Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 23

Таким образом, нам нужно доказать некоторые оценки для1липшицевой и гёльдеровой норм функции h. Очевидным образом эти оценкивыполнены для непрерывной нормы (обратим внимание, что здесь нам требу�ется AAC ). Например, в случае липшицевой нормы нам требуется лишьперейти к пределу при n ! 1 в неравенстве:8x, y 2 [0, 1] |hn (x)hn (y)|  ALip |xy|.Аналогичные аргументы работают для гёльдеровой нормы (требуется рас�смотреть b1 , b2 2 T2 вместо x, y 2 [0, 1], что по существу ничего не меняет).В доказательстве мы сначала выбираем константы AC , ALip и A↵ , A можетбыть выбрано позже, например, так: A := AC .5.2.6. Три основных леммы и доказательство теоремы 5.2Чтобы доказать теорему 5.2, нужно лишь показать, что выполнены усло�вия принципа сжимающих отображений для N , ⇢ и N , определённых соответ�ственно в (5.20) и (5.21).

Здесь мы формулируем три основных леммы, которыедают результат теоремы 5.2.В лемме 4 мы работаем с гомологическим уравнением и находим явноерешение уравнения (5.15) в виде формального ряда. Также эта лемма утвер�ждает, что этот ряд экспоненциально сходится и задаёт непрерывную функциюна M . Более того, для ↵, выбранного в соответствии с (5.9), оператор L в про�странстве M сохраняет подпространство H↵ гёльдеровых функций с даннымфиксированным показателем.

Из этого ключевого соображения следует главноеутверждение – гёльдеровость сопряжения.Две оставшихся леммы позволяют нам применить принцип сжимающихотображений. В лемме 5 исследуется композиция L : показывается, что мож�но выбрать замкнутое подпространство N ⇢ N вида (5.21), отображаемое всебя композицией L . Лемма 6 показывает, что Lна самом деле являетсясжимающим отображением на пространстве M" в непрерывной норме.1Давайтеприведёмтеперьточныеформулировкилемм.Лемма 4. [Решение гомологического уравнения] Рассмотрим косое произведе�ние (5.1).

Определим последовательность функций на Td по формуле⇧0 (b) := 1, ⇧n (b) :=b Ab . . .An1b, n = 1, 2, . . .(5.22)Пусть ↵ задано условием (5.9). Положим✓ = ✓(↵) := µ↵ q < 1(5.23)Предположим, что условия (5.7) и (5.23) выполнены. Пусть Q 2 H↵ .Тогда верно следующее:1. Существует решение hb (x) гомологического уравнения (5.16). Оно можетбыть представлено в виде формального рядаhb (x) =1X⇧k (b)Q F0k (b, x)k=0Ak b(5.24)2.

Ряд (5.24) сходится равномерно на M , его сумма является непрерывнойпо b и имеет такую же степень гладкости по x, как Q.3. Решение h удовлетворяет условию Гёльдера с показателем, равным ↵:h 2 H↵ .4. Оператор L : Q 7! h ограничен в C-норме на пространстве M.Лемма 5. [Замкнутое подпространство, отображаемое на себя] Для косого про�изведения вида (5.1) существуют константы ", AC , ALip , A↵ > 0, такие что опе�ратор L , действующий на пространстве M, отображает в себя его замкнутоеподпространство N , определённое в (5.21).Лемма 6.

[Свойство сжатия] Существует константа A > 0, такая что для лю�бого достаточно малого " > 0 оператор L , действующий на пространстве N ,(зависящий от A и ", см. (5.20)) является сжимающим в непрерывной норме.14Доказательство теоремы 5.2.Доказательство мы проводим следующим образом.

Сначала мы выбира�ем ", определённый леммой 5, и фиксируем все константы AC , ALip , A↵ , зада�ваемые той же леммой. Далее мы уменьшаем " таким образом, чтобы былавыполнена лемма 6. На множестве N , соответствующем такому " и константеA = AC определена C-норма, задающая структуру полного метрического про�странства. Оператор L действует на этом пространстве и по лемме 6 являетсясжимающим отображением. Обратим внимание, что множество N , определён�ное в (5.21), является замкнутым подпространством в N , так как A = AC . Этоподпространство N ⇢ H"↵ с фиксированной константой Гёльдера ↵ сохраняетсяоператором L . Поэтому по принципу сжимающих отображений L имеет непо�движную точку h 2 N (а потому и в H"↵ ), задающую гёльдерово сопряжениеначального косого произведения и его линеаризации. Строго говоря, свойствоГёльдера доказано не для сопряжения, а для его квадратичной части, разде�лённой на x2 , но отсюда следует свойство Гёльдера и для сопряжения, так как⇤функция x ограничена.5.3.

Доказательство леммы 4: решение гомологическогоуравненияСейчас мы решим гомологическое уравнение и найдём функцию h, удо�влетворяющую (5.16). Сначала мы найдём формулу для h в предположении,что h существует, далее докажем, что функция h, задаваемая этой формулой,удовлетворяет (5.16). Если такая функция h существует, что она может бытьзадана какh=1Q + h F0(5.25)Теперь попробуем выяснить, какой вид должна иметь h. Возьмём правую компо�зицию этого уравнения с нормализованным отображением F0 , заданным в (5.4).Далее применим оператор умножения нак этому уравнению. Из уравнения1(5.25) следует, что1(h F0 ) =A Q F0 + ((5.26)A) h F02Обратим внимание, что левая часть уравнения (5.26) равна одному из сла�гаемых в правой части уравнения (5.25).

Продолжим процесс взятия правойкомпозиции с F0 и умножения на . Таким образом мы получаем бесконечнуюпоследовательность уравнений, которую можно просуммировать. Сложив пер�вые N + 1 из них, получимhb = ⇧N +1 (b)hbF0N +1NX⇧k (b)Q F0kk=0(5.27)Ak bПерейдём к пределу при N ! 1. Поскольку h 2 N , ||h||C  A, иограничено некоторым q < 1, первое слагаемое правой части уравнения (5.27)ограничено Aq N +1 и потому стремится к 0. Мы хотим показать здесь, что еслиh существует, и соответствующий ряд сходится, то (5.24) выполнено. Но теперь,получив явное выражение для h, можно просто проверить, что этот сходящийсяряд задаёт функцию h, удовлетворяющую гомологическому уравнению (5.16).Поскольку F является диффеоморфизмом, 8b 2 Td имеемпосколькуbb6= 0.

Тогда,является непрерывной функцией на компактном многообразии Td ,существует нижняя граница D > 0, такая чтоbD>08b 2 Td .(5.28)Значит, поскольку, очевидно,|⇧k (b)|  q k ,(5.29)ряд (5.24) ограничен сходящимся числовым рядом1Xqkk=0D||Q||C =||Q||CD(1 q)(5.30)Следовательно, по признаку сходимости Вейештрасса, его сумма является непре�рывной функцией на M , и нормализованный гомологический оператор L огра�ничен в непрерывной норме.

А именно,1||L||C 1D(1 q)(5.31)Решение hb (x) имеет ту же степень гладкости по x, что и Q. Это можнопроверить дифференцированием ряда (5.24) и повторным применением призна�ка сходимости Вейерштрасса. Ряд для производной решения h гомологическогоуравнения будет сходиться ещё быстрее, чем ряд для самой функции: действи�тельно, коэффициенты ряда (5.24) будут умножаться на быстро убывающиемножители ⇧k (b).Таким образом, предположения 1, 2 и 4 леммы 4 доказаны.

Остаётся дока�зать, что свойство Гёльдера с показателем ↵ сохраняется оператором L. Нампотребуется следующееПредложение 4. В постановке теоремы 5.1 пусть свойство Гёльдера (5.2)выполнено для fb и некоторого k. Тогда дляbxb+ x2 Qb (x), выполнено свойство Гёльдера длятакже для Qb (x) и kи Qb (x), заданных fb (x) =bи того же k, что в (5.2), а2.Доказательство. Свойство дляbочевидно, так какb=@fb (x)@x | x=0 .Свойство2, '(0) = '0 (0) = 0для Qb (x) следует из аналога леммы Адамара: для ' 2 C[0,1]и='x2имеем(5.32)|| ||C  ||'||C 2RxЭто следует из хорошо известной формулы '(x) = 0 (x t)'00 (t)dt. ЗаменаR1координат t = xs, s 2 [0, 1] приводит к f (x) = x2 0 (1 s)f 00 (xs)ds. Отсюдаполучаем (5.32).

Из этого следует нужное нам свойство, что Qb гёльдерова инепрерывна в предположении, что fb гёльдерова как элемент C 2 .Чтобы доказать предположение 3 леммы 4, обозначим через CQ := ||Q||[↵]и C := || ||[↵] константы Гёльдера функций Q исоответственно. Нам нужнонайти найти такое C > 0, чтобы для любых b1 , b2 2 Td было выполнено1|hb1 (x)hb2 (x)|  C||b1(5.33)b2 ||↵Обратим внимание, что даже если показатели Гёльдера для Q иблизкик 1, наши методы показывают, что показатель Гёльдера решения h нормализо�ванного гомологического уравнения оказывается близок к нулю.Для каждого k 2 Z+ ОбозначимPk (b) :=⇧k (b)(5.34)Ak bОчевидно, тогда(5.35)|Pk (b)|  q k D.Пусть Qk (b, x) := Q F0k (b, x).

Тогда решение h можно записать в видеhb (x) =1XPk (b)Qk (b, x)k=0Возьмём b1 , b2 2 Td и обозначим Qk,j := Q F0k (bj , x), j = 1, 2. Тогда|hb1 (x)hb2 (x)| =1X[(Pk (b1 )Pk (b2 ))Qk,1 + Pk (b2 )(Qk,1Qk,2 )]k=0Таким образом, получаем оценку|hb1 (x)где✓1,k (b1 , b2 ) = |Pk (b1 )hb2 (x)| 1X(5.36)✓1,k (b1 , b2 ) + ✓2,k (b1 , b2 )k=0Pk (b2 )| ||Q||C , ✓2,k (b1 , b2 ) = |Pk (b2 )||Qk,1Qk,2 |(5.37)Сформулируем некоторые нужные нам предложения, доказательства ко�торых мы выносим в приложение (параграф 5.6).Предложение 5.

Функций ⇧n (b), определённая как произведение функцийbв первых n точках орбиты линейного диффеоморфизма A (см. (5.22)) непре�рывная гёльдерова с показателем ↵ (см. (5.9)), и||⇧n ||[↵]C ✓n ↵(µ1)q1где C � константа Гёльдера для , ✓ определено в (5.23), а µ равно максималь�ной абсолютной величине собственных значений A.Предложение 6.

Функция Pn (b), определённая в (5.34), гёльдерова с показа�телем ↵. Имеет место оценка(5.38)||Pn ||[↵]  D2 C B✓n ,где B зависит только от начального отображения. Точная формула для B при�водится ниже, см. (5.51).Теперь с помощью предложения 6 мы можем доказать, что✓1,k (b1 , b2 )  ||Q||C D2 C B✓k ||b1b2 ||↵(5.39)Оценка величины ✓2,k является несколько более длинной.Предложение 7. Функций ✓2,k (b1 , b2 ), определённая в (5.37), гёльдерова с по�казателем ↵, и||✓2,k ||[↵]◆✓Ck 1 ✓ D CQ + q Lipx Q ↵µ1k(5.40)Доказательство этого предложения использует только неравенство тре�угольника, и мы выносим его в приложение.Подставляя оценки для ✓1,k и ✓2,k из (5.39) и (5.40) в неравенство (5.36),мы можем наконец использовать наш специальный выбор параметра ↵.