Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 7

Рис. 1.3. Однако, вопреки классической Канторовской лестницемножество точек роста (замыкание множества параметров a, соответствующихиррациональным числам вращения) имеет положительную меру Лебега.Изучение языков Арнольда для уравнения Джозефсона продолжает про�цесс, начатый Арнольдом, однако в случае уравнения (1.2) и соответствующегоотображения Пуанкаре Pa,b,µ ситуация сильно отличается от стандартного се�мейства. Мы опишем ее в следующей части.1.2. Чем необычно уравнение Джозефсона?1.2.1. Уравнение Риккати и целые числа вращенияЗаметим, что правая часть уравнения (1.2) (а поэтому и отображение/ Q. ЭтоPea,b,µ ) растет монотонно с a, поэтому захват фазы невозможен для k 2верно для типичных семейств дифференциальных уравненй, но необычностьуравнения (1.1) состоит именно в том, что для k 2 Q \ Z захват фазы такжене наблюдается. Это следует из того, что уравнение Джозефсона записано в ка�ком-то смысле в плохих координатах: в правильно выбранной карте оно простоявляется уравнением Риккати, для которого свойство отсутствия захвата фазыдля нецелых чисел вращения практически очевидно.Впервые это наблюдение было сделано Футом в [19] и затем переоткрытонезависимо в [12] и в [16, 29] в контексте уравнения Джозефсона.Лемма 1.1.

Уравнение Джозефсона (1.2) сопряжено уравнению Риккати и егоотображение Пуанкаре Pa,b,µ с трансверсалиl {t = 0} на себя сопряжено дробно�линейному (мёбиусову) отображению.u̇= ẋ, cos x =Доказательство. После замены координат u = tan x2 , u22+1система (1.2) превращается в систему8EV><= ↵(t)u2 + (t)u + (t),E⌧>: Et = µ.E⌧где ↵(t) = a + b cos t12,1 u21+u2(1.8)(t) = 0, (t) = a + b cos t + 12 .

Это уравнение Риккати,для которого отображение Пуанкаре мебиусово, см. например [30].Нужное утверждение следует из данной леммы: любое мебиусово отобра�жение имеет ноль, одну или две неподвижные точки и в этих случаях назы�вается соответственно эллиптическим, параболическим или гиперболическим.Предположим, что число вращения для фиксированных параметров рациональ�но, ⇢ =pq2/ Z, тогда P – эллиптическое отображение в правильно выбранной42координате.

Тогда, как отображение окужности, P – вращение. И в этом случаечисло вращения изменяется при малом возмущении. ⇤Итак, языки Арнольда существуют только для целых чисел вращения, иболее того, при фиксированном µ точка(a, b) принадлежит внутренности языкатогда и только тогда, когда Pa,b,µ – гиперболическое отображение, и лежит награнице языка тогда и только тогда, когда Pa,b,µ – параболическое (или тож�дественное). Действительно, граница языка соответсвует случаю неподвижныхточек отображения, исчезающих при малом возмущении: эти точки называют�ся параболическими.

При движении по кривой внутри языка по направлениюк границе, вещественные решения уравнения Pa,b,µ (z) = z схлопываются в однорешение и при выходе переходят в две комплексно сопряженные точки.Это свойство уравнения Джозефсона (1.1)отсутствия языков Арнольдадля всех рациональных значений числа вращения уникально, а именно какнедавно доказано в [31], семейство уравнений вида ẋ = v(x) + A + Bf (t) на торене имеет всех рациональных языков Арнольда для всех функций f только в слу�чае, если v(x) есть комбинация двух гармоник v(x) = a sin(mx) + b cos(mx) + c.При таком виде v языки Арнольда существуют для значений числа вращенияв дискретном множестве1m Z.1.2.2.

Динамическое описание границПомимо мёбиусовсти ещё одним важным свойством уравнения (1.2) явля�ется обратимость динамики, то есть сохранение фазовых кривых при отобра�жении(t, x) 7! ( t, x).(1.9)Это свойства симметрии объясняет (чисто практическую) замену синуса на ко�синус и перехода от уравнения (1.5) к уравнению (1.1) . Мебиусовость и цен�тральная симметрия фазовых кривых вместе дают аналитическое описание гра�ниц языков Арнольда в терминах отображения Пуанкаре. Это очень важныйфакт, как для теоретического изучения языков, так и для практического по�строения границ на компьютере.Действительно, пусть Pa,b,µ 6= id и точка (a, b) лежит на границе неко�торого языка Арнольда при фиксированном µ. Тогда число вразения ⇢P 2 Z(см.

Лемму 1.1). В этом случае P имеет неподвижную точку. Фазовые кри�вые сохраняются при центральной симметрии, и значит эта неподвижная точкаотображения Пуанкаре должна переходить в неподвижную точку отображенияПуанкаре под действием симметрии x 7!x на окружности. Поскольку у пара�болического дробно-линейного отображения неподвижная точка единственна,она обязана переходить в себя. Значит, она обязана удовлетворять уравнениюx на окружности. Существуют две точки, удовлетворяющие этому урав�x=нению: 0 и ⇡. Таким образом, границы языка Арнольда с числом вращенияk 2 Z суть две аналитических кривые a0,k и a⇡,k , задающиеся условиямиa = a0,k (b) , Pa,b,µ (0) = 0a = a⇡,k (b) , Pa,b,µ (⇡) = ⇡Численные эксперименты показывают, что границы одного языка Арноль�да пересекаются друг с другом в счетном числе точек, см. Рис 1.4.

Мы будемназывать их точками перемчки (или перемычками). Математическое доказа�тельство существования перемычек следует из нашей теоремы с Алексеем Кли�менко, см. часть 1.3. На рисунке видно, что границы "осциллируют": мы до�казываем, что эта осцилляция близка осцилляции целочисленных бесселевыхфункций, см. 1.3 для более формального утверждения. Можно также заметитьпо картинке Рис. 1.4, что перемычки для одного языка располагаются на однойи той же прямой a = kµ, где k – номер языка.

Это было доказано(для µ1)в[15] с помощью явления Стокса. Для µ < 1 этот факт не доказан и остаетсяразумной гипотезой. Сложность состоит в изучении перемычек в окрестностиb = 0.Рис. 1.4. Языки Арнольда уравнения Джозефсона на плоскости параметров (a, b)при фикси�рованном µ, здесь µ = 11.2.3.

Корни языковЗдесь мы хотим представить два небольших замечания о структуре язы�ков, которые будут важны в дальнейшем. Во-первых, благодаря симметрии (см.часть 1.2.2), достаточно рассматривать структуру языков в первом квадрантеплоскости параметровt a, b > 0. Второе замечание состоит в том, что нам извест�ны "корни"языков (то, где языки "начинаются"). Иначе говоря значение числавращения ⇢a,0,µ может быть явно вычислено, так как при b = 0 уравнение (1.1)может быть проинтегрировано.

После некоторых вычислений (см., например,[16]) мы видим, что язык с номером k (соответствующий ⇢ = k)пересекает пря�pмую {b = 0} в точке (sgn k · k 2 µ2 + 1, 0), если k 6= 0. В случае k = 0 пересече�нием является отрезок [ 1, 1]. Поэтому (за исключением k = 0)языки ( k > 0)пробиваются в некоторых точках на оси a и затем наклоняются немного влево,осциллируя в окресности кривой a = kµ с помощью бесселевской асимптотики.Основные результаты данной главы.Мы будем изучать сечения языков Арнольда плоскостью с фиксированнымµ iв двух режимах:• Первый режим: большая амплитуда тока Мы предполагаем, что ампли�туда тока достаточно велика, или b ! 1. В нашей статье с АлексеемКлименко [4] мы описываем асимптотичеки бесселевое поведение языков.Несмотря на то, что µ фиксировано, мы учитываем его в оценках остаточ�ных членов.• Второйрежим:малаявнешняячастотасигналаЭтотслучайсоответ�ствует пределу µ ! 0 и больше подходит физическим конструкциям. Мыобъясним качественное поведение системы в данном случае и покажемсвязь между геометрической структурой языков и быстро-медленнымисвойствами уравнения (1.2).

Также будут показаны области пространствапараметров, которые почти полностью ( за исключением пробелов, экспо�ненциально малых по µ) покрыты ковром языков Арнольда. Мы строимэффективный алгоритм построения границ для малых значений µ (до0.01).1.3. Первый режим: большая амплитуда токаРежим больших амплитуд был рассмотрен в работе [4] и мы приводимздесь результаты и доказательства из этой статьи.1.3.1. Обобщения уравнения ДжозефсонаВ этой части мы будем рассматривать специальный режим поведения урав�нения Джозефсона и его обобщений (когда b ! 1).

В этом разделе мы сумми�руем основные идеи введения, и определяем семейство, обобщающее уравнениеДжозефсона.Напомним (см. введение 1.1), что мы рассматриваем семейство дифферен�циальных уравнений на окружности R/2⇡Zdx cos x + a + b cos t=,dtµ(1.10)4которое возникает в физике при исследовании эффекта Джозефсона.Семейство уравнений (1.10) может быть обобщено в следующем виде:dx f (x) + a + bg(t)=,dtµ(1.11)где f и g � 2⇡-периодические функции с нулевыми средними значениями:2⇡Zf (x) dx = 0,02⇡Zg(t) dt = 0.(1.12)0Как уже объяснено для уравнения Джозефсона во введении, любое урав�нениевида(1.11)задаётвекторноеполенадвумерноҶтореR2/2⇡Z2 скоордина�тамиxиt.Аименно,вводяпеременнуювремени⌧ ,мыможемзадатьвекторноеполеследующимобразом:8@x><= f (x) + a + bg(t),@⌧>: @t = µ.@⌧(1.13)То же векторное поле можно рассматривать как векторное поле на цилиндреR2 /((x, t) ⇠ (x, t + 2⇡)).

В обоих случаях можно определить отображение Пу�анкаре из трансверсальной полю кривой {t = 0 mod 2⇡} на себя. Мы будемобозначать его Pa,b,µ в случае тора и Pea,b,µ в случае цилиндра. Ясно, что как ираньше, Pea,b,µ является поднятием Pa,b,µ .Число вращения для обобщенной системы и понятие захвата фазы опреде�ляются аналогично уравнению Джозефсона, см. Введение 1.1. Нас будут инте�ресовать языки Арнольда, соответствующие числу вращения ⇢a,b,µ .Как было объяснено ранее, структура языков Арнольда для уравнения(1.10) и его обобщений представляет значительный интерес как с точки зренияприложений в физике, так и с чисто математической точки зрения.

В этой частимы изучаем сечения языков Арнольда, задаваемые плоскостями с фиксирован�ным значением параметра µ. Тем не менее, мы обращаем внимание на параметрµ, в частности, константы асимптотических членов O( · ) не зависят от µ.Как было показано во введении, языки Арнольда для уравнения Джозеф�сона возникают только при целочисленных значениях параметра: языки Ар�нольда отсутсвуют для иррациональных чисел вращения (что неудивительно,см. введение), однако для данного уравнения они отсутствуют и для нецелых ра�циональных чисел вращения. Это связано с тем, что при замене u = tan x2 урав�нение (1.10) оказывается сопряжённым уравнению Риккати, см. раздел 1.2.1.Р.Фут обратил внимание на это в работе [19] в контексте планиметра Притца,а впоследствии это было независимо переоткрыто Ю.С. Ильяшенко [16, 29] иВ.М.