Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 21

Зафиксируем произвольный треугольник ABC. Для любой точ�ки P плоскости рассмотрим прямые AP, BP, CP . Тогда, при рассмотрении их1Рис. 4.5. Точка Жергонна в треугольнике ABC: точка пересечения прямых, соединяющихвершины треугольника с точками касания вписанной окружности.образов относительно симметрии по отношению к соответствующим биссектри�сам исходного треугольника ABC, новые прямые пересекутся в одной точке.Точка P1 полученная таким образом называется изогонально сопряженной Pотносительно ABC, см. Рис. 4.6.Среди замечательных свойств изогонального сопряжения нас интересуетПредложение 4.11. Точка Жергонна изогонально сопряжена центру отрица�тельной гомотетии вписанной окружности и описанной окружности.Для более общей информации о точке Жергонна и изогональном сопряже�нии, см [79].

После этих напоминаний, мы готовы к доказательству.4.3.3. Доказательство Теоремы 4.1Назовем наш исходный эллипси соответствующий эллипс Понселе(см.Предложение 4.2), как и в предыдущей части 4.2. Рассмотрим некоторую фик�сированную орбиту периода три и соответствующий треугольник ABC. Тогдадоказательство будет следовать следующим этапам:1. Проведем три касательные прямые к эллипсув точках A, B, C. Этикасательные прямые пересекутся в точках, которые мы назовем соответ�1Рис. 4.6.

Построение изогонально сопряженной точки P1 точке P в треугольнике ABC: пунк�тирные линии – биссектрисы, красные линии отражаются в зеленые при симметрии относи�тельно биссектрис.ственно A⇤ , B ⇤ , C ⇤ . Заметим, что эти точки являются центрами вневпи�санных окружностей треугольника ABC. Это практически очевидно: дей�ствительно, прямая BA⇤ является биссектрисей соответствующего угла (это следует из того факта, что отражение в точке B сохраняет углы), см.Рис.

4.7.2. Заметим, что прямая AB – поляра точки C ⇤ , BC поляра A⇤ и AC поляраB ⇤ относительно . Это следует из замечаний в 4.3.1.3. Прямые AB, BC и AC касаются эллипса . Рассмотрим тeперь полярноепреобразование эллипсаправитпо отношению к большему эллипсу : оно от�в некоторую конику, проходящую через A⇤ , B ⇤ и C ⇤ . Обозначимеё ¯ . Таким образом, ¯ сопряженаотносительно .4. Теперь мы можем по-новому посмотреть на задачу. До этого мы рассмат�ривали треугольник ABC, который двигался внутри эллипсалипсаи вне эл�(вне значит, что его стороны касались ). Теперь мы будем думатьо треугольнике A⇤ B ⇤ C ⇤ , который двигается внутри ¯ и, в тот же момент,вне . См.

4.8.15. Определим центр вписанной окружности ABC в терминах A⇤ B ⇤ C ⇤ . Этопересечение AA⇤ , BB ⇤ и CC ⇤ . Иначе говоря, точка пересечения прямыхсоединяющих вершины треугольника A⇤ B ⇤ C ⇤ с его точками касания с эл�липсом . Это следует из того, что точка A⇤ равноудалена от сторон ABи AC.6. Задача, таким образом, реформулируется так: для двух коник и треуголь�ника, двигающегося "между ними"так, что его вершины находятся на од�ной конике, а его стороны касаются другой, доказать, что точка пересече�ния прямых, соединяющих вершины и точки касания существует и лежитна эллипсе. Существование этой точки это фактически Теорема 4.9.7.

Проективным преобразованием отправимв окружность. На самом деле,достаточно смотреть на эту задачу когдаи ¯ являются окружностями:проективным преобразованием две коники переходят в две окружности.Поэтому ои ¯ можно думать как об окружностях.8. Доказательство того, что точка двигается по эллипсу, следует из ТеоремыСкутина, [84]:Теорема 4.12. Рассмотрим семейтво треугольников с фиксированнымивписанной и описанной окружностями. Есть изогональные преобразова�ния относительно каждого из них.

Тогда, для любой фиксированной точ�ки на плоскости, образы при изогональных преобразованиях относительновсех треугольников, формируют конику.У этой теоремы есть свободный параметр – позиция точки на плоскости.Применяя ее для центра отрицательной гомотетиии ¯ , мы докажемтеорему.⇤1Рис. 4.7. Пересечение касательных к эллипсу в точках, соответствующим траектории бильяр�да, дают центры вневписанных окружностей (пересечения внеших биссектрис)Рис. 4.8.

Исходная периодическая траектория ABC и соответствующий треугольникA⇤ B ⇤ C ⇤ с вершинами – центрами вневписанных окружностей. Вместо того, чтобы смотретьна ABC между и мы смотрим на A⇤ B ⇤ C ⇤ между и ¯ .12Глава5ϞүҸҺүҶҪϝҼүҺҷҫүҺҭҪҸҭӊҵӆҮүҺҸҬҸҳҹҸһҵҸҳҷҸҳҷҸҺҶҪҵҲұҪӀҲҲҴҸһӅҿҹҺҸҲұҬүҮүҷҲҳ5.1.Постановказадачииутверждения5.1.1.МотивировкаЭтаГлавапосвященатеоременормализациикосыхгёльдеровыхпроизве�дений.Мыначнёмсмотивировкивыбораэтогоклассаотображений.Согласноэвристическомупринципу,восходящемук[85],типичныеэффек�ты, наблюдаемые в случайных динамических системах на компактном много�образии, также могут быть наблюдаемы для диффеоморфизмов многообразийстаршихразмерностей.Случайныединамическиесистемыэквивалентныгомео�морфизмам косых произведений над сдвигом Бернулли.

Некоторые новые эф�фекты,найденныедляэтихгомеоморфизмов,былипозжеперенесенынакосыепроизведения над гиперболическими отображениями с компактными слоями.Эти диффеоморфизмы ни в каком смысле не являются типичными. Их малыевозмущениясноваявляютсякосымипроизведениями,слоикоторыхнеявляют�сягладкими,аявляютсятольконепрерывнымиотносительноточкибазы[86].Недавнобылодоказано,чтоихпослойныеотображениянасамомделегёльдеровыотносительноточкибазы[87–89].Новыенайденныеэффектывпространстведиффеоморфизмовкосыхпро�изведенийтакимобразомпереносятсянагёльдеровыкосыепроизведения,итемсамым доказывается типичность этих эффектов.

Эта программа выполнена в[90–95].Этомотивируетизучениегёльдеровыхкосыхпроизведений.Перейдёмте�перькформулировкамнашихосновныхрезультатов.135.1.2. Основные утвержденияРассмотрим диффеоморфизм косого произведения над отображением Ано�сова базы и с отрезком в слое. Точнее, пусть M = Td ⇥ I, Td � d-мерный тор,I = [0, 1]. Рассмотрим сохраняющее границу косое произведение(5.1)F : M ! M, (b, x) 7! (Ab, fb (x)) ,где fb (0) = 0, fb (1) = 1, отображение слоёв fb является сохраняющим ориен�тацию диффеоморфизмом I ! I, и отображение базы A является линейнымгиперболическим автоморфизмом тора.Допустим также, что f является гёльдеровым при фиксированном x от�носительно C k -нормы, то есть существуют константы Ck ,> 0, такие что длялюбых b, b0 2 Td выполнено неравенство||fbfb0 ||C k  Ck ||bb0 ||(5.2)Это предположение возникает в слегка другой постановке задачи в рядестатей о частичной гиперболичности: например, в [89] оценка (5.2) верна дляk = 0, в [96] для k = 1, а в [87] для любого k.

Теперь сформулируем основныерезультаты, которые мы доказываем в надежде применить их к изучению косыхпроизведений, например, чтобы коренным образом упростить доказательства в[92].Теорема 5.1. Рассмотрим отображение F вида (5.1), обладающее свойством(5.2) для некоторого фиксированного k и гладкой по x переменной C k , k2. Пусть O 2 Td ⇥ {0} � его гиперболическая фиксированная точка. Тогдасуществует окрестность U точки O и сохраняющий слои гомеоморфизмH : (U, O) ! U, (b, x) 7! (b, x + hb (x)) hb (0) =такой, что@hb(0) = 0@x(5.3)11. H сопрягает F в (U, O) с его �послойной линеаризацией�F0 : (b, x) 7! (Ab,b x),(5.4)гдеb= fb0 (0).(5.5)Это означает, чтоFF0 .(5.6)8b 2 Td(5.7)H=HПредположим также, чтоbq<12.

H гладкий по x при фиксированном b: степень гладкости равна k2.3. H послойно гёльдеров: существуют константы C̃l , ↵ > 0, для которых прилюбых l, 0  l  k2 верно неравенство||hbhb0 ||C l  C̃l ||bb0 ||↵ ,(5.8)такое что↵min( ,ologµq),(5.9)где µ � максимальная абсолютная величина собственных значений A, аq определяется уравнением (5.7).Эта теорема локальна: соотношение сопряжения F H = H F0 выполненотолько в окрестности точки O.

Мы выведем эту теорему из следующих двухрезультатов.Теорема 5.2. Рассмотрим такое же F , как в теореме 5.1, в случае k = 2.Отображение H со свойствами 1, 2, 3 из теоремы 5.1 определено на мно�жествеM" = (b, x) 2 Td ⇥ [0, 1] | x 2 [0, "]для некоторого " > 0 и непрерывно на этом множестве. Более того, в случаеl = 0 неравенство (5.8) выполнено для любого ↵, удовлетворяющего (5.9).1Теорема5.3.Предположим,чтовыполненывсепредположениятеоремы5.2,кроме k =2. Пусть k 2. Тогда существует отображение H, обладающее свой�ствами,указаннымивтеореме5.2.Болеетого,HявляетсяпослойногладкимстепениC kиудовлетворяетусловиюГёльдера(5.8)дляl=k 2.2Теоремы5.2и5.3являютсяосновнымирезультатамиданнойГлавы.Пер�ваятеоремаутверждает,чтопослойноесопряжениеHнепрерывновC-нормеотносительноточкислоя,автораятеоремапродолжаетэтотрезультат,умень�шаяокрестностьвслоеизаменяяC-нормунаC l -норму.Основнаячастьдан�нойглавы представляет собой доказательство теоремы 5.2.