Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 20

Треугольник вырожден, если все его вершинылежат на одной прямой. Априори, треугольная орбита эллиптического бильяр�жа может иметь совпадающие вершины. Мы назовем A вырожденной сторо�ной через совпадающие вершины, если A получено как предел сторон A" , " ! 0невырожденных треугольных орбит. Для такой стороны A ее образ при отра�жении определен как предел (который существует как предел Опр. 6) образовA" .Рассматривая семейство прямых A" , касательных к и сходящихся к A, ивычисляя их образы (применяя Лемму 4.6 ниже), мы можем получить представ�ления о том, как выглядят вырожденные треугольные орбиты эллиптическогобильярда, см. Лемму 4.7.Лемма 4.6. Пусть A – общая изотропная касательная к двум аналитическим(алгебраическим) кривымии пусть точки касания – квадратичны и раз�личны.

Если A деформируется в семействе A" (A = A0 ) касательных кривыхктогда образ A" относительно отражения по отношению кстремится кнекоторой неизотропной кривой при " ! 0.Доказательство. Более менее эквивалентное этой Лемме (и даже более общее)утверждение содержится в [73], см. Предложение 2.7. Теперь формально неза�висимая, формулировка этой Леммы вдохновляется этой статьей.Изотропная прямая A деформируется в семействе A" : предположим, чтоэто семейство выбрано таким образом, что угол между A и A" равен в точности".

Предположим, что A" пересекаетв некоторой точке a" , стремящейся к точ�ке a0 изотропного касания. Несложное вычисление показывает, что посколькуточки касания квадратичны, касательная прямая T" к в точке a" образуетpугол порядка " с A.Вместе с Леммой 4.4 это рассуждение показывает, чтопредел отраженных прямых – неизотропная прямая.Теперь мы можем вырожденные треугольники, появляющиеся в нашей за�даче.1Лемма 4.7. Если треугольная орбита в комплексифицированном эллипсевырождена, тогде она имеет две совпадающие неизотропные стороны B и однувырожденную изотропную сторону A.Доказательство. Поскольку deg= 2, две вершины вырожденного треуголь�ника должны совпасть, поэтому вырожденная сторона A через них должнакасаться ии , и поэтому она изотропна, см.

4.5. Другие стороны, по Лемме4.6, неизотропны, и они должны совпадать.Лемма 4.8 (Основная лемма). Комплексная кривая центров вписанных окруж�ностей C пересекает комплексную прямую F , проходящую через вещественныефокусы эллипсав ровно двух точках с кратностью один.Доказательство. Пусть c 2 C \ F и предположим сначала, что соответствую�щий треугольник вырожден, см.

Рис. 4.2. По Лемме 4.7 одна из сторон этоготреугольника изотропна, а две другие неизотропны и совпадают. Мы обозна�чим изотропную сторону A, а неизотропную сторону B. Прямая A касаетсявписанной окружности, и поэтому, по Лемме 4.5, c 2 F \ A. Также точка cявляется точка пересечения биссектрис, поэтому или c 2 B, или c 2 B ? . Заме�тим, чтоB касается вписанной окружности, поэтому если c 2 B, то B должнабыть изотропной, противоречие. Поэтому c 2 B ? , но тогда по Лемме 4.5 c будетфокусом.

Прямая B ? касаетсяи проходит через фокус, поэтому она должнабыть изотропной, что невозможно поскольку B неизотропна.Теперь рассмотрим случай невырожденного треугольника, соответствую�щего c 2 C \F . Рассмотрим отражение относительно F : вписанная окружность,а также ее центр c, переходят сами в себя. Если множество сторон треугольни�ка и их образов под отражением относительно F состоит из шести прямых,тогда вписанная окружность и эллипсдолжны касаться всех этих прямых.Однако пять касательных прямых уже определяют конику, поэтомудолжнабыть окружностью (а поэтому и ).

В этом случае Теорема 4.1 тривиальна и1Рис. 4.2. Два комплексных софокусных эллипсаи , имеющие четыре общие изотропныекасательные. Прямая F вещественных фокусов проходит через пересечения изотропных пря�мых. Вырожденная траектория эллиптического бильярда вс каустикой : вырожденныйтреугольник – это отрезок между точками 1 и 2 , и его стороны A и B. Прямая A изотропна,а прямая B – нет.рассматриваемое геометрическое место центров – это центр исходной окружно�сти.Поэтому некоторые стороны треугольника должны отображаться в неко�торые другие стороны, или сами в себя.

Рассмотрим два случая: в первом естьсторона, отображающаяся в себя, и во втором есть две стороны, которые отоб�ражаются друг в друга. Но второй случай сводится к первому, поскольку точкипересечения двух переставляющихся прямых с(не лежащие на F ) переходятв друг друга, поэтому прямая, их соединяющая, отображается сама в себя.Поэтому, в невырожденном случае, соответствующий треугольник имеетсторону, симметричную относительно F и касательную к . Таких прямых две,и они дают две точки пересечения с F (два центра вписанных окружностей) c1и c2 , обе вещественные, см. Рис. 4.3), и по одному соответствующему треуголь�нику для каждой ci , i = 1, 2.Теперь докажем, что пересечения C \ F имеют кратность 1.

Для этогопараметризуем эллипспараметром ", и рассмотрим соответствующий центр1Рис. 4.3. Две треугольные орбиты в, соответствующие центрам вписанных окружностейc1 , c2 , лежащим на линии фокусов Fc(") 2 C, предполагая, что c(0) 2 F . Достаточно показать, что@c@" (0)6= 0.Предположим обратное: пусть центры окружностей не меняются в линейномприближении, c(") = c(0) + O("2 ). Тогда радиус вписанной окружности r(")имеет ненулевую производную в " = 0, кроме случая если для " = 0 и впи�санная окружности, и эллипскасаются сторон треугольника в одних и техже точках.

Это невозможно, посколькуне является окружностью и две раз�личные коники не могут касаться друг друга в больше чем дву точках. По�этому мы получаем, что радиусы вписанных окружностей меняются линейно:r(") = r(0) + ↵"(1 + o(1)) for ↵ 6= 0. Но это невозможно из-за симметрии:действительно, радиус есть четная функция ".Теперь Теорема 4.1 следует из основной Леммы 4.8 поскольку комплекснаяалгебраическая кривая, пересекающая некоторую прямую в ровно двух точках(с кратностями) является коникой.4.3. Доказательство теоремы: планиметрияЗададимся в этой части целью доказать Теорему 4.1, используя только ме�тоды планиметрии.

Доказательство, которое мы приведем здесь совсем нетриви�13ально, но это самое простое доказательство, которое нам удалось найти. Дока�зательство использует базовые идеи проективной геометрии, а также свойстваточки Жергонна и изогонального сопряжения.Напомним несколько базовых (и менее) определений и свойств.4.3.1. Полюс и поляраОпределение 8. Полярой точки P по отношению к невырожденной кривойвторого порядка называется множество точек N , гармонически сопряженныхточке P по отношению к точкам M1 и M2 пересечения кривойпрямыми,проходящими через P . Это значит, что двойное отношение четырех точек фик�сировано и равно1:(M2 , M1 , P, N ) =M2 P M 1 N·=M2 N M 1 P1,(4.1)если отрезки рассматриваются с соответствующими ориентациями, см. Рис.

4.4.Можно доказать, что поляра – это прямая. Для этой прямой точка P iна�зывается полюсом. Заметим, что если провести две касательные прямые к квад�рики из точки P , то поляра есть прямая, проходящая через эти точки, см. Рис.4.4.Мы можем также определить полярное преобразование относительно невы�рожденной квадрики в проективной пространстве, отображение точек в про�странство прямых (которое находится во взаимно-однозначном отображении ссамим пространством): каждая точка отображается в соответствующую поляр�ную прямую. Таким образом, можно определить образ квадрики под действиемполярного преобразования (по отношению к некоторой квадрике), рассматри�вая образы касательных прямых.

Несмложно показать, что образ квадрики поддействием полярного преобразования - снова квадрика, см. например [79]. Дляподробной информации о полярном преобразовании см. [79–82].1Рис. 4.4. Для любой точки P можно определить соответствующую ей полярную прямую p.Для любой прямой, пересекающей конику в точках M1 , M2 , точка N 2 p определяется какточка, для которой выполнено (4.1). Если точка P находится вне эллипса, поляра - это точка,соединяющая точки касания двух касательных из P к конике.4.3.2. Точка Жергонна и изогональное сопряжениеНаше доказательство будет также использовать понятие точки Жергонна.Она была открыта Джозефом Диазом Жергонном в начале XIX века.

Опреде�ление этой точки проистекает из теоремы:Теорема 4.9. Для любого треугольника ABC и для соответствующей вписан�ной окружности обозначим A1 , B1 , C1 соответственно точки касания вписаннойокружности со сторонами треугольника. Тогда прямые AA1 , BB1 иCC1 пересе�каются в одной точке G, которая называется точкой Жергонна, см. Рис. 4.5.Точка Жергонна обладает огромным количеством чудесных свойств, длядвадцати из них, открытых с помощью компьютера, см. статью Деко Декова[83]. Другое интересное определение, которое нам понадобится – изогональноесопряжение. Оно также приходит с теоремой:Теорема 4.10.