Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 19

По теореме 3, Fsync(⇧nX ') ⇡nXX! E['⇡|F2k]в L1 (V N ⇥X) при n ! 1. Так как взятие условного математического ожиданияXкоммутирует сотносительно F2k(⇧nX ') ⇡X,для любого in+iXможно переписать так: для любого 0  i < 2k,(⇧nX ') ⇡n iXiXX |F2k ]! E['⇡в L1 (V N ⇥ X) при n ! 1. Поскольку E['⇡0iXX |F2k ]2k+iXX |F2k ],= E['⇡это2k iXX |F2k ]! E['⇡в L1 (V N ⇥ X) при n ! 1. Теперь из леммы 3 и предложения 3 следует, что2k 11 X n(⇧ ') ⇡2k i=0 X2k 11 X!E['⇡2k i=0n iXiXX |F2k ]=E['⇡|F1X ]=Zв L1 при n ! 1. В то же время,(⇧nX ') ⇡n iX= (⇧nX i ⇧iX ') ⇡в L1 (V N ⇥ X) при n ! 1. Аналогично,(⇧n+iX ')⇡nX!⇧iX⇣XE['⇡|F2k]n iX⌘X! E[⇧iX '⇡|F2k]X= E[⇧iX '⇡|F2k]' d⌫ ⇥ µ1в L1 (V N ⇥ X) при n ! 1.

Значит,2k 11 X n+i(⇧ ') ⇡2k i=0 XnX!Z' d⌫ ⇥ µв L1 при n ! 1.Без потери общности мы можем предположить, чтоэтом случае из вышесказанного следует, что2k 11 X n+i(⇧ ') ⇡2k i=0 XnXR' d⌫ ⇥ µ = 0, и в!0при n ! 1. С другой стороны,2k 11 X n+i(⇧ ') ⇡2k i=0 XnX=2k 11 X n+i⇧ ' .2k i=0 XПоэтому2k 11 X n+i⇧ '!02k i=0 Xв L1 при n ! 1. Далее, заметим, что если '(v, x) =(x) для некоторого2 L1 (X), то, заменяя переменные, получаем:(Sn )(x) =X⌫(sn )⇧(s1 ,...,sn ) (T(s1 ,...,sn ) x)s1 ,...,sn 2V=XXv2V s1 ,...,sn=X⌫(v)⇧(s1 ,...,sn1 ,v)1 2V⌫(v)(⇧nX 1 ')(v, x).v2VТаким образом, Sn стремится к 0 в L1 при n ! 1.(T(s2 ,...,sn1 ,v)x)1Глава4ϓҪҮҪӁҪҸӀүҷҼҺҪҿҬҹҲһҪҷҷӅҿҸҴҺҽҰҷҸһҼүҳҼҺүҽҭҸҵӆҷӅҿҸҺҫҲҼӇҵҵҲҹҼҲӁүһҴҸҭҸҫҲҵӆӉҺҮҪ4.1.ВведениеСформулируемгеометрическийфакт,которыйбудетинтересеннамвэтойглаве.Теорема 4.1. Рассмотрим множество орбит периода три в эллиптическом би�льярде.

Тогда геометрическое место точек центров вписанных (в соотв. тре�угольники) окружностей является эллипсом, см. Рис 4.1 в качестве иллюстра�ции.Этот факт был экспериментально замечен Дэном Резником [65].В Части 4.2 этой Главы мы докажем эту теорему в каком-то смысле неожи�данным способом – методами комплексной алгебраичекой геометрии. В Части4.3 этой Главы мы дадим планиметрическое доказательство этой теоремы, ко�торое нам кажется более сложным.

Оба доказательства используют теоремуПонселе и интегрируемость эллиптического бильярда, а именно нам понадобит�ся следующее предложение:Рис. 4.1. Иллюстрация к основной теореме: исходный эллипс, одна из орбит эллиптическогобильярда периода 3. Геометрическое место точек центров вписанных окружностей – эллипс.1Предложение 4.2. Все орбиты периода 3 в эллиптическом бильяре касаютсянекоторого эллипса, софокусного исходному эллипсу.4.2.

Доказательство теоремы: алгебраическая геометрияЭллиптические бильярды – это одновременно классический и популярныйсовременный сюжет (см., например, [66], [67], [68] and [69]). Рассмотрим эллипси соответствующий бильярд, в котором точечная частица перемещается вдольпрямых внутри эллипса и отражается от границы, подчиняясь стандартномузакрану отражения: угол падения равен углу отражения. Предположим, чтотраектория частицы повторяется после двух последовательных отражений: этозначит, что нами был получен треугольник, представляющий траекторию пе�риода 3 в эллиптическом бильярде. Знаменитая теорема Понселе [70] вместе сосвойством интегрируемости потока эллиптического бильярда дает существова�ние эллипса, вписанного во все эти треугольники, конфокального исходному.Доказательство использует классические идеи комплексификации и про�ективизации.

А именно, мы заменим евклидово пространство комплексной про�ективной плоскостью. Этот подход был использован Гриффитсом и Харрисомв [71] а также, недавно Р. Шварцом в [72]. Основным инструментом доказа�тельства является комплексное отражение: мы рассматриваем эллипс как ком�плексную кривую и определяем закон комплексного отражения по отношениюк этой кривой. Геометрическое место центров вписанных окружностей будеттакже комплексной алгебраической (и даже рациональной) кривой. Мы дока�жем, что эта кривая – коника в CP2 . Ее вещественной частью будет, очевидно,ограниченная коника, то есть эллипс.Причины на использование комплексных методов в данном случае следу�ющие: доказательство комплексными методами заметно проще планиметриче�ского.

Мы думаем, что эти методы могут быть использованы и в дальнейшемпри изучении бильярдов. Идеологически наша работа связана с работами А.1Глуцюка, см. например [73] и совместную работу с Ю. Кудряшовым [74].В Разделе 4.2.1 мы определяем комплексный закон отражения и напоми�наем его основные свойста. Раздел 4.2.2 содержит доказательство основной Тео�ремы 4.1.4.2.1. Комплексный закон отраженияНам будет удобно перейти от евклидовой плоскости R2 к комплексной про�ективной плоскости CP2 : евклидова метрика соответственно заменяется (в ло�кальных комплексных координатах (z, w)), квадратичной формой ds2 = dz 2 +dw2 .

В дальнейшем мы будем заниматься геометрией в этом новом пространствеCP2 с квадратичной формой ds2 . Мы могли ьы заменить исходную евклидовуметрику псевдоевклидовой: геометрия бильярдов в такой метрике также инте�ресна и близка нашему случаю, см. [75] и [76].Определение 5. Прямые с направляющими векторами нулевой длины назы�ваются изотропными. Все остальные прямые, соответственно, неизотропные.Фиксируем точку x 2 CP2 и определим комплексное отражение отно�сительно прямой, проходящей через x как отображение, действующее на про�странстве Lx прямых, проходящих через точку x.

Заметим, что есть две изотроп�ные прямые Lvx1 и Lvx2 в Lx с направляющими векторами v1 = (1, i) и v2 = (1, i).Определение 6 (Закон комплексного отражения). Для точки x 2 CP2 , ком�плексное отражение (симметрия) относительно неизотропной прямой Lx 2 Lxэто отображение, задаваемое той же формулой, что и отображение в веществен�ном случае. Это линейное отображение, в базисе из векторовопределенных011 0@A.имеетматрицепрямой Lx и ортогональной ей прямой L?x0 1Образ любой прямой L под действием отражения относительно изотроп�ной прямой Lvx1 (или Lvx2 ) определяется как предел ее образов под действиемотражений относительно неизотропных прямых, сходящихся к Lvx1 (или Lvx2 ).1Также, комплексным отражением относительно кривой мы называем ком�плексное отражение относительно соответствующей касательной.Теорема 4.3 ([73], Лемма 2.3).a.

Комплексная симметрия по отношению кизотропной прямой L в некоторой точке x 2 L корректно определена длявсех неизотропных прямых ( иначе говоря, соответствующий предел об�разов последовательности неизотропных прямых существует и не зависитот аппроксимирующей последовательности). Образом любой неизотроп�ной прямой, проходящей через x, является прямая L.b. Под действием отражения в точке x относительно изотропной прямой L 2Lx , сама прямая L может перейти в любую прямую, проходящую черезx (то есть отображение в этом случае многозначное).

Например, прямаяможет перейти в саму себя.Изотропные направления, порожденные векторами v1 и v2 представленыточками I1 = (1 : i : 0) 2 CP2 и I2 = (1 :i : 0) 2 CP2 , соответственно.Все прямые, проходящие через одну или обе (бесконечно удаленная прямая) –изотропные. Выберем аффинную координату z на проективной прямой CP1 =C[1 на бесконечности таким образом, что для этой прямой, проходящей черезточки I1 и I2 выполнялось I1 = 0 и I2 = 1.Представленная ниже лемма влечет Теорему 4.3 и несложно следует изопределений.

Эта лемма описывает отражение в прямой, близкой к изотропной.Лемма 4.4 ([73], Proposition 2.4). Для любого " 2 C̄ \ {0, 1}, пусть L" – пря�мая, проходящая через начало координат (0, 0) 2 C2 и имеющая направление" (в координате z, определенной выше). Пусть ⌧" : CP1 ! CP1 – отражение от�носительно прямой L" , действующее на пространстве CP1 прямых, проходящихчерез начало координат. Тогда ⌧" (z) ="2z,в введенной выше координате z.Доказательство. Отображение ⌧" есть проективное преобразование, сохраняю�щее L" , а также множество изотропных прямых.

Поэтому ⌧" (") = " и ⌧" {0, 1} =11{0, 1}. Покажем, что ⌧" переставляет 0 и 1. Иначе оно бы имело три неподвиж�ных точки на бесконечно удаленной прямой CP2 \ C2 и было бы тождественнымпреобразованием бесконечно удаленной прямой. А также, точки на прямой L"неподвижны для ⌧" .Поэтому ⌧" должно было бы быть тождественным преобра�зованием, однако оно является нетривиальной инволюцией.Заметим, что ограничение ⌧" – нетождественная конформная инволюцияCP2 \C2 оставляющая на месте " и переставляющая 0 и 1. Поэтому она должнаотображать z в"z2 .4.2.2.

ДоказательствоВ этом разделе мы доказываем исходную Теорему 4.1. Рассмотрим тре�угольные орбиты комплексифицированного эллиптического бильярда: это тре�угольники, вписанные в комплексифицированный эллипс и удовлетворящиекомплексному закону отражения. Обозначим исходный эллипс , и эллипс Пон�селе (касательный всем орбитам) . Мы будем использовать те же обозначениядля комплексификаций коник.Следующий классический факт комплексной проективной геометрии будетиспользован нами в дальнейшем дляи , а также для вписанных окружно�стей.Лемма 4.5 ([77], стр. 179, [78], стр. 334).a. Два эллипсаи на веществен�ной плоскости являются софокусными тогда и только тогда их комплек�сификации имеют 4 общие изотропные касательные.

В этом случае ихфокусы лежат на пересечениях этих прямых (два вещественных и двакомплексных "фокуса").b. Две касательные прямые к комплексифицированной окружности, прохо�дящие через ее центр, являются изотропными.Определение 7 ( Стороны и вырожденные стороны треугольника). Сторонойтреугольника в CP2 с различными вершинами является комплексная прямая че�1рез пару вершин треугольника.