Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 5

М.В. Ломоносова, ДокладТеорема локальной нормализации косых произведений, сентябрь 2013• Институт Математики, Дижон, Доклад Ещё одна теорема о сходимостисферических средних для действий свободной группы, ноябрь 2015• Семинар по динамике, Лаборатория Дьёдонне, Университет Ниццы Со�фия-Антиполис, Доклад Линеаризация косых произведений по Стернбергу, фев�28раль 2016• Семинар по динамическим системам, Федеральный Университет UFF,Рио-де-Жанейро, Доклад Марковские цепи и сходимость сферических среднихдля действий свободной группы, май 2016• Семинар по динамическим системам, Католический Университет PUC,Рио-де-Жанейро, Доклад Теорема о нормализации Стернберга для косых про�изведений, май 2016• Семинар по топологии и динамическим системам, Университет Орсэ,Доклад Сферические средние для действий свободной группы, июнь 2016• Семинар по динамическим системам, Университет Авиньона, ДокладЦепи Маркова и сферические средние для действий свободной группы, июнь2016Список публикаций автора по теме диссертации.Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 4статей в рецензируемых журналах, 1 статья в сборниках трудов конференций.1.

Ilyashenko Yu. , Romaskevich O. Sternberg linearization theorem for skewproducts // Journal of Dynamical and Control systems, принято к публикации всборнике за июль 20162. Bowen L., Bufetov A., Romaskevich O. On convergence of spherical averagesfor Markov operators // Geometriae Dedicata. 2016. Vol. 181 (1). P. 293–306.3. Romaskevich O. On the incenters of triangular orbits on elliptic billiards//L’Enseignement Mathématique. 2014.

Vol. 60 (2). P. 247–255.4. Klimenko A., Romaskevich O. Asymptotic properties of Arnold tongues andJosephson effect // Moscow Mathematical Journal. 2014. Vol. 14:2. P. 367–384.5. Клепцын В., Ромаскевич О., Щуров И. Эффект Джозефсона и быстро�медленные системы // Наноструктуры. Математическая физика и моделирова�ние.2013.Vol.8:1.P.31–46.Личный вклад автора.Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, от�29ражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Подготовка кпубликации полученных результатов проводилась совместно с соавторами (Гла�вы 1,3,5), причем вклад диссертанта был определяющим. Результаты Глав 2 и4 были получены лично автором.Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и библиографии.Общий объём диссертации 182 страницы. Библиография включает 108 наиме�нований на 10 страницах.Содержание работы.Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор�мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту научные положения.В первой главе диссертации изучается динамика так называемого урав�нения Джозефсона (трехпараметрического семейства уравнений на торе с пара�метрами a,b, µ) и в особенности структура языков Арнольда для этого уравне�ния.

Эта структура объясняется в двух предельных режимах, b ! 1 и µ ! 0.В Разделе 1.1 этой главы даются основные определения, а также физиче�ская и математическая мотивировки для изучения данного уравнения.В Разделе 1.2 объясняются основные свойства уравнения Джозефсона -мёби�усовость соответствующего отображения Пуанкаре и симметрии уравнения. Изэтих двух свойств выводится динамическое описание границ языков Арнольда.В Разделе 1.3 формулируется и доказывается результат о приближенииязыков Арнольда для уравнения Джозефсона целочисленными бесселевымифункциями, когда параметр b ! 1.В Разделе 1.4 дается качественное описание языков Арнольда в случае,когда параметр µ достаточно мал.

Доказываются две теоремы о том, что внеко�торых областях пространства параметров языки Арнольда находятся на экспо�ненциально малом по µ расстоянии друг от друга при µ ! 0. Дается объясне�30ние поведения языков Арнольда на языке теории быстро-медленных систем и,наконец, предлагается алгоритм построения языков Арнольда при достаточномалых µ (вплоть до µ = 0.01).Результаты Раздела 1.1 опубликованы в совместной работе автора с Алек�сеем Клименко28 , результаты Раздела 1.2 опубликованы в совместной работеавтора с Ильей Щуровым и Виктором Клепцыным29 .Во второй главе изучается задача Лагранжа о среднем движении вра�щающейся цепи N отрезков.В Разделе 2.1 этой главы дается формулировка классической задачи Лагран�жа, когда вращающаяся цепь совершает движение на евклидовой плоскости.

Вэтом же разделе приводится новое доказательство классического результата овыражении асимптотической скорости системы при N = 3 как выпуклой ком�бинации угловых скоростей движения отрезков с коэффициентами, пропорцио�нальными углам треугольника, составленном из отрезков цепи.В Разделе 2.2 это доказательство обобщается на случай произвольной ори�ентированной полной римановой поверхности.

В частности, приводится реше�ние задачи Лагранжа для гиперболической и сферической геометрий.В третьей главе доказывается теорема о сходимости марковских сфери�ческих средних для действий свободной группы на пространстве с мерой.В Разделе 3.1 этой главы даются все необходимые определения и форму�лируется основная теорема о сходимости сферических средних, а также даетсяобзор литературы по данному сюжету.В Разделе 3.2 доказывается основное техническое утверждение статьи - аименно, исследуется хвостовая сигма-алгебра, соответствующая марковскомуоператору, определяющему марковскую цепь, кодирующую действие группы.Доказывается, что эта хвостовая сигма-алгебра тривиальна.

Это утверждениевлечет за собой сходимость сферических средних. Переход от утверждения раз�28Klimenko A., Romaskevich O. Asymptotic properties of Arnold tongues and Josephson effect, (2014)29Клепцын В., Ромаскевич О., Щуров И. Эффект Джозефсона и быстро-медленные системы (2013)31дела 3.2 к доказательству основной теоремы осуществляется в разделе 3.3 спомощью стандартных техник. Результаты третьей главы представляют собойсовместную работу с Александром Буфетовым и Льюисом Боуэном30 .В четвертой главе рассматривается геометрическое место точек центроввписанных окружностей, соответствующих треугольным орбитам эллиптиче�ского бильярда.

Доказывается, что это геометрическое место точек являетсяэллипсом.Раздел 4.1 является введением к главе, в нем дается формулировка теоре�мы.В Разделе 4.2 теорема доказывается с помощью методов комплексной алгебраической геометрии: в этом разделе соответственно определяется комплекс�ный закон отражения, и дальнейшая работа происходит с комплексификациямиисходных кривых.В Разделе 4.3 приведено планиметрическое доказательство того же резуль�тата, в данном случае, более громоздкое, чем доказательство с помощью ком�плексной техники.Результаты четвертой главы опубликованы в журнале L’Enseignementmathématique 31 .В пятой главе доказывается теорема о нормализации косых гёльдеровыхпроизведений.В Разделе 5.1 этой главы дается формулировка основной теоремы, а так�же дается мотивировка изучения класса именно гёльдеровских косых произ�ведений.

В этом разделе доказывается, что косое произведение над линейнымдиффеоморфизмом Аносова с одномерным слоем может быть линеаризованов окрестности гиперболической неподвижной точки посредством сопрягающегогомеоморфизма H. При этом линеаризация проводится послойно: H являетсятождественным преобразованием по базе.30Bowen L., Bufetov A., Romaskevich O. On convergence of spherical averages for Markov operators, (2016)31Romaskevich O. On the incenters of triangular orbits on elliptic billiards , (2014)32В Разделе 5.2 приведен план доказательства теоремы о нормализации: со�прягающий гомеоморфизм находится как неподвижная точка некоторого опе�ратора, сохраняющего некоторое замкнутое подпространство N в некоторомфункциональном пространстве M.

Этот оператор является композицией Lдвух операторов – оператора L решения гомологического уравнения и операто�ра сдвига.В Разделе 5.3 изучается оператор решения гомологического уравнения, идоказывается, что этот оператор сохраняет пространство гёльдеровых функ�ций с показателем ↵, где ↵ – минимум из показателя гельдеровости исходногоотображения и константы, характеризующей соотношение гиперболического ди�намики в слое и в базе.

Этот раздел является основным технически сложнымместом.В Разделе 5.4 изучается оператор сдвига и также доказывается, что онсохраняет замкнутое подпространство N . В Разделе 5.5 доказывается, что ком�позиция операторов Lявляется сжимающим оператором в M.В Раздел 5.6 вынесены технические леммы и доказательство основной тео�ремы в случае более высокой гладкости. Результаты пятой главы – результатработы с Ю.С. Ильяшенко32 .Заключение.Я хочу в первую очередь поблагодарить моих научных руководителей.Спасибо Юлию Сергеевичу за то, что он поделился со мной своим видениемматематики, за его умение объяснить и понять. Спасибо Вам за возможностьбыть частью нашего семинара.

Спасибо Этьену за всю чудесную математику,которой он меня научил и за дружескую поддержку в моменты сомнений. Яхочу также поблагодарить моих соавторов, Илью, Витю, Алёшу, АлександраИгоревича и Льюиса за счастье обсуждать и решать сложные задачи вместе.И спасибо моим друзьям, за всё.32Ilyashenko Yu. , Romaskevich O. Sternberg linearization theorem for skew products, (2016)Глава1ϏүҸҶүҼҺҲӁүһҴҪӉһҼҺҽҴҼҽҺҪӉұӅҴҸҬόҺҷҸҵӆҮҪҽҺҪҬҷүҷҲӉϐҰҸұүҾһҸҷҪДаннаяглаваорганизованаследующимобразом:мыначинаемсвведениявтеорию уравнения ҶҸҮүҵҲҺҽӈӃүҭҸ ҮҰҸұүҾһҸҷҸҬһҴҲҳ ҴҸҷҼҪҴҼ ҮҪҵүү Ҭ ӇҼҸҳҮҲһһүҺҼҪӀҲҲ ҶӅ ҷҪұӅҬҪүҶ үҭҸ ԸԵԥԧԲԪԲԭԪԱ ȯԫԳԬԪԹԶԳԲԥ.

Затем мы описываемдва основных режима, в которых мы будем изучать это уравнение. Первыйрежим (так называемый режим большой амплитуды) изучался нами всовместной статье [4] с Алексеем Клименко, содержание которой мы воспроиз�водим практически без изменений (помимо перевода на русский язык) в части1.3.ДляэтогорежиманамидоказанатеоремаоприближенииязыковАрнольдауравненияДжозефсонацелочисленнымифункциямиБесселя.Второй режим (так называемый режим малых частот) более сложен дляпонимания и содержит множество открытых вопросов. Мы описываем каче�ственное поведение языков Арнольда в этом режиме и даем алгоритм длявычисления границ языков Арнольда. Наши результаты используют теориюбыстро-медленных динамических систем. Эта часть диссертации основываетсянастатье[5]сВикторомКлепцынымиИльейЩуровым.1.1.Введение1.1.1.ОсновныеопределенияиконтекстОпишем более подробно, какая динамика нас интересует.

После введениявсех обозначений, в последующих двух разделах мы дадим математические ифизическиемотивировкиданнойработы.Насинтересуетследующеедифферен�dx cos x + a + b cos tциальноеуравнение:=,(1.1)dtµгде a, b, µ 2 R являются вещественными параметрами и µ > 0. Посколькуправая часть является 2⇡-периодической функцией по t и по x, это уравнениефакторизуется и дает систему уравнений на двухмерном торе R2 /2⇡Z2 с коор�динатами x и t:8@x><= cos x + a + b cos t,@⌧(1.2)@t>:= µ.@⌧Заметим, что здесь мы ввели новую координату ⌧ . Заметим, что соответ�ствующее уравнению (1.2) векторное поле может быть рассмотрено на цилиндреR2 /((x, t) ⇠ (x, t + 2⇡)). В обоих случаях определено отображение Пуанкаре странсверсали {t = 0 mod 2⇡} может быть определено и мы обозначим его Pa,b,µв случае тора, и Pea,b,µ в случае цилиндра. Итак, Pa,b,µ – гомеоморфизм окруж�ности, а Pea,b,µ – его поднятие на прямую R.Напомним читателю определение числа вращения ⇢a,b,µ отображения Pa,b,µ .Оно определяется как предел⇢a,b,µn(x)Pea,b,µ:= limn!12⇡nx.(1.3)Хорошо известно, что этот предел существует и не зависит от выбора на�чальной точки x 2 R (см., например, [6]).