Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 24

Имен�но в этом месте мы используем ключевой факт, что ✓ < 1, чтобы установитьсходимость оцениваемых рядов в правой части уравнения (5.36). Из простоговычисления суммы геометрической прогрессии мы получаем, что h гёльдерова,и (5.33) выполнено для некоторого Ch . Явный вид Ch не важен для доказа�тельства этой леммы, но будем использован в доказательстве леммы 5. По этойпричине выпишем его явно:Ch = ||Q||C LC + CQ L[↵] + Lipx QLLip .(5.41)1гдеD2C BDC1, L[↵] =, LLip = ↵.1 ✓1 ✓(µ1) q 1 ✓qТаким образом, доказательство леммы 4 завершено.(5.42)LC =⇤5.4. Доказательство леммы 5: оператор сдвигаВозьмём некоторое h 2 N и оценим непрерывную, липшицеву и гёльдеровунормы его образа при отображении композицией операторов L и.План доказательства следующий: сначала мы покажем, что существуюттакие константы "C > 0 и A = AC > 0, что пространство N , определённое в(5.20), переходит в себя при отображении L .

Таким образом, оператор Lнеслишком увеличивает непрерывную норму, если рассматривать его на подходя�щем пространстве.На следующем шаге мы уменьшаем "-окрестность базы достаточно, чтобынужные нам функции были там определены, и ищем "Lip < "C и хорошую оцен�ку для ALip в (5.20). Мы найдём такие "Lip и ALip , что L не увеличит липшицевунорму функции h при условиях ||h||C  AC , ||h||Lip  ALip в окрестности базы.Наконец, на заключительном шаге мы найдём "↵ < "Lip и A↵ , для которыхпространство N , определённое в (5.21), сохраняется оператором L .Из определения (5.17) оператора сдвига ¯ имеем¯ h̄(b, x) = Rb x + h̄b (x) = (x + h̄b (x))2 Q(b, x + x2 hb (x)) == x2 (1 + xhb (x))2 Q(b, x + x2 hb (x)),следовательно,h = (1 + xh)2 Q(b, x + x2 h)(5.43)Используя определение (5.21) подпространства N , а также оценку (5.30) и вы�ражение (5.43) для любого h 2 N , имеем1||L h||C," 1||Q||C|| h||C," (1 + "AC )2D(1 q)D(1 q)(5.44)Фиксируем сначала любоеAC >||Q||CD(1 q)(5.45)и затем выберем " = "C таким образом, чтобы||Q||C(1 + "AC )2 < ACD(1 q)Обратим внимание, что в определении пространства N константа A, огра�ничивающая норму, должна быть больше константы AC , определённой в (5.45).Чтобы ограничить липшицеву норму, нам потребуется предложение, ка�сающееся гомологического оператора, сохраняющего пространство функций,гладких на слоях.

Поскольку мы будем работать с производными функцийвдоль слоя, примем следующее обозначение: обозначим l-ю производную функ�ции h(b, x) относительно координаты слоя x через h(l) , l 2 N.Предложение 8. Оператор L ограничен относительно липшицевой нормы, тоесть существует такая константа Lipx L, что для любой h 2 M верно неравен�ствоLipx (Lh)  Lipx L · Lipx h.Более того, для любой функции b 2 Td , если функция h(b, ·) 2 C l , то Lh имееттакую же гладкость, и(Lh)(l)C Ck (L) h(l)C(5.46)Доказательство этого предложения является простым следствием явнойформы (5.24) решения нормализованного гомологического уравнения, И мыприводдим его в приложении, параграф 5.6.Перейдём к липшицевой норме Lipx," [L h]  Lipx L ⇥ Lipx," h.

Пользуясьпростыми аргументами, можно доказать следующее148161Предложение 9. Существуют многочлены T3 (") и T40 (") степеней 3 и 4 соот�ветственно, такие что T40 (0) = 0, и для любой функции h 2 N верно неравенство(5.47)Lipx," [ h]  T3 (") + T40 (")ALipДоказательство этого предложения мы выносим в приложение.Отсюда мы видим, что существует такая константа ALip , что для любо�го достаточно малого ", скажем, " < "Lip , константа Липшица образа любойфункции h 2 N ограничена этой константой ALip :Lipx," [L h]  ALip .Мы можем считать, что "Lip < "C .Нам остаётся оценить ||L h||[↵]," .

Для этого нам потребуется отдельно оце�нить, как операторы L иведут себя на пространстве ↵-гёльдеровых функций.Следующее предложение для оператора сдвига мы докажем в приложении(параграф 5.6).Предложение 10. Если h 2 H↵ " , то такжеh 2 H↵ " . И, более того, дляh 2 N существуют многочлены T̃2 (") и T̃40 (") степеней 2 и 4 соответственно,что T̃40 (")(0) = 0 и||h||[↵],"  T̃40 (")A↵ + T̃2 (")(5.48)В доказательстве леммы 4 мы вывели оценки (5.41) на гёльдерову нормунормализованного гомологического оператора с помощью некоторых фиксиро�ванных констант LC , L[↵] , LLip , определяемых в (5.42):||Lh||[↵],"  LC ||h||C," + L[↵] ||h||[↵]," + LLip Lipx," h(5.49)Теперь объединим (5.48) и (5.49) для h := h, чтобы получить оценку для||L h||[↵]," . Здесь мы воспользуемся предложениями 9 и 10, а также неравен�ством (5.44), чтобы получить оценки различных норм функциистве M" .h в простран�1||L h||[↵],"  LC || h||C," + L[↵] || h||[↵]," + LLip Lipx," h ⇣⌘20 LC ||Q||C (1 + "AC ) + L[↵] T̃2 (")A↵ + T̃2 (") + LLip T2 (") + T40 (")ALipТаким образом, мы видим, что существуют многочлены Q02 ("), Q4 ("), такиечто deg Q02 = 2, Q02 (0) = 0, deg Q4 (") = 4, и||L h||[↵],"  A↵ Q02 (") + Q4 (")(5.50)Для достаточно малого ", " < "[↵] , и для некоторого A↵ > 0 правую частьнеравенство (5.50) можно сделать меньше, чем A↵ .

Мы можем взять "[↵] < "Lip .Выбором " = "[↵] мы можем добиться того, чтобы пространство N сохранялосьоператором L . Очевидно, это пространство является замкнутым в N .⇤5.5. Доказательство леммы 6: свойство сжатияПоскольку оператор L линеен и равномерно ограничен из (5.30) в непре�рывной норме, единственным, что требуется доказать, является утверждение,что нормализованный оператор сдвигаявляется строго сжимающим, то естьчто для любого достаточно малого " существует константа ⌫ = ⌫(") 2 (0, 1),такая что для любых h, g 2 N верно|| hg||C,"  ⌫||hg||C,"Доказательство.Предположим, что h, g 2 M, и определим h̄, ḡ 2 M2 черезh̄b (x) = x2 h(b, x), ḡb (x) = x2 gb (x).1Обозначим также Qh = Q b,x+h̄b(x) .|| hg||C," = (1 + xhb (x))2 Qh ||Qh+ x2 h2b (x)Qh(1 + xgb (x))2 Qg ) Qg ||C," + ||2xhb (x)Qhx2 gb2 (x)QgC," Lipx Q||h̄Qg ||C," + "2 (h2+ 2"A||Qh2xgb (x)Qg ||C," +ḡ||C," + 2"||hg 2 )Qh + g 2 (QhQg )g||C," ||Q||C +C,"g||C," "2 Lipx Q + 2"||Q||C + 2"2 Lipx QA +||h+ "2 2A||hg||C," ||Q||C + A2 Lipx Q"2 ||hg||C," == ||hЗначит, операторg||C," o(").является строго сжимающим.

Поскольку из (5.31) для лю�бой функции h 2 N норма ||Lh||C," вместе с фактом, что операторчто оператор LD1 q ||h||C," ,применяя эту оценку кhявляется строго сжимающим, мы получаем,является строго сжимающим.⇤5.6. Приложение: доказательство теоремы 5.3 и прочиевычисленияВ приложении мы докажем технические приложения, сформулированныевыше.5.6.1. Свойства Гёльдера для некоторых вспомогательных функцийСначала докажемПредложение 2. Функция ⇧n (b), определённая как произведение функ�цийbв первых n точках орбиты линейного диффеоморфизма A, см. (5.22),является гёльдеровой с показателем ↵, и||⇧n ||[↵]C ✓n ↵(µ1)q1, ✓ определено в (5.23). Отсюдагде C является константой Гёльдера дляи далее будем считать, что ↵ задано в (5.9), а µ является максимальнойабсолютной величиной собственных значений оператора A.Доказательство предложения 2:|⇧n (b1 )⇧n (b2 )| =qCnY1Ak b 1k=0=|n 1nY1n 1Xb2 |b1kA b1Ak b 2=k=0⇥nY1k↵Ak b 1k=1A b2qk=0+|n 1b2 | |⇧n 1 (Ab1 )⇧n 1 (Ab2 )| 1C ✓n↵||b1 b2 ||  ↵||b1 b2 ||↵1(µ1)qµn↵C ↵µ⇤Предложение 3.

Функция Pn (b), определяемая как Pn (b) :=⇧n (b)An b, гёль�дерова с показателем ↵, и||Pn ||[↵]  D2 C B✓nгде B зависит только от начального отображения. Явная формула для Bприводится ниже, см. (5.51).Доказательство.|Pn (b1 )Pn (b2 )| =⇧n (b1 )D= D2 |(An b 22An b 2⇧n (b2 )An b 1An b 1 An b 2nY1An b 2An b 1Ak b 1k=0An b1 ) ⇧n (b1 )+ ⇧n+1 (b1 )nY1Ak b 2=k=0(An b 1An b2 ) ⇧n (b2 )⇧n+1 (b2 ))|  |⇧n+1 (b1 ) ⇧n+1 (b2 )| + | An b1⇧n (b2 )| An b2 ||⇧n (b1 )C ✓n+12+ 2q n C µn↵ ||b1 b2 ||↵  D2 C B✓n ||b1D↵(µ1)qb2 ||↵где B не зависит ни от чего, кроме начального косого произведения:B(✓, µ, ↵, q) =✓(µ↵1)q+2(5.51)152165Предложение 4.Функция ✓2,k (b1 , b2 ),определённая как✓2,k (b1 , b2 ) = |Pk (b2 )||Qk,1Qk,2 |,гёльдерова с показателем ↵, и◆✓Ck 1 ✓ D CQ + q Lipx Q ↵µ1k||✓2,k ||[↵]Здесь Qk,1 = Q F0k (b1 , x) и Qk,2 = Q F0k (b2 , x), а определение функций Pk (b)дано в предложении 2 выше.Доказательство.

Воспользуемся результатами предложения 5 в следующей це�почке неравенств:✓2,k  q k D |QAk b1 (⇧k (b1 )x)QAk b2 (⇧k (b2 )x)|  q k D |QAk b1 (⇧k (b1 )x)QAk b2 (⇧k (b1 )x)| ++ q k D |QAk b2 (⇧k (b2 )x)QAk b2 (⇧k (b1 )x)|  q k DCQ µk↵ ||b1b2 ||↵ + q k DLipx Q||⇧k ||H↵ ||b1 b2 ||↵ ◆✓Ckk 1||b1 b2 ||↵ (5.52)✓ D CQ + q Lipx Q ↵µ1Предложение 5. Оператор L ограничен в липшицевой норме: существу�ет такая константа Lipx L, что для любой h 2 M верноLipx (Lh)  Lipx L ⇥ Lipx h.Более того, если h(b, ·) 2 C l для любой b 2 Td , то Lh имеет такую жестепень гладкости, и(Lh)(l)C Ck (L) h(l)C.1Доказательство.

Используя явную формулу решения (5.24), а также оценки(5.29) и (5.35), имеем:supx,y2[0,1]1XLh(b, y)h F0k (b, x)= supPk (b)yxx,y2[0,1]Lh(b, x)xk=0 sup1XPk (b)x,y2[0,1] k=0h F0k (b, y)yLipx h|⇧k (b)x ⇧k (b)y|D= Lipx h.|x y|1 q2Оценки производных получаются аналогично почленным дифференциро�ванием ряда (5.24):(Lh)(l)=1XPk (b)⇧lk (b)h(l) F0k .k=0Следовательно,(Lh)(l)CDh(l)1 q l+1C.Предложение 6.

Существуют многочлены T3 (") и T40 (") степеней 3 и4 соответственно, такие что T40 (0) = 0, и для любого h 2 N верноLipx," [ h]  T3 (") + T40 (")ALip(5.53)Доказательство предложения 9. В доказательстве этого предложения мыимеем дело с выражением для Lipx," h, задаваемым формулойsupx,y2[0,"] |x1y|(1 + xhb (x))2 Q(b, x + h̄b (x))(1 + yhb (y))2 Q(b, y + h̄b (y))Поскольку в этом предложении координата базы b постоянна, а меняетсятолько координата x, мы позволим себе опускать индекс b и предполагать, чтоQ(x) = Q(b, x+ h̄b (x)), а также h(x) = hb (x). Оценка получается из неравенства1треугольника:Lipx," h  supx,y2[0,"]+ supx,y2[0,"]Q(x)xQ(y)xh(x)Q(x)+ 2 supyxx,y2[0,"]x2 h(x)Q(x)xyh(y)Q(y)+yy 2 h(y)Q(y) Lipx Q(1 + Lipx," h̄)+yxh(x) (Q(x) Q(y))xQ(y)(h(x) h(y))+ 2 sup+x yx yx,y2[0,"]+ 2 supx,y2[0,"]+ 2 sup |Q(y)h(y)| + supy2[0,"]+ supx,y2[0,"]x,y2[0,"]⇥Q(y) x2 (h(x)x2 h(x) (Q(x)x yh(y)) + (x2x yQ(y))y 2 )h(y)⇤+ Lipx Q(1 + Lipx," h̄) + 2"AC Lipx QLipx," h̄ + 2"||Q||C ALip ++ 2||Q||C AC + "2 AC Lipx QLipx," h̄ + ||Q||C ("2 ALip + 2"AC ) (5.54)Заметим, чтоLipx," h̄ = supx,y2[0,"]x2 h(x)x supx,y2[0,"]y 2 h(y)yx2 (h(x) h(y))h(y)(x2 y 2 )+ supx yx yx,y2[0,"] ALip "2 + AC 2" (5.55)После подстановки Lipx," h̄ в (5.54) при помощи (5.55) в результате имеемT3 (") = 2A2C Lipx Q"3 + 4A2C Lipx Q"2 + 2AC (Lipx Q + ||Q||C )"++Lipx Q + 2||Q||C ACT40 (") = Lipx QAC "4 + 2AC Lipx Q"3 + Lipx Q"2 + 2||Q||C "⇤Теперь докажем аналогичные результаты для гёльдеровской нормы опера�тора.Предложение 7.