Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова)

Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияНациональный исследовательский университет�Высшая школа экономики�На правах рукописиРОМАСКЕВИЧ Ольга ЛеонидовнаДинамика физических систем, нормальныеформы и цепи Маркова01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы иоптимальное управлениеДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук,профессор Юлий Сергеевич ИльяшенкоНаучный руководительакадемик Французской Академии Наук,ведущий научный сотрудник Этьен ЖисМосква – 2016Содержание1. Введение................................................................................................. 3 Глава1ϏүҸҶүҼҺҲӁүһҴҪӉһҼҺҽҴҼҽҺҪӉұӅҴҸҬόҺҷҸҵӆҮҪҽҺҪҬҷүҷҲӉϐҰҸұүҾһҸҷҪ Глава2.ϓҪҮҪӁҪϗҪҭҺҪҷҰҪҸҫҪһҲҶҹҼҸҼҲӁүһҴҸҳҽҭҵҸҬҸҳһҴҸҺҸһҼҲҬҺҪӃҪӈӃүҳһӉӀүҹҲ4.ϏҵҪҬҪϝҿҸҮҲҶҸһҼӆҶҪҺҴҸҬһҴҲҿһҾүҺҲӁүһҴҲҿһҺүҮҷҲҿҮҵӉһҸҿҺҪҷӉӈӃҲҿҶүҺҽҮүҳһҼҬҲҳһҬҸҫҸҮҷҸҳҭҺҽҹҹӅ ГлаваϓҪҮҪӁҪҸӀүҷҼҺҪҿҬҹҲһҪҷҷӅҿҸҴҺҽҰҷҸһҼүҳҼҺүҽҭҸҵӆҷӅҿҸҺҫҲҼӇҵҵҲҹҼҲӁүһҴҸҭҸҫҲҵӆӉҺҮҪГлава5.ϞүҸҺүҶҪϝҼүҺҷҫүҺҭҪҸҭӊҵӆҮүҺҸҬҸҳҹҸһҵҸҳҷҸҳҷҸҺҶҪҵҲұҪӀҲҲҴҸһӅҿҹҺҸҲұҬүҮүҷҲҳ12 Заключение.18.

Литература13Общая характеристика работыАктуальностьтемыисследованияистепеньразработанностипро�блемы.Диссертационнаяработапосвященаразличнымзадачамтеориидинамиче�скихсистем,включающихвсебяэргодическуютеорию(см.Главы1–3),теориюбильярдов(Глава4)итеориюнормальныхформотображений(Глава5).1. В первой главе диссертации рассматривается трехпараметрическоесемействовекторныхполейнадвумерномторескоординатами(x,⌧ ),имеющееследующийвид8@x><= cos x + a + b cos t,@⌧(1)@t>:= µ.@⌧Здесь a, b 2 R, µ > 0 – вещественные параметры.

Нас интересует отображениеПуанкаре Pa,b,µ этого уравнения, определенное как отображение первого возвра�щения с трансверсали {t = 0} на саму себя, и в особенности его число вращения⇢ как функция параметров ⇢ = ⇢a,b,µ . НапомнимОпределение. Числом вращения ⇢ отображения P : S1 ! S1 называетсяпределPe n (x) x⇢ := limn!12⇡n4 5В 1978 году В.И. Арнольд предложил рассматривать числа вращения недля единичных диффеоморфизмов, а для конечнопараметрических семействотображений окружности fp , где p 2 P - вектор параметров, P - пространствопараметров. В этом контексте им был рассмотрен пример двухпараметрическо�го семейства fa," : x 7! x + a + " sin 2⇡x синусоидальных возмущений семействаповоротов окружности. Здесь пространство параметров P является двумернойплоскостью R2 с координатами (a, ").Арнольда интересовало, как меняется число вращения отображения fp ,когда вектор параметров p меняется в пространстве P. Для изучения этоговопроса он дал следующееОпределение.

Будем говорить, что для конечнопараметрического семей�ства fp , p 2 P имеет место захват фазы для значения ⇢0 числа вращения, еслимножество уровняE⇢0 = {p 2 P|⇢(fp ) = ⇢0 }имеетнепустуювнутренность.ЭтимножествавпоследствииполучилиназываниеязыковАрнольда.Рис. 1. СемействоязыковАрнольдадлястандартногосемействаx7!x+a+"sin2⇡xнаплоскостипараметров(a,"),рисунокИльиЩурова5Название языки Арнольда объясняется расширяющейся формой языковдля стандартного семейства возмущений поворотов окружности, рассмотрен�ных Арнольдом, см. Рис. 1.⇣ ⌘Из каждой точки pq , 0 2 P на плоскости параметров растет язык Ар�нольда - подмножество пространства параметров, соответствующее числу вра�щения pq . Соображения монотонности и теорема Данжуа для C 2 -гладких диф�феоморфизмов показывают, что языков Арнольда для иррациональных чиселвращения в стандартном семействе не появляется - соответствующие множе�ства уровня суть гладкие кривые.

В типичном семействе диффеоморфизмовокружнсти будет наблюдаться тот же эффект: языки Арнольда существуютдля рациональных значений числа вращения и отсутствуют для иррациональ�ных значений.В данной диссертации изучается поведение языков Арнольда для семей�ства (1). Это семейство моделирует динамику дэозефсоновского контакта изфизики сверхпроводимости. Более точно, это трехпараметрическое семействовекторных полей на двумерном торе называется резистивной моделью джозеф�соновского контакта с малой емкостью (большим затуханием) и синусоидаль�ным током.

В данной диссертации мы будем для простоты называть это семей�ство уравнением Джозефсона.Помимо связи с физикой сверхпроводимости, данное исследование мотиви�ровано необычным (вырожденным) поведением языков Арнольда для отобра�жения первого возвращения Pa,b,µ . А именно, оказывается, что языки Арнольдав данном семействе существуют только для целых значений числа вращения.Это соответствует тому факту, что отображение Pa,b,µ является мебиусовымотображением окружности.

Таким образом, в ограниченных подмножествахпространства параметров наблюдается лишь конечное число языков Арнольда.Этот эффект называется эффектом квантования числа вращения.Языки Арнольда уравнения Джозефсона имеют очень красивую структу�ру, см. Рис. 2. Данная работа подробно изучает это поведение.6Семейство (1) изучалось в различных работах вне контекста динамикиджозефсоновского контакта: насколько нам известно, впервые это уравнениепоявляется в литературе в статье Р. Фута в контексте планиметра Притца1 .Позднее оно изучалось также при изучении динамики движения велосипеда.2Также, Ю.С. Ильяшенко и Дж.

Гукенхеймер в 2001 году 3 , ещё не подозреваяо связи этого семейства с динамикой джозефсоновских контактов, рассматри�вали уравнение (1) в контексте изучения уточных циклов быстро-медленныхсистем на торе в случае, когда µ << 1. Данная диссертация использует методыИльяшенко-Гукенхеймера для описания поведения языков Арнольда уравненияДжозефсона в случае малости параметра µ.Семейство (1) в контексте моделирования джозефсоновского контакта впер�вые изучается в цикле работ В.М.

Бухштабера, О.В. Карпова и С.И. Тертыч�ного4 . Ими (одновременно с Ю.С. Ильяшенко5 ) были переоткрыты свойствамебиусовости отображения Пуанкаре (изначально установленные Футом) и бы�ло дано эмпирическое описание языков Арнольда.Результаты данной диссертации являются частью активного исследованияязыков Арнольда отображения первого возвращения для семейства (1).

Бла�годаря численному моделированию языков Арнольда уравнения Джозефсона,описанному во второй части Главы 1 диссертации, удается получить достаточноточное изображение языков Арнольда, см. Рис.2.В работах А. Глуцюка, В. Клепцына, Д. Филимонова, Д.Рыжова, И.Щурова,1Foote R.L. Geometry of the Prytz planimeter (1998)2Finn D. Can a bicycle create a unicycle track? (2002); Levi M., Tabachnikov S.

On bicycle tire tracksgeometry, hatchet planimeter, Menzin’s conjecture and oscillation of unicycle tracks (2009)3Guckenheimer J., Ilyashenko Yu.S. The duck and the devil: canards on the staircase (2001)4Karpov O.V., Buchstaber V.M., Tertychniy S.I. et al. Modeling of rf-biased overdamped Josephsonjunctions (2008); Buchstaber V.M., Karpov O.V., Tertychniy S.I. Features of the dynamics of a Josephson junctionbiased by a sinusoidal microwave current (2006); Математические модели динамики сильношунтированногоперехода Джозефсона (2008); Эффект квантования числа вращения (2010); Система на торе, моделирую�щая динамику перехода Джозефсона (2012); Бухштабер В.М., Тертычный С.И. Семейство явных решенийуравнения резистивной модели перехода Джозефсона (2013)5Лекции Летней Школы по динамическим системам, (2009), не опубликовано7Ю.

Ильяшенко и др. формулируются строгие математические утверждения,подтверждающие эмпирические результаты, полученные благодаря численномумоделированию. Существование необычных самопересечений языков Арнольда(называемых перемычками) объясняется в Главе 1 данной диссертации.А. Глуцюк с соавторами6 доказывают, что для каждого языка Арнольдаперемычки лежат на одной и той же вертикальной прямой. Эта прямая задаетсяуравнением a = ⇢0 µ, где ⇢0 – значение числа вращения на этом языке. Этотрезультат называется эффектом квантования перемычек языков Арнольда ион доказан при фиксированном µ, µ > 1. При меньших µ этот факт остаетсяправдоподобной гипотезой.Результаты данной диссертации являются отправным пунктом в работеГлуцюка с соавторами, так как само существование перемычек вытекает изТеоремы об асимптотическом поведении границ языков при b ! 1, доказанномв Главе 1.Глава 1 состоит из двух частей: в первой из них изучается структураязыков Арнольда в так называемом режиме большой амплитуды, b ! 1 .Эта часть основана на совместной работе автора с Алексеем Клименко.

Вовторой части Главы 1 рассматривается поведение языков Арнольда в быстро�медленном режиме, µ ! 0. Эта часть основана на совместной работе авторас И.Щуровым и В.Клепцыным. В обоих режимах доказываются теоремы обасимптотическом поведении языков Арнольда.Стоит отметить, что уравнение Джозефсона представляет интерес не толь�ко из-за интересной формы языков Арнольда, а также из-за удивительного свой�ства квантования числа вращения, уже упомянутого выше. Языки Арнольдауравнения Джозефсона существуют только для целых значений чисел враще�ния. В работе Ю.С.

Ильяшенко, Д.А. Рыжова и Д.А. Филимонова7 изучается6Глуцюк А.А., Клепцын В.А., Филимонов Д.А., Щуров И.В. О квантовании перемысек в уравнении,моделирующем эффект Джозефсона (20147Ильяшенко Ю.С., Филимонов Д.А., Рыжов Д.А. Захват фазы для уравнений, описывающих рези�стивную модель джозефсоновского перехода, и их возмущений (2011)8b20Γ11510Γ25ℓ1ℓ2a0−2−1012Рис.

1. Семейство языков Арнольда для уравнения Джозефсона на плоскости параметров(a, b) при фиксированном значении параметра µ, рисунок Ильи Щуроваповедение языков Арнольда возмущений специального вида уравнения Джо�зефсона и доказывается, что квантование числа вращения представляет собойявление коразмерности бесконечность. Продолжая это исследование, А.