Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 14

. . + lk 1 ei✓k1+ lk+1 ei✓k+1 + . . . + lN ei✓N | > |lk | .2.1.4. Новое доказательство в случае N = 3Этот параграф посвящен доказательству Теоремы 2.Во первых, заметим, что для того, чтобы получить результат Теоремы 2,достаточно предположить, что первый отрезок неподвижен !1 = 0. Это следуетиз следующего Предложения.Предложение 1. Предположим, что предельная асимптотическая скорость! существует для динамики вращающейся цепи (l1 , l2 , l3 ) и соответствующе�го векторного поля(!2!1 )@+ (!3@✓2!1 )@@✓3(2.7)Тогда предельная асимптотическая скорость существует также для враща�ющейся цепи того же типа и векторного поля!1@@@+ !2+ !3@✓1@✓2@✓3(2.8)и она равна сумме !1 + !.Доказательство.

Доказательство практически очевидно: две описанные си�стемы с угловыми скоростями (!1 , !2 , !3 ) и (0, !2!1 , !3!1 ) соответственносвязаны вращением. Действительно, позиция первой системы в момент времениt – это просто образ позиции второй системы в момент времени t, к которомуприменено вращение на угол !1 t вокруг начала координат, точки 0. ⇤Далее мы предполагаем, что !1 = 0 и мы будем думать об отображениикак об отображении двумерного тора T2 с координатами (✓2 , ✓3 ) в C. Такжебудем думать о потоке 't как о линейном потоке на, опять же, двумерном торе,соответствующем векторному полюX = !2@@+ !3.@✓2@✓3Определение 2. Для любой аналитической кривойопределим отображениеаргумента f = arg : C ! R как многозначное отображение, определяющееаргумент arg (t) точки на этой кривой.

Каждый раз, когда мы используемэто обозначение, мы предполагаем, что мы берем непрерывно определенныйаргумент (который можно определить даже в случае прохождениячерез0, см. Параграф 2.1.2).Тогда предельная асимптотическая скорость (2.3), которая нас интересует,может быть представлена временным средним1limT !1 Tгде (t) =ZTdf(t)0('t (✓2 ,0 ✓30 )) для некоторой исходной позиции (✓20 , ✓30 ) вращающейсяцепи.Итак, для каждой траектории z(t) (соотв. начальному положению) вра�щающейся цепи на комплексной плоскости мы определили 1-форму(z) =d arg (z). Рассматривать временное среднее этой формы эквивалентно изуче�нию предела (2.3).

Мы будем называть эту 1-форму лагранжевой формой.Заметим, что поток 't – эргодический (и даже строго эргодический), по�скольку 't – поток линейного векторного поля X с рационально независимымикоэффициентами !j , по предположению.Заметим теперь, что формаражениеможет иметь сингулярности, поскольку отоб�отправляет некоторые точки на торе T2 в 0 2 C2 . Действительно,имеются две точки на торе A, B 2 T2 , соответствующие значениям ✓2 и ✓3 , прикоторых вращающаяся цепь замыкается в треугольник, см.

Рис. 2.2.Сформулируем сначала предложение, которое будет полезно для нас в ра�боте с несингулярной частью формы .Рис. 2.2. Две позиции вращающейся цепи, дающие сингулярности формы : цепь формируетодин из треугольников A или BПредложение 2.

Рассмотрим пространство с мерой (M, µ) и поток 't :M ! M строго эргодический поток векторного поля X на этом простран�стве, здесь мера µ – единственная инвариантная мера для такого действия.a. Тогда, для каждой точки x 2 M и любой непрерывной функции f 2C(M, µ) существует предел временных средних1limT !1 TZTf't (x)dt0и этот предел• не зависит от точки x 2 M• всюду совпадает с пространственным среднимRMf dµ функции f .b. Если заменить функцию f функцией f¯ = f + X(g), где g 2 L1 (M, R), товременные средние функций f и f¯ будут совпадать.c. Для любой замкнутой 1-формы на M определим функцию f := (X).RТогда её пространственное среднее M f dµ корректно определено на классе9когомологий ,иначеговоря,ононеизменяетсяпризамене на ¯ = +dg,гдеg2C 1 (M,R).d.

Для случая, когда M = TN и X есть линейное векторное поле (2.2), тоRдля любой гладкой 1-формы выполнено M (X) = [ ][!1 , . . . , !N ]. Заметим,что [ ] имеет предствителяregR:2 [ ] с постоянными коэффициентамиreg=NXj2j d✓jj=1Доказательство. a. Существование предела и его независимость от начальнойточки x 2 M следует из эргодической теоремы.b. Рассмотрим вместо f функцию f¯. В этом случае, разница искомых пре�делов для f и для f¯ равно (после применения формулы Ньютона-Лейбница)1limT !1 TZT0g('T (x))X(g) ' (x)dt = limT !1Ttg(x)= 0,(2.9)поскольку g ограничена.c.

Утверждение этого пункта следует из утверждения пункта b. Для дока�зательства того, что добавление dg не меняет значения пространственного ин�теграла, мы заменяем этот пространственный интеграл на временное среднее(используя эргодическую теорему), и затем применяем рассуждение, описанноев цепочке равенств (2.9).d. Первое утверждение этого пункта – это просто применение утвержденияPпункта c. к частному случаю, M = Tn , X = j !j @✓@ j . Тот факт, что каждаяформа имеет своего представителя с постоянными коэффициентами следует изтого факта, что H 1 (TN , Z) ⇠= ZN . В заключение заметим, что чтобы найти ин�Rтеграл TN (X) для гладкой формы , нам достаточно найти ее представителяв группе когомологий с постоянными коэффициентами.

⇤Форма , измеряющая изменение аргумента системы не является гладкой,как было замечено ранее. Однако её сингулярную часть можно явно описать.Рис. 2.3. Многозначная функция f (z) = arg zzABкорректно определена и имеет непрерывноепродолжение вне достаточно большого шара, содержащего точки A и B : f (z) это угол междудвумя лучами, соединяющими точку z с точками A и B соответственноОпределение 3. Фиксируем две различных точки A, B 2 C.

Рассмотримследующую многозначную функцию f на комплексной плоскости C: f (z) =arg zzAB.Эта многозачная функция не может быть непрерывно определенана всей плоскости, однако она корректно определена вне достаточно большогошара B(R), (R–радиус шара), содержащего точки A и B, см. Рис. 2.3. Далее,выбрем функцию f¯ : C ! R так, что f¯ = f в C \ B(R) и f¯ 2 C 1 . Тогдаразность g = ff¯ есть многозначная функция такая, что g = 0 в C \ B(R)и её дифференциал dg определяет сингулярную 1-форму, которую мы будемназывать биполярной формой.Предложение 3. Для каждой тройки положительых вещественных чиселlj , j = 1, 2, 3, удовлетворяющей всем неравенствам треугольника, лагранжева1-форма , ассоциированная с этой тройкой (на фиксированном пути движе�ния цепи) может быть представлена (по модулю эквивалентности в классекогомологий) как сумма регулярной (несингулярной) части и биполярной фор�мы.

Иначе говоря, существует гладкая формаreg2 H 1 (T2 , Z) и системакоординат на торе T2 такие, что=reg+sing ,гдеесть биполярнаяsingформа с сингулярностями в точках A и B, соответствующих ситуациям,когда цепь проходит через 0, см. Рис. 2.2.Доказательство. Это утверждение следует из элементарной теории де Рама.Действительно, разница между исходной формой и соответствующей биполяр�ной формойsingесть гладкая форма на торе.

Поэтому существует ее предста�виель в семействе форм с постоянными коэффициентами. ⇤Следуя Предложению 2 нам следует посчитать значениежевой формыRT2(X) лагран�на векторном поле X = !2 @✓@ 2 + !3 @✓@ 3 . Это сумма значенийрегуярной и биполярной частей. Для регулярной части, это значение мы под�считаем как интеграл по тору.Для биполярной части этот пространственный интегрално (из эргодичности) заметить на временное среднее. ФормаRT2sing (X)sing (X)мож�имеет син�гулярности в двух точках, поэтому ее значение на векторном поле есть потоквекторного поля X через путь, соединяющий точки A, B 2 T2 . Заметим, чтопуть может быть произвольной непрерывной кривой, однако, когда этот путьвыбран, он определяет регулярную частьreg .Выберем координаты на двумерном торе T2 следующим образом. Коор�динаты (✓2 , ✓3 ) определяют вращающуюся цепь из трех звеньев с неподвиж�ным первым звеном: второй и третий вектор образуют углы ✓2 (соответственно✓3 ) с положительным направлением горизонтальной оси (углы отсчитывают�ся против часовой стрелки).

В этих координатах точки тора, соответствующиевырожденным положениям вращающейся цепи суть A = ( ⇡ + ↵3 , ⇡B = (⇡↵2 ) и↵3 , ⇡ + ↵2 ). Выберем путь , соединяющий точки A и B и показанныйна Рис. 2.4. Этот путь соответствует переходу от одной сингулярности формык другой посредством последовательного вращения второго звена, а затемтретьего звена цепи. Нам требуется теперь подсчитать поток векторного поляX = [!2 , !3 ] через этот путь. На первом участке, когда угол ✓2 изменяется иРис.

2.4. Специально выбранный путь от точки A до точки B, соответствующих сингулярно�стям формы : поток векторного поля X по этому пути равен значению биполярной частиформы на векторном поле. Также зелёным здесь изображены (соответственно горизонталь�ный и вертикальный) пути, соответствующие образующим группы когомологий, соответству�ющие периодам регулярной части формы .✓3 = ⇡↵2 остается постоянным, поток зависит только от вертикальной ком�поненты векторного поля, равной !3 . Также, траектории трансверсальны путии пересекают его слева направо, поэтому поток будет подсчитан со знаком.2⇡ 2↵32⇡ !3 ,Таким образом, поток по этой части пути равенпоскольку поток по�стоянного векторного поля X эргодичен, и поток через отрезок пропорционалендлине отрезка.

Аналогичным образом подсчитывается поток через вертикаль�ную часть пути , он равен2↵22⇡ !3 .Посмотрим теперь на регулярную часть2 d✓2+3 d✓3где2,32 Z. Числа2,3regлагранжевой 1-формы :reg=являются периодами формы. Чтобыих узнать, мы проинтегрируем форму по путям на торе T2 , соответствующимпервой и второй образующей в когомологиях H 1 (T2 , Z).Важным здесь является тот факт, что эти пути не должны пересекать вы�бранный нами путь , соединяющий сингулярности.