Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 12

в [22, Proposition 4], точнуюоценку для C см. в [36, Лемма 5.4]. Мы предположили, что выполняется усло�вие �0 переходит в ⇡� и значит нижний конец J u попадает в 0. Следовательно,⌘⇣CD = [0, ⇠], где ⇠ = O exp µ .Нетрудно показать, что производная решения по параметрам a и b в об�ласти t 2 [0, ⇡] отделена от нуля (и на самом деле имеет порядок O(1/µ)).Следовательно, изменяя параметр a или b на величину порядка O(exp( C/µ)),можно перевести верхний конец отрезка D в 0.

При этом x0 (⇡) непрерывносдвигается от ⇡ до 2⇡, что соответствует увеличению числа вращения на 1, тоесть переходу на границу соседнего языка.Нетрудно показать, что производная решения по параметрам a и b в об�ласти t 2 [0, ⇡] отделена от нуля (и на самом деле имеет порядок O(1/µ)).Следовательно, изменяя параметр a или b на величину порядка O(exp( C/µ)),можно перевести верхний конец отрезка D в 0. При этом x0 (⇡) непрерывносдвигается от ⇡ до 2⇡, что соответствует увеличению числа вращения на 1, тоесть переходу на границу соседнего языка.Рис.

1.9. Для параметров (a, b) на границе языка и для отрезка J u можно построить его про�бобраз D под действием потока джозефсоновского векторного поля: это экспоненциональномаленький по µ отрезокАналогичное утвеождение может быть доказано также для области C, вкоторой языки Арнольда выкладываются в плотный ковер:Теорема 1.13.

Пусть C 0 � некоторое открытое ограниченное множество в про�странстве параметров (a, b), замыкание которого компактно вложено в областьC. Для достаточно малого µ расстояние между соседними языками в области⌘⇣C2для некоторых положительных констант C1 ,C 0 не превосходит C1 expµC2 .Доказательство. Основные соображения аналогичны тем, что использовалисьв доказательстве теоремы 1.12. Пусть параметры (a0 , b0 ) 2 B 0 лежат на границеязыка. Без ограничения общности, можно считать, что при этом выполняетсяусловие �0 переходит в ⇡� (другие условия рассматриваются аналогично).Рассмотрим трансверсальобразом, чтобы= {t = ↵}, где ↵ 2 [0, ⇡] выбрано такимпересекала медленную кривую в двух точках (была отделенаот точек складок).

Разобьемна два полуинтервала, один из которых (J s )пересекает устойчивую часть медленной кривой, а другой (J u ) � неустойчивую:6Рис. 1.10. Медленная кривая в области C имеет две компоненты – две окружности. В предпо�ложениях, которые мы делаем при доказательстве Теоремы 1.13 картинка будет выглядетьследующим образом. Окружность {t = ↵}разделена на две части: притягивающая часть J sи отталкивающая часть J u . Траектории всех точек трансверсали {t = 0}, за исключениемэкспоненциально малого интервала Du пройдут через сечение J s : поэтому траектории x0 (t)иx⇡ (t) будут близки друг к другу, после того как они находились долгое время очень близкорядом с притягивающей частью медленной кривой.

И поскольку x0 (⇡) = ⇡, малым измене�нием параметров можно добиться x⇡ (⇡) = ⇡ и таким образом, перейти на соседний язык.J s = {(x, t) | t = ↵, x 2 [0, ⇡)} ⇢ ,J u = {(x, t) | t = ↵, x 2 [⇡, 2⇡)} ⇢ .См. Рис. 1.10 в качестве иллюстрации.Обозначим также через Du образ полуинтервала J u под действием отобра�жения Пуанкаре с трансверсалина трансверсаль t = 0 в обратном времени,а через Ds � образ полуинтервала J s под действием отображения Пуанкаре странсверсалина трансверсаль t = ⇡ в прямом времени.

Отрезки Du и Dsэкспоненциально узкие по соображениям, обсуждавшимся выше (см. доказа�тельство теоремы 1.12).Рассмотрим траекторию x(t) (соотв., x⇡ (t)), проходящую через точку (0, 0)(соотв., (⇡, 0)). Возможны два случая:1. Точка 0 лежит в полуинтервале Du , а значит x0 (↵) 2 J u .2. Точка 0 не лежит в полуинтервале Du , а значит x0 (↵) 2 J s и x0 (⇡) =⇡ 2 Ds (мы предположили, что это выполняется условие �0 переходит в ⇡�).Предположим, что имеет место случай 2. Пусть ⇡ 62 Du и значит x⇡ (↵) 2J s и x⇡ (⇡) 2 Ds . В этом случае расстояние между ⇡ = x0 (⇡) и x⇡ (⇡) экспоненци�ально мало, и экспоненциально малым изменением параметров можно добитьсявыполнения условия �⇡ переходит в ⇡�. При этом число вращения увеличитсяили уменьшится на 1.Если ⇡ 2 Du , можно экспоненциально мало пошевелить один из парамет�ров a или b, чтобы это условие нарушилось.Случай 1 рассматривается аналогично, с заменой индексов u на s и наобо�рот.Замечание 2.

Из доказательства теоремы 1.13 следует, что любая точка, ле�жащая на границе языка, удовлетворяет одному из условий: {0, ⇡} \ Du 6= ?или {0, ⇡} \ Ds 6= ?. Эти условия задают два семейства экспоненциально узкихтрубок в пространстве параметров, внутри которых лежат границы языков.Эти трубки образуют сетчатую структуру, которую можно видеть в области Cв численных экспериментах, см. Рис. 1.7 и 1.6 в области C.При движении вдоль границы языка, соответствующая характеристиче�ская траектория проходит вблизи устойчивой или неустойчивой части медлен�ной кривой, в зависимости от того, какой из случаев 1 или 2 реализуется.

Этосоответствует движению �влево� или �вправо�. В тот момент, когда граница со�вершает �поворот�, траектория проводит сравнимое время вблизи устойчивойи неустойчивой части медленной кривой. Такие решения называются �уточны�ми� (см. [37]).Рис.

1.11. Области A, B и C описаны в разделе 1.4.1. Области B и C соответствуют непустоймедленной кривой: в этих областях возможно применение техники теории быстро-медленныхсистем, однако область A трудна для изучения и практически ничего не известно о языкахв этой области.i1.4.5. Моделирование границ и метод НьютонаУчитывая наличие физических приложений, актуальной является задачапостроения языков Арнольда для уравнения (1.2) с помощью численных ме�тодов. В общем случае, такая задача вычислительно сложна: для нахождениячисла вращения по формуле (1.3) требуется численно интегрировать уравне�ние (1.2) на длительных промежутках времени. Так, чтобы найти число вра�щения с точностью ±", требуется проинтегрировать уравнение на промежуткевремени порядка ("µ) 1 . Для построения языков Арнольда требуется находитьзначение числа вращения на достаточно густой сетке в пространстве парамет�ров.Однако, используя свойства уравнения (1.2), описанные в разделе 1.2, мож�но предложить гораздо более эффективный алгоритм построения языков.

Егоописанию будет посвящена оставшаяся часть настоящего раздела.Напомним, что границы языков Арнольда определяются условиями на об�7разы точек 0 и ⇡ под действием отображения Пуанкаре за половину периода(см. (1.42)). Рассмотрим условие �0 переходит в 0� (и значит k = 2l чётно);остальные условия рассматриваются аналогично.

Пусть x = x0 (t; a, b, µ) задаётфазовую кривую, проходящую через точку (0, 0)Зафиксируем некоторое µ и положимQ(a, b) = x0 (⇡; a, b, µ)(1.44)Нас интересует ⇡k-линия уровня функции Q(a, b):Lk := {(a, b) | Q(a, b) = ⇡k = 2⇡l}.Пусть граница Lk задаётся графиком функции a = a(b). При b = 0, уравне�ние (1.2) интегрируется в квадратурах, и значение a(0) можно получить явно:a(0) =p1 + l 2 µ2Пусть найдено значение a0 = a(b0 ) для некоторого b0 .

Возьмем некоторый ма�ленький шаг h и найдём приблизительно значение a(b0 + h). Это означает, чтонам нужно решить уравнениеQ(a, b0 + h)⇡k = 0(1.45)относительно a. В качестве нулевого приближения положим a = a0 . Рассмотримсистему8>>x0 = cos x + a + b cos t,><t0 = µ,>>>: u0 = u sin x + 1.(1.46)Третье уравнение является уравнением в вариациях по параметру, u =@x@a .Путём численного интегрирования системы (1.46), найдём Q0 = Q(a0 , b0 +h) и Q0 =@Q@a |a0 ,b0 +h .Заменяя Q как функцию от a на касательную в точке a0(то есть применяя один шаг метода Ньютона для нахождения корня уравне�ния (1.45)), находим в качестве первого приближения для a:8a1 = a 0(Q0⇡k)/Q0 .После нахождения a1 , делаем замену b0 + h 7! b0 , a1 7! a0 и повторяем процеду�ру.

Таким образом, можем найти a(b) для любых значений b на сетке с шагомh.Несмотря на то, что на каждом шаге по b мы делаем только один шагметода Ньютона, погрешность не накапливается: по индукции легко доказать,что на каждом шаге погрешность нулевого приближения составляет O(h), апогрешность первого приближения составляет O(h2 ), что в свою очередь гаран�тирует, что погрешность нулевого приближения на следующим шаге составляетO(h2 + h) = O(h) и т.д.Описанный алгоритм эффективно работает при µ порядка 1, однако прималых значениях µ (порядка 0.1) возникают проблемы со сходимостью методаНьютона.

Дело в том, что рассматриваемая траектория в этом случае проходитвблизи отталкивающей части медленной кривой M . При этом накапливаетсябольшая производная по начальному условию и параметрам, что приводит квычислительной неустойчивости метода.При нахождении в области B данная проблема решается путём рассмот�рения отображения Q1вместо Q (то есть интегрирования системы (1.46) вобратном времени). В этом случае рассматриваемая траектория будет прохо�дить вблизи притягивающей части медленной кривой и описанные проблемыне возникают.В то же время, в области C данный приём не срабатывает: при прохожде�нии границы вблизи точки перемычки соседнего языка рассматриваемая траек�тория является уточной, то есть в прямом и обратном времени проходит вблизиотталкивающей части медленной кривой.

Для решения этой проблемы исполь�зуется адаптивный алгоритм, совершающий несколько шагов метода Ньютона,и в случае отстуствия сходимости использующий более устойчивый (хотя и ме�нее эффективный) метод бисекции отрезка.С помощью описанного адаптивного алгоритма удаётся получать границыязыков Арнольда для малых значений параметра µ вплоть до µ = 0.01. Следу�ет отметить, что ранее в литературе были описаны алгоритмы, позволяющиеполучать языки Арнольда лишь для µ порядка 0.1 (см. [10, 25]).Глава2ϓҪҮҪӁҪϗҪҭҺҪҷҰҪҸҫҪһҲҶҹҼҸҼҲӁүһҴҸҳҽҭҵҸҬҸҳһҴҸҺҸһҼҲҬҺҪӃҪӈӃүҳһӉӀүҹҲВ данной Главе изучается классическая задача нахождения асимптотиче� скойугловой скорости движения, представленной как сумма круговых движе� ний.ЭтотвопросбылвпервыепоставленЖозеф-ЛуиЛагранжемввосемнадца�томвекевконтекстеизучениявопросовнебесноймеханики.Лагранжаинтересо�валвопрос изучения асимптотического поведения конца системы зацепленныхотрезков,каждыйизкоторыхвращаетсявокругконцапредыдущегоспостоян�нойскоростью.В этой Главе мы даем решение задачи Лагранжа для случая, когда си�стема зацепленных отрезков вращается на произвольной геодезически полнойориентированнойримановойповерхности.Глава организована следующим образом: в Разделе 2.1 мы даем классиче�скую постановку задачи в случае движения на евклидовой плоскости.