Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 16

При этом параметр ' при�ходит из определения свойства воздушных змеев, см. Рис.2.7 для поясненияформулировки.Доказательство. Поскольку эта задача а приори не обладает вращательнойсимметрией (относительно 0), мы не можем перейти к случаю !1 = 0, и утвер�ждение Предложения 1 может быть неверно. Поэтому мы будем рассматриватьтрехмерный тор T3 с координатами (✓1 , ✓2 , ✓3 ).Однако в целом, доказательство будет повторять шаг за шагом доказа�тельство параграфа 2.1.4. Аналогичным образом мы определим лагранжеву1-форму, задающую (вместе с векторным полем (2.12)) динамику вращающей�ся цепи. Эта форма, как и ранее, имеет регулярную и сингулярную части,=reg+sing .Как и ранее, интересующая нас асимптотическая скорость задается зна�чением этой формы на векторном поле X. Значение регулярной части естьинтеграл по пространству, а для подсчета значения сингулярной части мы рас�смотрим поток сквозь поверхность с границей, состоящей из сингулярностейформы (в доказательстве для евклидова случая, см.

параграф 2.1.4, мы имелидело с потоком по пути, однако здесь размерность увеличилась на единицу).Множество сингулярностей формыдля малых lj есть объединение двухокружностей. Для каждого значения угла ✓1 (или, иначе говоря, ', см. свойствовоздушых змеев), в множестве сингулярностей находятся две точки на торе T3 ,соответствующие треугольникам с углами ↵j ('), j = 1, 2, 3. Итак, чтобы посчи�тать значение формыsingна X, нам требуется посчитать поток векторногополя X через цилиндр, границей которого является объединение окружностей,состоящих из точек, соответствующих положениям вращающейся цепи в те мо�менты, когда она замыкается в треугольник, см.

Рис. 2.8.Мы представим этот цилиндр как объединение отрезков с фиксированным104Рис. 2.7. Для задачи Лагранжа на произвольной римановой поверхности, система вращаю�щихся отрезков имеет базу в некоторой точке 0. В различных направлениях из этой точкивыходят геодезические. Угол ' является координатой на единичной окружности с центромв нуле в касательной плоскости T0 M к римановой поверхности в точке 0. Фиксировав ',мы находим единственную геодезическую, выходящую из точки 0 в этом направлении.

От�ложим на этой геодезической отрезок длины l1 . На этот отрезок (по свойству воздушныхзмеев) опирается два треугольника со сторонами l1 , l2 , l3 : углы этих двух треугольников, со�ответствующих сторонам с длинами l2 , l3 мы называем ↵2± и ↵3± соответственно, с плюсом приэтом выбирается треугольник слева от геодезической, а с минусом - справа от геодезической.Именно значения этих углов (зависящие от ') определяют ответ в задаче Лагранжа.

На ри�сунке изображены три воздушных змея, три пары треугольников, а также в одной из паруказана сумма углов ↵2+ + ↵2 , важная для подсчета финальной асимптотической скорости.Рис. 2.8. Подсчет асимптотической угловой скорости связан с подсчетом потока векторногополя X через цилиндр, слоеный на отрезки ✓1 = const, изображенные на этом рисунке.

Кубна картинке - фундаментальная область для трехмерного тора T3 : противоположные граниотождествлены.✓1 . Эти пути аналогичны путям в доказательстве для случая постоянной кривиз�ны. Единственная разница заключается в том, что координаты на двумерномторе (при фиксированном ✓1 ), соответствующие замыканиям треугольника, те�перь не приходят из двух симметричных треугольников (углы ↵2+ и ↵2 в двухтреугольниках из одного воздушного змея не обязательно совпадают).Однако, аналогичным образом, потоки второй и третьей компонент век�торного поля вдоль пути с фиксированным ✓1 = ' будут равны следующимзначениям:↵2+ (')+↵2 (')!22⇡+2⇡ ↵3 (') ↵3 (')!32⇡для второй компоненты векторного поля, и соответственнодля третьей компоненты.Первая (✓1 ) компонента векторного поля ортогональна любому из такимобразом выбранных путей, мы получим, что вклад этой компоненты будет равенсумме длины пути (с учетом знака) и единицы (за счет изменения параметра⇣⌘↵2+ (')+↵2 (')+↵3+ (')+↵3 (').✓1 ): !1 12⇡Теперь, складывая вклады для каждого ', мы возьмем среднее по ', когда✓1 меняется и мы получим значние сингулярной части формы✓sing [X] = !1 1◆↵2+ (') + ↵2 (')+ !2+2⇡◆✓↵3+ (') + ↵3 (')1++!32⇡↵2+ (') + ↵2 (') + ↵3+ (') + ↵3 (')2⇡Для регулярной части формы,Как и ранее, числа2,3reg=1 d✓1суть периоды формы+◆на X:✓2 d✓2reg .3 d✓3 ,+где2,32 Z.Чтобы их посчитать, мыпроинтегрируем эту форму по путям в T3 , соответствующим образующим в ко�гомологиях H 1 (T3 , Z).

Здесь важно то, что эти пути не пересекают выбранныйнами цилиндр с границей на сингулярном множестве.Для фиксированного ✓1 , пути для определенияны как и ранее и мы получим2= 0,32и= 1. Для подсчета3могут быть выбра�1мы выберем путь,на котором ✓2 = ✓3 = 0 и ✓1 меняется линейным оразом: очевидно, он не пересе�кает выбранный цилиндо. Этот путь даст нулевое приращение аргумента. Этоследует из неравенства треугольника: сумма l2 + l3 больше l1 , таким образомreg [!1 , !2 , !3 ]= !3 .Складывая значения для регулярной и сингулярной части, мы получимответ в общем случае. ⇤Глава3ϝҿҸҮҲҶҸһҼӆҶҪҺҴҸҬһҴҲҿһҾүҺҲӁүһҴҲҿһҺүҮҷҲҿҮҵӉһҸҿҺҪҷӉӈӃҲҿҶүҺҽҮүҳһҼҬҲҳһҬҸҫҸҮҷҸҳҭҺҽҹҹӅВ данной Главе мы доказываем эргодическую теорему для действий сво�бодной конечно-порожденной группы на вероятностном пространстве сохраня�ющими меру преобразованиями.

А именно, мы снабжаем множество порожда�ющих этой группы (вместе с обратными к порождающим) обобщенной марков�ской цепью и доказываем сходимость соответствующих сферических среднихпри довольно слабых условиях невырожденности на стохастическую матрицу⇧, определяющую нашу марковскую цепь. Другими словами, мы доказываемтривиальность хвостовой сигма-алгебры соответствующего марковского опера�тора.

Эта сходимость ранее была известна только для симметричных марков�ских цепей в то время как условия в установленной нами теореме являютсянеравенствами, а не равенствами как в предыдущих работах. Таким образом,сходимостьсферическихсреднихдоказанадлянамногоболееширокогоклассамарковскихцепей.Перейдемтеперькосновнымопределениям.3.1.ВведениеРассмотримконечнопорождённуюсвободнуюгруппуFивероятностноепространство(X,µ).ПустьT:F!Aut(X, µ)�гомоморфизмгруппыFвгруппусохраняю�щихмерупреобразованийпространства(X,µ).МырассматриваемконечныйалфавитVсотображениемкодированияL:V!F.Мы будем изучать произвольную марковскую цепь с пространством состо�яний V .

А именно, возьмём стохастическую матрицу ⇧ = (⇧v,w )v,w2V , строки иPстолбцы которой пронумерованы элементами алфавита V (то есть, w ⇧v,w = 1для каждого v). Мы предполагаем, что у ⇧ есть стационарное распределение⌫ : V ! [0, 1], причём ⌫(v) > 0 для всех v 2 V . Стационарность означает, чтоPv2V ⇧w,v ⌫(v) = ⌫(w) для каждого w.Пусть G = (V, E) � ориентированный граф, множество вершин которогосовпадает с V , а множество рёбер определено так:E := {(w, v) : ⇧vw > 0}.Порядок в паре (w, v) намеренно сделан обратным к порядку в паре (v, w),которая встречалась выше.Под ориентированным путём в графе G мы подразумеваем такую после�довательность s = (s1 , .

. . , sn ) 2 V n вершин, что (si , si+1 ) 2 E для всех i. Длинатакого пути равна |s| := n. Для каждого из таких путей мы обозначаемL(s) = L(s1 ) · · · L(sn ) 2 F,Ts = TL(s) 2 Aut(X, µ),⇧s = ⇧sn sn 1 · · · ⇧s2 s1 .Определим сферические средние Sn : L1 (X, µ) ! L1 (X, µ) по формулеSn ( )(x) :=X⌫(sn )⇧s (Ts x)(3.1)s=(s1 ,...,sn )Цель данной работы � доказать, что при слабых дополнительных услови�P12k 1ях на ⇧ существует такая константа k, что средние 2ki=0 Sn+iһҿҸҮӉҼһӉвсреднем.Длятого,чтобычёткосформулироватьэтиусловия,нампотре�буетсяещёнесколькообозначений.Обозначение 1.

Еслиp2Vk иq2Vl ,топустьpq2Vk+l �ихконкатенация.То есть, если p = (p1 , . . . , pk ) и q = (q1 , . . . , ql ), то pq = (p1 , . . . pk , q1 , . . . , ql ).Через L(p) = L(p1 )· · · L(pk ) 2 F обозначим произведение соответствующихметок.Определение 1. Подграф H ⇢ G � хороший порядка k, если он состоит извершинu,w иориентированныхпутейp,q,p⇤ , q ⇤ длиныk,таких,что9• upw, uqw, pq ⇤ p, qp⇤ q � ориентированные пути в G• L(p⇤ ) = L(p) 1 , L(q ⇤ ) = L(q)1Рисунок 3.1 иллюстрирует структуру хорошего подграфа. Мы не требуем, чтобы хороший подграф обязательно был индуцированным.Определение 2.

Для каждого символа v 2 V обозначим черезv F подгруп�пу, порождённую всеми элементами вида L(p), где pv � ориентированный путьв G, который начинается и заканчивается в вершине v. Более точно, условиена p следующее: p � ориентированный путь вида p = (p1 , . . . , pn ) 2 V n , такой,что p1 = v и (pn , v) 2 E � ребро в G.Определение 3. Будем говорить, что рассмотренная выше матрица � ⇧ допу�стимая порядка k, если для неё выполнены следующие условия:• Соответствующий граф G содержит хороший подграф порядка k,• Граф G сильно связен и• Существует такой символ v 2 V , чтоv= F.Теорема 1.

Пусть матрица ⇧ � допустимая порядка k. Тогда для любого со�храняющего вероятностную меру действия Fy(X, µ) и любой функции f 2L1 (X, µ) выражение2k 11 XSn+i f2k i=0при n ! 1 сходится в L1 к E[f |F], то есть, к условному математическому ожи�данию относительно сигма-алгебры F-инвариантных измеримых подмножеств.Замечание 3. Заметим, что условия на ⇧ зависят только от того, какие эле�менты этой матрицы больше нуля, а какие равны нулю. В частности, мы непредполагаем, что между элементами марковской цепи есть какие-либо соотно�шения.Рис.

3.1. Хороший подграф с путями p = (p1 , . . . , pk ) и q = (q1 , . . . , qk ) из определения 1. Здесьиспользованы такие обозначения: p⇤ = (pk 1 , . . . , p1 1 ), q ⇤ = (qk 1 , . . . , q1 1 ).Проверить, является ли матрица ⇧ допустимой – это несложная задача.Например, рассмотрим такой случай:Предложение 1. Пусть множество V конечно и отображение L : V ! Fинъективно, тогда мы можем отождествить V с подмножеством F. Кроме этого,пусть G сильно связен и обладает следующим свойством: если (a, b) 2 E, тои (b 1 , a 1 ) 2 E (обратный элемент здесь берётся в группе F). Тогда, еслисуществуют такие три вершины v, w, u 2 V , что (v, w), (u, w), (u, v 1 ) 2 E (см.Рис.