Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 22

Вконцеприводитсячастьдоказательстватеоремы5.3.Аименно,мыдоказываем,чтоотображе�нияhbявляются(k 2)-гладкими,нонедоказываем,чточастныепроизводные@ j hb@xj , 1jk2 гёльдеровы в b. Это может быть доказано таким же образом,как гёльдеровость hb , но требует большего количества технических деталей,поэтому соответствующие выкладки мы опускаем.В начале следующего параграфа мы выведем теорему 5.1 из теорем 5.2,5.3.5.1.3.

Сравнение с теорией “нестационарных нормальных форм”Эта теория была развита в [74] и [97]. Ближе всего к нашим результатамнаходится теорема 1.2 работы [74], доказанная во всех подробностях как теоре�ма 1 работы [97]. В дальнейшем мы будем называть её GK-теоремой. В этойтеореме рассматривается широкий класс отображений, включающий отображе�ние (5.1) – отображения, удовлетворяющие так называемому условию narrowband spectrum condition (условию узости спектра). В предположениях теоремы5.1 это свойство имеет следующий вид:(maxb2Tdb)2< minb2Tdb.(5.10)Это ограничительное условие не требуется в теореме 5.2.

Более того, GK�1теорема утверждает, что выполнены свойства 1 и 2 отображения H, то естьH является послойно гладким топологическим сопряжением, но не утвержда�ет, что отображение H послойно гёльдерово, см. (5.9). Подведём итог: теоремы5.2, 5.3 развивают GK-теорему в частном случае отображений (5.1), опускаяусловие узости спектра и добавляя свойство 3 � гёльдеровость.Утверждения 1 и 2 теоремы 5.1 могут быть выведены из GK-теоремы.Действительно, любая непрерывная функция< 1 удовлетворяет условию(5.10) в подходящей окрестности точки.

С другой стороны, теорема 5.1 можетбыть в полной мере просто выведена из теорем 5.2, 5.3.5.2. План доказательства5.2.1. ГлобализацияТеорема 5.1 доказывается с помощью стандартной техники глобализации(см., например, [98]). Без потери общности гиперболичность косого произведе�ния F влечёт, чтоb< 1 в окрестности U 2 Td фиксированной точки O. Иначемы переходим к обратному отображению F1.

Пусть K � компактное подмно�жество U , содержащее фиксированную точку O строго внутри. Рассмотримгладкую функцию ' : Td ! [0, 1], для которой'|K ⌘ 0, '|Td \U ⌘ 1Вместо начальной функции fb (x) на слоях рассмотрим функциюf˜b (x) = fb (x)(1') +x(1 + x)'2Мы поставили квадратичный многочлен во втором слагаемом, чтобы быловыполнено свойство f˜b (1) = 1. Тогда отображениеF̃ : M" ! M, (b, x) 7! (Ab, f˜b (x))обладает следующим списком свойств:141.

F̃ совпадает с F в окрестности фиксированной точки O2. F̃ является притягивающим около нулевого уровня: если ˜ b := f˜b0 (0) то˜ b < 1 8b 2 Td(5.11)Поэтому мы можем без потери общности с самого начала предположить,чтоb2 (0, 1) в каждой точке базы Td . Более того, сопряжение H может бытьнайдено во всём M" : другими словами, равенство F H = H F0 будет выполненово всей окрестности M" базы.В оставшейся части этой главы мы доказываем глобальные результаты, тоесть теорему 5.2 и теорему 5.3.Теперь докажем теорему 5.2: основная идея состоит в том, чтобы использо�вать теорему о неподвижной точке для доказательства существования сопряже�ния H: нам нужно лишь правильно определить функциональное пространствои сжимающий оператор на нём.

В последующих параграфах мы выполним это,вынося некоторые вычисления, а также доказательство теоремы 5.3 в приложе�ние (параграф 5.6).5.2.2. Гомологические и функциональные уравненияПредположим, чтоfb (x) =bx+ Rb (x), Rb (x) = O(x2 ), x ! 0.(5.12)Тогда задача поиска сопряжения H : M" ! M" вида (5.3), удовлетворяющего(5.6), равносильна задаче поиска решения h̄b (x) так называемом функциональ�ного уравненияh̄Ab ( b x)b h̄b (x)= Rb x + h̄b (x)(5.13)Для краткости перепишем это уравнение в форме композиции:h̄ F0h̄ = R H(5.14)1Здесь черезмы обозначаем оператор умножения наb,где b является аргу�ментом рассматриваемой функции.Ниже мы будем работать не с самой квадратичной частью сопряжения,а с ней же, разделённой на x2 .

По этому причине мы изменим обозначенияследующим образом: мы будем обозначать функциями с чертой функции в про�странстве квадратичных частей возможных отображений сопряжения и будемобозначать функциями без черты те же самые функции, делённые на x2 , напри�мер, hb (x) :=h̄b (x)x2 .В аналогичной манере Qb (x) :=Rb (x)x2 .Функциональное уравнение трудно решить, так как функция h̄b (x) присут�ствует в обеих частях уравнения. Это уравнение можно упростить, рассматри�вая более лёгкую форму уравнения на h̄b (x) � гомологическое уравнение:h̄ F0h̄ = R(5.15)Решения гомологического уравнения сами по себе не дают сопряжений,однако являются полезным инструментом исследования.

Гомологическое урав�нение можно эквивалентно переписать через h и Q:2h F0h=Q(5.16)5.2.3. Операторный подходРассмотрим пространство M вещественнозначных функций, определён�ных на M , непрерывных по b 2 Td и гладких по x 2 [0, 1]:M := h̄b (x) 2 M | h̄· (x) 2 C(Td ), h̄b (·) 2 C k [0, 1]Определим оператор ¯ : M ! M, сопоставляющий функции hb (x) левую частьгомологического уравнения (5.15). Используя этот оператор, можно переписатьуравнение (5.15) в виде ¯ h̄ = R.Обозначим через L̄ оператор, обратный к ¯ .

Далее мы докажем, что онсуществует. Оператор L̄ решает гомологическое уравнение: если правая часть1уравнения равна R, то L̄R = h̄ and L̄ ¯ = ⌧ . С этого момента мы будем назы�вать оператор L̄ гомологическим оператором. Факт его существования являет�ся следствием леммы 4, однако сейчас мы будем использовать символ L̄ лишьформально, чтобы объяснить основную идею.зом:Определим оператор сдвига ¯ : M ! M, действующий следующим обра�¯ h̄(b, x) = Rb x + h̄b (x)(5.17)Таким образом, функциональное уравнение на функцию h̄ можно перепи�сать в виде ¯ h̄ = ¯ h̄ или, эквивалентно, h̄ = L̄ ¯ h̄.

Таким образом, задачапоиска сопряжения эквивалентна задаче поиска фиксированной точки опера�тора L̄ ¯ в пространстве M.Сделаем полезное для последующего изложения замечание: оператор ¯(как и ему обратный L̄) являются линейными на пространстве формальныхрядов, хотя оператор ¯ линейным не является: например, он отправляет в нольв функцию Rb (x).5.2.4. Выбор функционального пространства для теоремы Банаха онеподвижной точкеМы будем использовать простейшую форму принципа сжимающих отобра�жений, рассматривая сжимающее отображение, определённое на метрическомпространстве N и сохраняющее его замкнутое подмножество N .Введём обозначения для символов N , d и N .

Сжимающее отображениеf окажется некоторой небольшой модификацией композиции операторов L̄ ¯ ,рассмотренной в параграфе 5.2.3. Обратим внимание, что оператор L̄, как иоператор ¯ , сохраняет подпространство M функций, начинающихся со второйстепени переменной x, которое мы обозначим через M2 :1M2 = h̄b (x) 2 M|h̄b (x) = x2 hb (x), hb (x) 2 MПоэтому определим для удобства операторы L иследующим образом:Lh :=L̄[x2 h]x2h :=(5.18), действующие на M¯ [x2 h](5.19)x2Эти операторы соответствуют решению гомологического уравнения и опе�ратору сдвига, некоторым образом нормализованным.Доказываемые нами теоремы линеаризации применимы только в окрестно�сти базы, то есть в Td ⇥ [0, "].

Условия на малую константу " будут сформулиро�ваны позже. Теорема о сжимающем отображении будет применена к операторуL , действующему на полном метрическом пространстве M" функций на M,ограниченных на малую окрестность тора Td ⇥ [0, "]. Норма на этом простран�стве просто является непрерывной нормой, определяемой для hb (x) 2 M" как||h||C," =sup(b,x)2Td ⇥[0,"]|hb (x)| .Чтобы использовать принцип сжимающих отображений, определим простран�ствоN := {h 2 M" , ||h||C,"  A} , ⇢(h1 , h2 ) := ||h1h2 ||C," .(5.20)с непрерывной нормой на нём.Константа A будет выбрана позднее. Теперь перейдём к определению мно�жества N .5.2.5.

Гёльдерово свойство подпространства NЧтобы доказать теорему 5.2, нам потребуется работать с тремя нормами.Первая норма - непрерывная || · ||C," , была определена выше. Теперь мы опреде�лим липшицеву норму Lipx," , а также как гёльдерову норму || · ||[↵]," . Индекс "отражает, что эти нормы рассматриваются на подпространстве функций в M2" ,однако мы будем опускать этот индекс в очевидных случаях.1Определение 5. Для функции h 2 M определим её гёльдерову норму ||h||[↵]как||h||[↵] :=|hb1 (x) hb2 (x)|||b1 b2 ||↵b1 ,b2 2Td ,x2[0,1]supГёльдерова норма функции иногда называется её гёльдеровой константой.Подпространство функций h 2 M, для которых эта норма конечна, мы бу�дем называть пространством гёльдеровых функций показателя ↵ и обозначатьчерез H↵ . Ровно таким же образом пространство H"↵ состоит из функций h вM" , для которых ||h||[↵]," < 1, где||h||[↵]," :=|hb1 (x) hb2 (x)|||b1 b2 ||↵b1 ,b2 2Td ,x2[0,"]supОпределение 6.

Для функции h 2 M определим её послойную липшицевунорму Lipx h по формулеLipx h :=|hb (x)|xb2Td ,x,y2[0,1]hb (y)|y||hb (x)|xb2Td ,x,y2[0,"]hb (y)|y|supАналогично для h 2 M" положимLipx," h :=supКак только даны эти определения, мы можем определить замкнутое под�пространство N функционального пространства N (см. (5.20)) для примененияпринципа сжимающих отображений. Ниже мы покажем, что существуют кон�станты " > 0, а также AC , ALip и A↵ , такие что пространствоN = h 2 M" , h 2 H"↵ | ||h||C,"  AC , Lipx," h  ALip , ||h||[↵],"  A↵(5.21)замкнуто в (N , ⇢) и сохраняется под действием L . Замкнутость N почтиочевидна: нам требуется доказать, что если последовательность непрерывныхфункций hn 2 N сходится в C-норме к некоторой непрерывной функции h приn ! 1, то h 2 N .