Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 11

Фиксируем любые положительные константы L0 , L1 , L2 , L3 .Тогда существуют положительные константы C10 , C20 , K10 , K20 , K30 , зависящие отL0,1,2,3 , для которых верно следующее.Рассмотрим любую функцию g с нулевым средним, удовлетворяющую усло�виям 1–3 теоремы 1.9 и условию g(t) = g( t). Пусть a0,k (b, µ) и a⇡,k (b, µ) � гра�ницы k-го языка Арнольда уравнения (1.11) с данной g и f (x) = cos x. Тогда,если параметры b, µ и число k 2 Z удовлетворяют неравенствам|kµ| + 1  C10pbµ,bC20 µ,6то выполнены следующие оценки:◆✓✓a0,k (b)1˜1bk + JkK10 +µµµb◆✓✓1˜1ba⇡,k (b)kJkK10 +µµµbгде2⇡Z1J˜k ( z) =cos(kt + zG(t)) dt,2⇡✓ ◆◆bK200,+Kln3µ3µ✓ ◆◆bK200,+Kln3µ3µZtG(t) = g(⌧ ) d⌧.00Функция J˜k происходит из интегральных представлений (1.20) (1.21), ко�торые теперь имеют видx(t)x(2⇡)Rtat + bG(t) + 0 cos x(⌧ ) d⌧,x(0) =µ2⇡R⌧◆✓Za⌧ + bG(⌧ ) + 0 cos x(s) ds2⇡a 1++ x(0) d⌧cosx(0) =µµµ0(обратим внимание, что G(2⇡) = 0 из (1.12)). Функция J˜k также имеет асимп�тотическое представление, аналогичное представлению Jk :◆✓X⇡10pJ˜k ( z) ⇠cos zG(tj ) + ktj + sgn(g (tj ))0 (t )|42⇡z|gjjas z ! +1, (1.37)где сумма берётся по всем нулям tj функции g на окружности.Напомним, что эти нули простые (и поэтому знаменатели в (1.37) ненуле�вые) из условия трансверсальности 3 теорем 1.9 и 1.10.1.4.

Второй режим: малая внешняя частота сигналаМы уже привыкли к уравнению (1.2): теперь рассмотрим его при малыхµ. Совершенно дивный новый мир откроется нам: мир быстро-медленных си�стем, и техника изучения уравнения в этом мире отличается от техники Части1.3. Эта часть основывается на совместной статье автора с В.Клепцыным иИ.Шуровым, [5].1.4.1. Зональное поведение языковС помощью алгоритма, описанного в разделе 1.4.5 , были получены диа�граммы зон резонансного захвата для различных значений параметра µ (см.Рис.1.6 и Рис. 1.7). На них видно, что с уменьшением µ языки уменьшаютсяпо ширине и приближаются друг к другу; при этом в фиксированной (не за�висящей от µ) окрестности нуля становятся явно выраженными три области впространстве параметров с различным поведением языков:• Область A: b < a• Область B: a1.

Языки тонкие.1 < b < a + 1. Языки заполняют практически всё про�странство параметров, перемычки отсутствуют.• Область C: b > a + 1. Языки образуют сетчатую (паркетную) структуру,заполняя почти всё пространство параметров, наблюдаются перемычки.При больших b границы языков перестают приближаться друг к другу, ужене образуют явно выраженной сетчатой структуры и начинают приближать�ся функциями Бесселя (см. раздел 1.3).

Область C, таким образом, постепенно�растворяется�: интересный открытый вопрос � при каких значениях b (в зави�симости от µ) это происходит:теоремы раздела 1.3 дают оценку снизу на областьбесселевости.Цель этой части диссертации – сформулировать математически некоторыеиз данных выше описаний и доказать их, а также объяснить алгоритм построе�ния границ языков, который позволил нам нарисовать картинки Рис. 1.6 и Рис.1.7.1.4.2.

Быстро-медленные системы: напоминаниеСтруктуру языков в областях A, B, C можно объяснить с точки зрениятеории быстро-медленных систем. Напомним основные понятия.Рис. 1.6. Линиями изображены границы зон резонансного захвата с номерами k = 0, . . . 10,µ = 0.2Рис. 1.7. Здесь µ = 0.1 и по сравнению с µ = 0.2 языков на том же промежутке по a становитсябольше: k = 0, .

. . 20, промежутки между языками уже неразличимы на глазОпределение 3. Рассмотримсемействодифференциальныхуравнений8< ẋ = f (x, y, "): ẏ = "g(x, y, ")(1.38)где " 2 R>0 , переменные x и y могут быть многомерными. Такое семействоназывается быстро-медленной системой. Переменная x называется быстрой,а переменная y � медленной.В типичной точке фазового пространства при малых " скорость измене�ния переменной x много больше, чем скорость изменения переменной y.

Этообъясняет терминологию. При " = 0, система (1.38) превращается в семействоуравнений на x: переменная y становится параметром. Такая система называ�ется быстрой.Определение 4. Множество неподвижных точекM = {(x, y) | f (x, y, 0) = 0}быстрой системы называется медленной поверхностью или, в двумерном слу�чае, медленной кривой.Типичная траектория типичной быстро-медленной системы с одномернойбыстрой и одномерной медленной переменной допускает следующее описание [35]:это чередующиеся фазы медленного (со скоростью порядка O(")) дрейфа вбли�зи медленной кривой и быстрых �срывов� (скорость порядка O(1)) вдоль траек�торий y = const быстрой системы. Срывы происходят вблизи точек, в которыхкасательная к медленной кривой параллельна оси быстрого движения (точекскладок).Нетрудно видеть, что семейство уравнений (1.13) можно рассматриватькак быстро-медленную систему, положив " = µ, g ⌘ 1.

Фактически, исследо�вание уравнения (1.13) с точки зрения теории быстро-медленных систем былоначато в работе [22].Рис. 1.8. Мультфильм об изменении медленной кривой при фиксированном a и увеличенииb: медленная кривая появляется при b = a1, растет и при b = a + 1 начинает пересекатьсаму себя: далее она распадается на две окружности, которые при увеличении b стремятсяк меридианам тора1.4.3.

Медленная кривая для уравнения ДжозефсонаМедленная кривая для уравнения (1.2) есть подмножество M тора, описы�ваемое уравнениемM = {(x, t) | cos x + a + b cos t = 0}(1.39)Несложным вычислением доказывается следующее утверждение о формемедленной кривой в зависимости от значений параметровПредложение 1.11. В области A медленная кривая системы (1.2) отсутствует;в области B она имеет вид стягиваемой выпуклой кривой; имеющей ровно дветочки складки, в области C она распадается на пару нестягиваемых кривых сгомотопическим типом (1, 0), каждая из которых имеет две точки складки.Небольшой мультфильм в стоп-моушн показывает, как медленная криваяменяется при изменении параметров: Рис. 1.8.1.4.4. Описание поведения языковТеорема 1.12.

Пусть B 0 � некоторое открытое ограниченное множество в про�странстве параметров (a, b), замыкание которого компактно вложено в областьB. Для достаточно малого µ, расстояние между соседними языками в областиB не превосходит C1 exp0C2 .⇣C2µ⌘длянекоторыхположительныхконстантC1 ,Доказательство. Из рассуждений раздела 1.2.2 мы знаем, что границы язы�ков Арнольда задаются слеующим условием: траектория с начальным условием(x0 , 0) должна пройти через точку (x0 , 2⇡) на торе с координатами (x, t), гдеx0 = 0 или x0 = ⇡. Для универсальной накрывающей окружности S1 с коорди�натой x эти условия переписываются какx̃0 (2⇡) = 2⇡k(1.40)x̃⇡ (2⇡) = ⇡ + 2⇡k,(1.41)где k 2 Z номер языка Арнольда и x̃0 (t) (x̃⇡ (t) – фазовая кривая уравнения(1.2)с начальным условием x̃0 (0) = 0 (x̃⇡ (0) = ⇡ соотв.),поднятая на универ�сальную накрывающую.Из соображений симметрии (1.9) следует, что если отображение Пуанкареза полный период (2⇡) сдвигает некоторую точку на 2⇡k для целого k, то отоб�ражение Пуанкаре за половину периода будет сдвигать эту же точку на вдвоеменьшую величину ⇡k.

Следовательно, условия (1.40) могут быть записаны ввидеx̃0 (⇡) = ⇡k(1.42)x̃⇡ (⇡) = ⇡ + ⇡k,(1.43)Этоозначает,чтограницыязыковописываютсяоднимизэтихусловий:Нулеваяграница.0переходитв0или⇡помодулю2⇡заполовинупериода.Пи-граница⇡переходитв⇡или0помодулю2⇡заполовинупериодҪОтвет0или⇡соответствуетчетностиk2Z.Заметим, что когда при непрерывном изменении параметров a и b значе�ние x0 (⇡) (соотв., x⇡ (⇡)) непрерывно меняется от 0 до ⇡ (соотв., от ⇡ до 2⇡ = 0(mod 2)⇡), сдвиг за половину периода увеличивается на половину оборота, азначит за полный период � на полный оборот, то есть число вращения увели�чивается на 1. Это соответствует переходу к соседнему языку.Пусть параметры (a0 , b0 ) 2 B 0 лежат на границе языка.

Без ограниченияобщности, можно считать, что при этом выполняется условие �0 переходит в⇡� (другие условия рассматриваются аналогично).Рассмотрим дугу J u = [(⇡, ⇡), (2⇡, ⇡)] ⇢ {t = ⇡}, содержащую точкуx=3⇡2 ,см. Рис. 1.9. Она пересекает отталкивающую часть медленной кривой.Обратим время: отталкивающая часть станет притягивающий. Образ D дугиJ u под действием отображения Пуанкаре с трансверсали t = ⇡ на трансверсаль⌘⇣{t = 0} в обратном времени имеет длину O exp µC для некоторого C > 0. Этоследует из того факта, что при движении вблизи устойчивой части медленнойкривой траектории быстро-медленной системы экспоненциально притягивают�ся друг к другу, подробное доказательство см.