Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 4

Доказана теорема о сходимости марковских сферических средних длядействий конечно-порожденной свободной группы для открытого множества впространстве стохастических матриц, задающих марковскую цепь.5. Доказано, что центры окружностей, вписанных в треугольные орбитыэллиптического бильярда, лежат на эллипсе.6.Доказана теорема о нормализации Стернберга косых произведений с со�хранением структуры косого произведения при нормализации, при этом пока�зано, что сопрягающее отображение гладко по слою и гёльдерово по базе. Пока�затель гёльдера явно выражен через динамические характеристики исходногоотображения.Теоретическая и практическая значимость.Работа носит теоретический характер.

Полученные в Главе 1 результатыo поведении языков Арнольда для уравнения Джозефсона могут быть полезныдля дальнейшего изучения этого уравнения (и уже применялись в несколькихработах).Численные методы построения языков Арнольда для джозефсоновскогосемейства (1), представленные во второй части Главы 1, также могут быть при�менимы и для других семейств отображений.Результаты Главы 2 могут быть применимы в дальнейшем изучении задачиЛагранжа на поверхностях с кривизной.В Главе 3 разрабатываются методы работы с несамосопряженными марков�скими операторами в контексте сходимости сферических средних – эти методымогут быть полезны при работе с действиями различных конечно-порожденныхгрупп, отличных от свободной группы.Главе 4 разрабатываются комплексные методы работы с бильярдами, втом числе комплексный закон отражения.

Они могут быть полезны для работыв теории бильярдов.21В Главе 5 доказывается новая теорема о нормализации гиперболическихкосых произведений – она может быть полезна для работы с их возмущениями,и для доказательства новых необычных свойств аттракторов.Методология и методы исследования.В диссертации применяются методы марковских операторов для работысо сходимостью последовательностей функций, методы комплексной алгебраи�ческой геометрии для изучения комплексификаций бильярдов, а также методыфункционального анализа и методы качественной теории дифференциальныхуравнений.Положения, выносимые на защиту.В диссертации доказаны следующие теоремы.1. (Глава 1.) Существуют такие положительные константы C10 ,C20 , K10 ,K20 , K30 , что если параметры b, µ и число k 2 Z удовлетворяют неравенствам|kµ| + 1  C10pbµ,bC20 µ,то имеют места следующие неравенства:a0,k (b)µa⇡,k (b)µ✓1k + Jkµ✓1kJkµ◆✓1bK10 +µb◆✓b1K10 +µb✓ ◆◆K20b0+ K3 ln,3µµ✓ ◆◆K20b0+Kln,3µ3µ(3)где a0,k (b) и a⇡,k (b) - аналитические функции, определяющие границы языкаАрнольда, соответствующего целому значению числа вращения k: ⇢a,b,µ = k иJk (b) - целочисленная функция Бесселя1Jk (z) =2⇡2⇡Zcos(ktz sin t)dt.0Замечание.

Обозначения границ a0,k (b), a⇡,k (b) связаны с тем фактом,что при целочисленном числе вращения отображение Пуанкаре Pa,b,µ уравне�ния Джозефсона имеет неподвижные точки. Фазовые кривые векторного по�22Рис. 3. Линиями изображены границы языков Арнольда уравнения Джозефсона с числамивращения, равными соотвественно k = 0, 1, . . . 10, при достаточно малом значении параметраµ, µ = 0.2.

При стремлении µ к нулю, в ограниченных областях плоскости (a, b) языкиэкспоненциально (по µ) сближаются.ля (1) сохраняются относительно симметрии (x, t) 7! ( x, t), таким образомнеподвижными точками могут быть лишь точки 0 и ⇡.2. (Глава 1) Рассмотрим два подмножества плоскости (a, b) параметров:область B = {(a, b)| a < 1 < b < a + 1) и область C = {(a, b)| b > a + 1}. То�гда для любого фиксированного ограниченного подмножества плоскости, ком�пактно вложенного в B (в C) и для достаточно малого µ расстояние между⇣⌘C1длясоседними языками в области B (области C) не превосходит C1 expµнекоторых положительных констант C1 , C2 . Таким образом, языки почти пол�ностью заполняют это ограниченное подмножество, см. Рис.4.3.

(Глава 2.) Рассмотрим произвольную ориентированную полную поверх�ность M и динамику вращающейся цепи из трёх отрезков с длинами l1 , l2 , l3 .Фиксируем начало первого отрезка в некоторой точке 0 2 M на поверхности.Предположим, что соответствующие относительные угловые скорости равны23Рис. 4. Для каждого направления (показанного стрелками) геодезической, исходящей източки 0, строятся два треугольника+,со сторонами lj такие, что сторона длины l1обоих треугольников принадлежит геодезической, а вершина 0 является общей для сторондлин l1 и l3 .

На рисунке изображено три различных пары треугольников: на поверхностяхнепостоянной кривизны эти треугольники могут не быть изометричны.!1 , !2 , !3 2 R и рационально независимы. Тогда для любой вращающейся це�пи с достаточно малыми длинами звеньев, асимптотическая угловая скоростьконца системы (предел (2)) существует и выражается выпуклой комбинациейисходных угловых скоростей! = !1 q1 + !2 q2 + !3 q3 ,где коэффициенты qj выражаются через углы треугольников, составлен�ных из отрезков lj , как показано на Рис. 6.А именно, для любого направления ' 2 S1 геодезической, выходящей из0 при достаточно малых lj существует ровно два треугольника+,со сто�ронами l1 , l2 , l3 такими, что сторона длины l1 отложена вдоль геодезической исторона l3 имеет вершину в 0 (и цепь таким образом замыкается).

Обозначим↵1± , ↵2± , ↵3± соответственно их углы, противолежащие сторонам длин l1 , l2 , l3 . То�гда241q2 =2⇡1q3 =2⇡ZS1ZS1↵2+ (') + ↵2 (')d',2⇡↵3+ (') + ↵3 (')d',2⇡q1 = 1q2q3 .В случае геометрии Лобачевского эта теорема дает соотношение↵1 + A↵3!1 + f rac↵2 ⇡!2 + !3 ,⇡⇡где углы ↵j суть соответствующие углы в треугольнике со сторонами lj , а A –!=его площадь.4. (Глава 3.) Рассмотрим действие свободной группы Fr автоморфизма�ми пространства с мерой (X, µ), а также конечное множество V (помеченноеэлементами группы) и марковскую цепь на графе , заданную стохастическойматрицей ⇧.Определение 2. Подграф H ⇢называется хорошим подграфом порядка k,если он состоит из вершин u, w и ориентированных путей p, q, p⇤ , q ⇤ длины kтаких, что– upw, uqw, pq ⇤ p, qp⇤ q - ориентированные пути в графе– L(p⇤ ) = L p1, L(q ⇤ ) = L q1Определение 3.

Стохастическая матрица ⇧ называется k-допустимой, ес�ли• соответствующий графсвязен (от любой вершины можно пройти долюбой другой по ориентированным рёбрам)• для некоторой вершины v 2 V подгруппаv⇢ Fr , порожденная всемиэлементами вида L(p), где pv - ориентированный путь из v в себя вграфе , совпадает со всей свободной группой Fr25Рис. 5. Вид хорошего подграфа порядка k в графе : наличие такого подграфа позволяетP2k11доказать сходимость сферических средних 2ki=0 Sn+i ' для ' 2 L (X, µ).• соответствующий графсодержит хороший подграф порядка kТогда если для некоторого k матрица ⇧ является k-допустимой, то для лю�бого сохраняющего вероятностную меру действия Fr на(X, µ) и любой функции' 2 L1 (X, µ) выражение2k1 XSn+i '2k i=0сходится в норме L1 к E(f |F), то есть, к условному математическому ожиданиюотносительно сигма-алгебры Fr -инвариантных измеримых подмножеств.Техническое условие на существование хорошего подграфа может бытьзаменено более слабыми и наглядными условиями.

Важным в этой теоремеявляется тот факт, что условие k-допустимости является открытым условиемна пространстве матриц ⇧. Таким образом, имеется сходимость марковскихсферических средних в открытых подмножествах пространства стохастическихматриц.265. (Глава 4.) Центры вписанных окружностей треугольных орбит эллип�тического бильярда лежат на эллипсе.5.

(Глава 5.) Пусть M = Td ⇥I – многообразие с краем, где Td - d-мерныйтор, I = [0, 1].Рассмотрим сохраняющее границу косое произведениеF : M ! M, (b, x) 7! (Ab, fb (x)),где fb (0) = 0, fb (1) = 1 и отображение слоёв fb является сохраняющим ориен�тацию диффеоморфизмом I ! I, и отображение базы A является линейнымгиперболическим автоморфизмом тора.Допустим также, что f является гёльдеровым непрерывным в x относи�тельно C k -нормы с показателем , k2.Пусть O 2 Td ⇥ 0 – гиперболическая неподвижная точка F .

Обозначиммультипликатор послойного отображения в окрестности базы какПредположим также, чтоbb:=@fb@x (0). supTd | (b)| = q < 1 8b 2 Td .Тогда существует окрестность U точки O и сохраняющий слои гомеомор�физмH : (U, O) ! U, (b, x) 7! (b, x + hb (x)), hb (0) =@hb(0) = 0@xтакой, что1. H сопрягает F в (U, O) с его "послойной линеаризацией"F0 : (b, x) 7! (Ab,b x).Это означает, чтоFH=HF0 .2. H – гладкий по x при фиксированном b: степень гладкости равна k3.

H послойно гёльдеров в C k2норме с показателем ↵, где2.27↵  min( , logµ q) и µ есть максимальная абсолютная величина собствен�ных значений A, а q является непрерывной нормой послойного мультиплика�тора(b). Таким образом, показатель гёльдеровости связан с соотношениемсжатия по слою и по базе.Апробация результатов.Основные результаты работы докладывались на следующих конференци�ях, школах и семинарах.На конференциях и школах• Конференция Взаимодействие физики и математики: новые перспекти�вы, Москва, Доклад Уравнение Джозефсона и быстро-медленные системы,август 2012• Школа по геометрии и динамике ICTP-SISSA-Москва, ICTP, Триест,Доклад Языки Арнольда уравнения Джозефсона, июнь 2013• Школа молодых учёных в области динамических систем (Parole auxjeunes chercheurs en systèmes dynamiques), CIRM, Marseille, Доклад Потенциа�лы с замкнутыми орбитами и поверхности с замкнутыми геодезическими.Обзор и открытые вопросы, ноябрь 2013• Конференция по геометрии и динамическим системам, CIRM, Марсель,Постерный доклад О центрах вписанных окружностей в треугольные орбитыэллиптического бильярда, март 2014• Конференция Геометрические аспекты современной динамики, Порто,Доклад Комплексное отражение в бильярдах, январь 2016На семинарах• Семинар по динамическим системам, МГУ им.