Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 9

Это влечёт заменувнешнего интеграла в (1.21) на величину следующего порядка. Таким образом,2⇡a 1+2⇡k ⇡µµ2⇡Z0◆✓bcos k⌧ + sin ⌧ + x(0) d⌧.µИнтеграл в правой части может быть выражен через Jk (z) при помощи (1.18),следовательно, мы получаемk⇡a 1± Jk ( b/µ),µ µгде знак “+” соответствует x(0) = 0, а знак “ ” соответствует x(0) = ⇡.Оставшаяся часть работы устроена следующим образом. В следующем раз�R⌧деле мы получаем несколько оценок интеграла 0 cos x(s) ds и связанных с нимвеличин. В разделе 1.3.4 мы выводим теоремы 1.2 и 1.3 из этих оценок. Наконец,в разделе 1.3.5 обсуждаются некоторые частные обобщения этих результатовдля уравнений типа (1.11).1.3.3.

Оценки интеграловДля результатов, получаемых в следующем разделе, нам потребуются оцен�ки интегральных выражений, содержащихся в (1.20) и (1.18). К счастью, этиоценки могут быть получены одновременно. В самом деле, рассмотрим уравне�ниеdx=dtcos x + a + b cos t.µ(1.22)4Если= 1, мы получаем стандартное уравнение Джозефсона (1.10), тогдакак при= 0 мы получаем интегрируемое дифференциальное уравнение срешениямиx(t) = x(0) +at + b sin t.µЗначит, если x̂(t) является решением, соответствующим= 0 с начальнымR 2⇡условием x̂(0) = 0, то 0 cos x̂(⌧ ) d⌧ совпадает с интервалом в (1.18) для k = µaиz=bµ.Везде ниже мы считаем, что| |  1.Основным инструментом наших доказательств является следующая лемма1.4. Неформально говоря, она утверждает, что если x(t) движется с примернопостоянной скоростью, то среднее по времени граничной функциии её про�странственное среднее вдоль одной и той же дуги траектории близки друг кдругу.Лемма 1.4.

Предположим, что ẋ(t) имеет постоянный знак при t 2 [t0 , t1 ].Обозначим|ẋ|min = min |ẋ(t)|,t2[t0 ,t1 ]|ẋ|max = max |ẋ(t)|,t2[t0 ,t1 ]osc (ẋ) = |ẋ|max[t0 ,t1 ]Тогда для любой ограниченной интегрируемой функции|ẋ|min .на окружности име�ем1t1t0Zt1t0(x(t)) dt1x1x0xZ1x0(x) dx osc[t0 ,t1 ] (ẋ)· k kC 0 ,|ẋ|minгде x0 = x(t0 ), x1 = x(t1 ), k kC 0 = supx2R/2⇡Z | (x)|.(1.23)4355Доказательство.

Действительно,1t1t0Zt1(x(t)) dtt01x1x0xZ1(x) dx =x0=1x1x0xZ1 x0x1t1x0 dt·t0 dx1(x) dx .Остаётся показать, что абсолютная величина выражения в квадратных скоб�ках не превосходит osc[t0 ,t1 ] (ẋ)/|ẋ|min . Допустим, функция ẋ(t) положительнана [t0 , t1 ]. Тогда (x1t0 ) и dx/dt принадлежат отрезку [|ẋ|min , |ẋ|max ],x0 )/(t1откуда|ẋ|min|ẋ|max1x1t1x0 dt·t0 dxи, наконец, мы получаем, чтоx1t1x0 dt·t0 dx1 1|ẋ|max|ẋ|min1,osc[t0 ,t1 ] (ẋ),|ẋ|minтаким образом, неравенство (1.23) доказано. Случай отрицательного ẋ(t) рас�сматривается аналогично.Рассмотрим решение x(t) уравнения (1.22) на некотором отрезке [0, t⇤ ].Рассмотрим все точки 0 = t0 < t1 < · · · < tk  t⇤ , для которых x(tk ) ⌘ x(0)(mod 2⇡), и разделим отрезок [0, t⇤ ] этими точками на отрезки Ii = [ti 1 , ti ],i = 1, .

. . , k и отрезок I ⇤ = [tk , t⇤ ].Как было показано выше, отрезки с “малыми” и “не столь малыми” значе�ниями |ẋ| рассматриваются отдельно. Рассмотрим множествоM = {⌧ 2 [0, t] : |cos ⌧ | < },гдебудет выбрано позже.Далее будем предполагать, чтоbA := |a| + 1 ,CarµCb,b(1.24a)(1.24b) 1,(1.24c)где положительные константы Ca и Cb достаточно велики.Таким образом, отрезки Ii и I ⇤ разбиваются на следующие классы:отрезки типа 1: отрезки, полностью покрытые M ;отрезки типа 2: отрезки Ii , частично покрытые M , а также I ⇤ в случае, еслион не покрывается полностью множеством M ;отрезки типа 3: отрезки Ii , не пересекающие M .Обратим внимание, что существует не более пяти отрезков типа 2, так как лю�бой из них либо есть I ⇤ , либо содержит одну из четырёх точек ⌧ с |cos ⌧ | =строго внутри.

Обозначим через I1 , I2 , и I3 объединения отрезков соответству�ющих типов.Начнём с оценки длин отрезков типов 2 и 3.Замечание 1. В последующем изложении мы используем обозначение u(s) =O(v(s)) в следующем точном смысле: существует такая константа C, что |u(s)| Cv(s) (здесь v(s) всегда положительно), и предполагается, что эта константа независит от параметров a, b, µ, от значений , Ca , Cb (тем не менее, мы предпо�лагаем, что выполнены неравенства (1.24)) и от прочих переменных. Нестрогоговоря, можно фиксировать некоторые явные достаточно больше значения Caи Cb (скажем, миллион) и далее заменить все O( · ) в тексте ниже на явныечисленные оценки.

Мы предпочитаем не делать таких непредусмотрительныхзамен, чтобы не терять зависимость между константами в различных оценках.Предложение 1.5. Если константы Ca и Cb в неравенствах (1.24) достаточновелики, верно следующее.5Пусть I � любой отрезок типа 2 или 3. Пусть t̂ � любая точка в I \ M .Тогда длина |I| этого отрезка удовлетворяет следующей оценке:◆✓µ.|I| = Ob cos t̂Доказательство. Доказательство в случае отрезка типа 3 тривиально: x(t) пре�одолевает расстояние, не превосходящее 2⇡, с ограниченной снизу скоростью,поэтому время перемещения ограничено сверху. Однако в случае отрезка ти�па 2 нам потребуется в некотором смысле самоподстраивающийся аргумент:нижняя оценка скорости выполнена только в начальный момент времени t̂, исо временем эта оценка ухудшается; тем не менее, она уменьшается настолькомедленно, что мы не можем преодолеть расстояние 2⇡ за столь долгое время,чтобы оценка скорости была полностью нарушена.Перейдём к формальному доказательству.

Обозначим I = [t , t+ ], L =|I| = t+t . Из неравенства |x(t+ )следует, чтоx(t )|  2⇡ и теоремы о среднем значении|I| · min|ẋ|  |x(ti )(1.25)x(ti 1 )|  2⇡.IДля любого ⌧ 2 I имеем ⌧ = t̂ + s для некоторого s, такого что |s|  L. Значит,|ẋ(t̂ + s)|b cos(t̂ + s)cos x + aµµb |cos t̂| |cos(t̂ + s)µcos t̂|Aµb|cos t̂|Aµb·Lтак как косинус является липшицевой функцией с константой 1. Теперь из (1.25)следуетL·b|cos t̂|Aµb·L 2⇡.˜ МыТот же аргумент работает для любого отрезка I˜ ⇢ I, такого что t̂ 2 I.можем выбрать отрезок I˜ любой длины от нуля до L, откудаby 2(b|cos t̂|A)y + 2⇡µ0 для любого y 2 [0, L].Поскольку |cos t̂| > , можно заметить, что если Ca2 и Cb32⇡, то из(1.24a) и (1.24b) следует, что этот квадратичный многочлен имеет два различ�ных положительных вещественных корня.

Поэтому L не превосходит меньшийиз его корней:Lb|cos t̂|Aq(b|cos t̂|2b=b|cos t̂|A+qA)28⇡bµ4⇡µ(b|cos t̂|A)28⇡bµПоследнее неравенство здесь использует (1.24a) с Ca4⇡µ8⇡µ.b|cos t̂| Ab|cos t̂|2. Предложение доказа�но.Это влечёт оценку меры Лебега объединения I1 [ I2 , которую мы обозна�чим символом mes( · ).Предложение 1.6. Если константы Ca и Cb в неравенствах (1.24) достаточновелики, то✓µ+mes(I1 [ I2 ) = Ob◆.Доказательство. Множество I2 состоит из не более чем пяти отрезков, длинакаждого из которых ограничена по предложению 1.5 (выберем t̂, для которого|cos t̂| = ):mes I2 = 5 · O(µ/b ).Множество I1 лежит в M , откудаmes I1  mes M  4 arcsin  4 ·⇡= O( ).⇤2Теперь оценим интеграл по любому отрезку Ik типа 3.Предложение1.7.ЕсликонстантыCa иCb внеравенствах(1.24)достаточновелики,тодлялюбойограниченнойфункцииh : R/2⇡Z!Rснулевымсредним2⇡Zh(⇠) d⇠ = 0,0и для любого отрезка Ij типа 3 имеемZIjZ ✓h(x(⌧ )) d⌧  khkC 0 OIj1b|cos t̂|◆✓µ+Ob cos2 t̂◆dt̂.Доказательство.

Из леммы 1.4 следует, что1|Ij |Zh(x(⌧ )) d⌧  khkC 0 ·IjЗдесь мы используем, что x(tj )oscIj (ẋ).minIj |ẋ|x(tj 1 ) = ±2⇡, откуда(1.26)Rx(tj )x(tj1)h(x) dx = 0.Чтобы ограничить выражения в правой части неравенства (1.26), возьмёмлюбое t̂ 2 Ij . Из предложения 1.5 и липшицевости косинуса следует, что◆✓µoscIj (cos t)  |Ij |  O.b|cos t̂|Далее✓◆112oscIj (ẋ(t))  oscIj cos x(t) + b oscIj (cos t)  + O,µµ|cos t̂|11minIj |b cos t| Ab|cos t̂| oscIj (b cos t) AminIj |ẋ(t)|µµ◆◆✓✓1µ=A .(1.27)b|cos t̂| Oµ|cos t̂|Для достаточно больих Ca и Cb неравенства (1.24a) и (1.24b) делают второй итретий члены правой части неравенства (1.27) меньшими, чем b|cos t̂|/3, откудаmin|ẋ(t)|Ijb|cos t̂|.3µСледовательно,1|Ij |ZIj✓◆1µ+h(x(⌧ )) d⌧  khkC 0 · O,b|cos t̂| b cos2 t̂и остаётся интегрировать последнее неравенство по t̂ 2 Ij .1.3.4.

Доказательства теоремДоказательство теоремы 1.2. Обратим внимание, что если отображение окруж�ности равномерно 2⇡"-близко к жёсткому повороту на угол 2⇡a/µ, то его числовращения "-близко к a/µ. Для любого решения x(t) уравнения (1.10) имеемx(2⇡) x(0)2⇡1a=µ2⇡µ2⇡Zcos x(t) dt ,0откуда первое неравенство в (1.15) следует из следующего предложения. Второеpнеравенство в (1.15) использует простую оценку ln z < 2 z.Предложение 1.8. Существуют положительные константы C1 , C2 , K1 , K2 , длякоторых верно следующее.Если параметры a, b, µ удовлетворяют (1.14), то для любого t⇤ 2 [0, 2⇡] идля любого решения x(t) уравнения (1.10) имеемZt⇤0cos x(t) dt  K1r✓ ◆µ K2b+ln.bbµ(1.28)Доказательство.