорема о нормализации гиперболическихкосых произведений – она может быть полезна для работы с их возмущениями,и для доказательства новых необычных свойств аттракторов.Методология и методы исследования.В диссертации применяются методы марковских операторов для работысо сходимостью последовательностей функций, методы комплексной алгебраи�ческой геометрии для изучения комплексификаций бильярдов, а также методыфункционального анализа и методы качественной теории дифференциальныхуравнений.Положения, выносимые на защиту.В диссертации доказаны следующие теоремы.1. (Глава 1.) Существуют такие положительные константы C10 ,C20 , K10 ,K20 , K30 , что если параметры b, µ и число k 2 Z удовлетворяют неравенствам|kµ| + 1 C10pbµ,bC20 µ,то имеют места следующие неравенства:a0,k (b)µa⇡,k (b)µ✓1k + Jkµ✓1kJkµ◆✓1bK10 +µb◆✓b1K10 +µb✓ ◆◆K20b0+ K3 ln,3µµ✓ ◆◆K20b0+Kln,3µ3µ(3)где a0,k (b) и a⇡,k (b) - аналитические функции, определяющие границы языкаАрнольда, соответствующего целому значению числа вращения k: ⇢a,b,µ = k иJk (b) - целочисленная функция Бесселя1Jk (z) =2⇡2⇡Zcos(ktz sin t)dt.0Замечание.
Обозначения границ a0,k (b), a⇡,k (b) связаны с тем фактом,что при целочисленном числе вращения отображение Пуанкаре Pa,b,µ уравне�ния Джозефсона имеет неподвижные точки. Фазовые кривые векторного по�22Рис. . ЛиниямиизображеныграницыязыковАрнольдауравненияДжозефсонасчисламивращения,равнымисоотвественноk= 0,1, . . . 10,придостаточномаломзначениипараметраµ,µ= 0.2.Пристремленииµкнулю,вограниченныхобластяхплоскости(a,b)языкиэкспоненциально(поµ)сближаются.ля(1)сохраняютсяотносительносимметрии(x,t) 7! ( x, t),такимобразомнеподвижнымиточкамимогутбытьлишьточки0и⇡.2. (Глава 1) Рассмотрим два подмножества плоскости (a, b) параметров:область B = {(a, b)| a < 1 < b < a + 1) и область C = {(a, b)| b > a + 1}.
То�гда для любого фиксированного ограниченного подмножества плоскости, ком�пактно вложенного в B (в C) и для достаточно малого µ расстояние между⌘⇣C1длясоседними языками в области B (области C) не превосходит C1 expµнекоторыхположительныхконстантC1, C2.Такимобразом,языкипочтипол�ностьюзаполняютэтоограниченноеподмножество,Рис.4.3.(Глава2.)Рассмотримпроизвольнуюориентированнуюполнуюповерх�ность M и динамику вращающейся цепи из трёх отрезков с длинами l1 , l2 , l3 .Фиксируем начало первого отрезка в некоторой точке 0 2 M на поверхности.Предположим, что соответствующие относительные угловые скорости равны23Рис. . Для каждого направления (показанного стрелками) геодезической, исходящей източки 0, строятся два треугольника+,со сторонами lj такие, что сторона длины l1обоих треугольников принадлежит геодезической, а вершина 0 является общей для сторондлин l1 и l3 .
На рисунке изображено три различных пары треугольников: на поверхностяхнепостояннойкривизныэтитреугольникимогут небыть изометричны.!1 , !2 , !3 2 R и рационально независимы. Тогда для любой вращающейся це�пи с достаточно малыми длинами звеньев, асимптотическая угловая скоростьконца системы (предел (2)) существует и выражается выпуклой комбинациейисходных угловых скоростей! = !1 q1 + !2 q2 + !3 q3 ,Ͷͷͽΐ··ͻΉͻ΅Ύq j͵ыражаютсяΊͺΆͶ;Ύ΅ΆͶ;Ώͻͽ͵΄΄΅ͳ͵;ΎΈͻͺ΅ͺͽ͵l j ,ͣͻс..А именно, для любого направления ' 2 S1 геодезической, выходящей из0 при достаточно малых lj существует ровно два треугольника+,со сто�ронами l1 , l2 , l3 такими, что сторона длины l1 отложена вдоль геодезической исторона l3 имеет вершину в 0 (и цепь таким образом замыкается). Обозначим↵1± , ↵2± , ↵3± соответственно их углы, противолежащие сторонам длин l1 , l2 , l3 .
То�гда DÌ }ÄÆuÌ «/d¯¥44Ì_¢=utEHb¢«¢ÌAËÌl¢¥duÌulÌ}¢¢lMgRWW¹º4Ì ¬Ì Ä«\RÌ }ÄlÌ HgglElHlEsXgV5S1Ì Ä«\RÌEÌ l¥Ä«g[2|MS1bÌ}¢ÌHlg¥gMudS1Ì Ì uÌ ¬¢Ì ²¢u|$Ì<# `vFvÌ 9%Ì ju}Hd/l¥T1dÌHlEU1Ì HE/=/Mg-Ì ¬¥Ä³²RÌ ®Ì uEl/d/¥S1:duÈd1Ì ²¥¢}l¥uMHlEuÌ HÌ d¥¢.Ì uÌ luYÌ bgMtMgÌ dMgHlEgÌ ´¢dtMMgA[dMlud4Ì«¥Ä ²°Ì 4Ìdu¥b¢E} ı̾²Ì MuÌ «¥uÌ:uu»Ä±Ì }l¢Âu}l4t}b¢.Ìdum¥4¾.Ì Z$Ìhµ¦]NOÌ 7%Ì a£w8§xÌ IÌQ¶Gx~kÌ Ã£§iqn&fÌ ¡£w8§xi)fÌ¡¤§kwxÌ JCnÌiÌ~£~£¼Ìn;ÌGqnÌnÌ nÌinniGxcrÌ¡½Ì̪Ì̪ Ì y^ncÌ xnrÌ £Ì¼§Á̼ ÁÌ Ì § ! £§¼Q¼§£xQP¶Ì¡Å¼Ì Ì 8¨xÇÌhµ¦]NOÌ 9%Ì K£Ãx~¼JeÌ*x§¼xÌZÌP¶x~kÌ!w£¡Å~¼*£½Ì ~ÉCnÌÊ ~££~6noÌ8xÌÌ JGk;PÌ Ì£ÌC@0½ÌqnQ¶Ì(fi{JiÌ¡£½¼Ìw£C@0oÌw80½Ì ¡£ÌinPniGxPQ¶'fÌ >©x'fÊ w,Ì Qi¤§£½Ì qnPcÌ pÌ LÌ ¡£w8§Å¡¡xÌ Ì¿Ì IÌ ®Ì ¡££z3wQQx+Ì GJfnBCPx'fnÌ ¼wxÌ 8wÌ §ÀÌ " i§nQn§iGxPPcoÌ ¡ÅÌ n;Ì pÌ ?Ì ~@kÌ ?8¨xÇÌ ~£¡xwxÌ ~£Ì ~½Ì ~£@£w·¸£½Ì8§Å¡¡£½Ì ®25Рис.
. Видхорошегоподграфапорядкаkв графедоказатьсходимость сферическихсредних• соответствующий граф:наличиетакогоподграфапозволяет1 P 2k_2ki=0Sn+i'для'2L1(X,µ).содержит хороший подграф порядка kТогда если для некоторого k матрица ⇧ является k-допустимой, то для лю�бого сохраняющего вероятностную меру действия Fr на(X, µ) и любой функции' 2 L1 (X, µ) выражение2k1 XSn+i '2k i=0сходится в норме L1 к E(f |F), то есть, к условному математическому ожиданиюотносительно сигма-алгебры Fr -инвариантных измеримых подмножеств.Техническое условие на существование хорошего подграфа может бытьзаменено более слабыми и наглядными условиями.
Важным в этой теоремеявляется тот факт, что условие k-допустимости является открытым условиемна пространстве матриц ⇧. Таким образом, имеется сходимость марковскихсферических средних в открытых подмножествах пространства стохастическихматриц.265. (Глава 4.) Центры вписанных окружностей треугольных орбит эллип�тического бильярда лежат на эллипсе.5. (Глава 5.) Пусть M = Td ⇥I – многообразие с краем, где Td - d-мерныйтор, I = [0, 1].Рассмотрим сохраняющее границу косое произведениеF : M ! M, (b, x) 7! (Ab, fb (x)),где fb (0) = 0, fb (1) = 1 и отображение слоёв fb является сохраняющим ориен�тацию диффеоморфизмом I ! I, и отображение базы A является линейнымгиперболическим автоморфизмом тора.Допустим также, что f является гёльдеровым непрерывным в x относи�тельно C k -нормы с показателем , k2.Пусть O 2 Td ⇥ 0 – гиперболическая неподвижная точка F .
Обозначиммультипликатор послойного отображения в окрестности базы какПредположим также, чтоbb:=@fb@x (0). supTd | (b)| = q < 1 8b 2 Td .Тогда существует окрестность U точки O и сохраняющий слои гомеомор�физмH : (U, O) ! U, (b, x) 7! (b, x + hb (x)), hb (0) =@hb(0) = 0@xтакой, что1. H сопрягает F в (U, O) с его "послойной линеаризацией"F0 : (b, x) 7! (Ab,b x).Это означает, чтоFH=HF0 .2. H – гладкий по x при фиксированном b: степень гладкости равна k3.
H послойно гёльдеров в C k2норме с показателем ↵, где2.27↵ min( , logµ q) и µ есть максимальная абсолютная величина собствен�ных значений A, а q является непрерывной нормой послойного мультиплика�тора(b). Таким образом, показатель гёльдеровости связан с соотношениемсжатия по слою и по базе.Апробация результатов.Основные результаты работы докладывались на следующих конференци�ях, школах и семинарах.На конференциях и школах• КонференцияВзаимодействиефизикииматематики:новыеперспекти�вы,Москва,ДокладУравнениеДжозефсонаибыстро-медленныесистемы,август2012• Школа по геометрии и динамике ICTP-SISSA-Москва, ICTP, Триест,Доклад Языки Арнольда уравнения Джозефсона, июнь 2013• Школа молодых учёных в области динамических систем (Parole auxjeunes chercheurs en systèmes dynamiques), CIRM, Marseille, Доклад Потенциа�лы с замкнутыми орбитами и поверхности с замкнутыми геодезическими.Обзор и открытые вопросы, ноябрь 2013• Конференция по геометрии и динамическим системам, CIRM, Марсель,Постерный доклад О центрах вписанных окружностей в треугольные орбитыэллиптического бильярда, март 2014• КонференцияГеометрическиеаспектысовременнойдинамики,Порто,Доклад Комплексное отражение в бильярдах, январь 2016На семинарах• Семинар по динамическим системам, МГУ им.
М.В. Ломоносова, ДокладТеорема локальной нормализации косых произведений, сентябрь 2013• Институт Математики, Дижон, Доклад Ещё одна теорема о сходимостисферических средних для действий свободной группы, ноябрь 2015• Семинар по динамике, Лаборатория Дьёдонне, Университет Ниццы Со�фия-Антиполис, Доклад Линеаризация косых произведений по Стернбергу, фев�28раль 2016• Семинар по динамическим системам, Федеральный Университет UFF,Рио-де-Жанейро, Доклад Марковские цепи и сходимость сферических среднихдля действий свободной группы, май 2016• Семинар по динамическим системам, Католический Университет PUC,Рио-де-Жанейро, Доклад Теорема о нормализации Стернберга для косых про�изведений, май 2016• Семинар по топологии и динамическим системам, Университет Орсэ,Доклад Сферические средние для действий свободной группы, июнь 2016• Семинар по динамическим системам, Университет Авиньона, ДокладЦепи Маркова и сферические средние для действий свободной группы, июнь2016Список публикаций автора по теме диссертации.Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 4статейврецензируемыхжурналах, 1 статьявсборникахтрудовконференций.1.
Ilyashenko Yu. , Romaskevich O. Sternberg linearization theorem for skewJuly 2016,к Vol.22 (3). вproducts // Journal of Dynamical and Control systems, принятопубликацииP. 596 – 614сборникезаиюль20162.BowenL.,BufetovA.,RomaskevichO.OnconvergenceofsphericalaveragesforMarkovoperators//GeometriaeDedicata.2016.Vol.181(1).P.293–306.3.
Romaskevich O. On the incenters of triangular orbits on elliptic billiards//L’EnseignementMathématique.2014.Vol.60(2).P.247–255.4.KlimenkoA.,RomaskevichO.AsymptoticpropertiesofArnoldtonguesandJosephsoneffect//MoscowMathematicalJournal.2014.Vol.14:2.P.367–384.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
