Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 25

Если h 2 H↵ " , то такжеh 2 H↵ " . Более того, дляh 2 N , существуют многочлены T̃2 (") и T̃40 ("), T̃40 (")(0) = 0 степеней 2 и 41соответственно, такие что||h||[↵],"  T̃40 (")A↵ + T̃2 (")Доказательство. Чтобы оценить норму Гёльдера оператора сдвига, нам потре�буются ещё несколько неравенств треугольника:| h(b1 , x)h(b2 , x)| = |(1 + xhb1 )2 Qb1 |Qb1Qb2 | + 2x |hb1 Qb1 Q(b1 , x + h̄b1 )hb2 Qb2 | + x2 h2b1 Qb1Q(b1 , x + h̄b2 ) + Q(b1 , x + h̄b2 )+ 2" hb1 Q(b1 , x + h̄b1 )Q(b2 , x + h̄b2 )(1 + xhb2 )2 Qb2 | + 2" |Qb2 (hb1Q(b1 , x + h̄b2 )h2b2 Qb2 Q(b2 , x + h̄b2 ) ++ 2" hb1 Q(b1 , x + h̄b2 )hb2 )| + "2 h2b1 Q(b1 , x + h̄b1 )+ "2 h2b1 Q(b1 , x + h̄b2 )гдеQ(b1 , x + h̄b2 ) +Q(b2 , x + h̄b2 ) + "2 |Qb2 | h2b1 h2b2 ⌘⇣↵0 ||b1 b2 || T̃4 (")A↵ + T̃2 (") ,0T˜4 (") = Lipx Q"2 + 2"3 ALipx Q + 2"||Q||C + "4 A2 LipQ + 2||Q||C A"2T̃2 (") = CQ + 2"ACQ + "2 A2 CQ .Все сформулированные выше предложения доказаны.

Это завершает до�казательство нашего основного результата � теоремы 5.2.Теперь мы готовы доказать, что сопряжение гладко по переменной слоя игёльдерово вместе со своими производными по переменным базы.Доказательство теоремы 5.3.Доказательство гладкой версии теоремы 5.2 аналогично доказательству по�следней теоремы. Здесь мы дадим набросок доказательства: мы покажем толь�ко, что сопряжение H является (k2)-гладким относительно переменной слоя.Доказательство факта, что производные по переменной слоя гёльдеровы по b,16аналогично доказательству гёльдеровости для самой функции H, и здесь мыего не приводим.Идея состоит в подходящей замене пространства N . Для некоторых кон�стант A0 , . .

. , Al > 0 и {0 , . . . , {l > 0 определим пространствоnlNl := h(·, b) 2 C ([0, "]) : ||h||C  A0 , . . . , hс нормой(l)C Alo||h||⇤ = {0 ||h||C + . . . + {l ||h(l) ||C .(5.56)Теперь нам нужно доказать аналоги лемм 4, 6 и 5 выше, а далее применитьаргументы теоремы 5.2. Гомологический оператор и оператор сдвига останут�ся прежними, хотя функциональное пространство, на котором они действуют,уменьшится, и и в этой метрике они будут не непрерывными, а гладкими.Лемма 1 (гладкий случай) Оператор L ограничен в норме (5.56).Доказательство.||Lh||⇤ =lXj=0(j){j ||(Lh) ||C lXj=0D{j||h(j) ||C j+11 q1D XD||h||⇤ .

(5.57){j ||h(j) ||C =1 q j=01 qЧтобы пространство Nl отображалось в себя оператором L , нам нуж�но подходящим образом выбрать константы A0 , A1 , . . . , Al . Чтобы оператор Lбыл сжимающим на этом пространстве, нам нужно подходящим образом вы�брать {0 , . .

. , {l . Покажем, что эти два выбора можно сделать без затруднений,и верны аналоги лемм 6 и 5.Что касается оператора, мы используем его представление (5.43) и вы�числим производные для k = 0, . . . , l : при помощи правила Лейбница:17( h)(k)=kXCkj ((1 + xh(b, x))2 )(j) Q(kj)(b, x + h̄).j=0Явный вид правой части не так важен, как факт, что она может бытьзаписана в виде суммы многочленов от производных функций h, h̄ и Q.

В самомделе, существуют многочлены ⌧0 , . . . , ⌧l и( h)⇥j⇣(k)=0, . . . ,kXl,такие чтоCkj ⌧j (x, h, . . . , h(j) )⇥(5.58)⌘⌘(5.59)j=0x, h̄, . . . , h̄(kj), Q b, x + h̄), . . . , Q(kj)(b, x + h̄Мы оценим непрерывную норму правой части равенства (5.58) в Td ⇥ [0, "].Таким образом, мы получим, что для некоторых многочленов Tj и Sj вернаоценка(k)||L h ||C," kXj=0Ckj Tj (", A0 , . . . , Aj )Sj (", A0 , . . .

, Ak j , ||Q||C , . . . , ||Q(kj)⌘||C .(5.60)Обратим вниманием, что коэффициент при Ak в этом выражении являетсямногочленом без свободного члена. Действительно, Ak приходит только из Tkи S0 , обоих случаях Ak умножается хотя бы на один ". Значит, нам нужнонайти такие A0 , . . . Al , что выполнено следующее l +1 уравнение на многочленыPk , Pk0 , Pk0 (0) = 0:Pk0 (")Ak + Pk (")C(A0 , .

. . , Ak 1 )  Ak , k = 0, . . . , l(5.61)Сначала выберем " таким образом, чтобы Pk0 (") < 1 для всех многочленов.Затем мы последовательно подберём решения уравнений (5.61), начиная с k =0, последовательно выбирая Ak , начиная с A0 и последовательно увеличиваяиндекс.1Теперьнамнужнодоказать,чтооператорL являетсясжимающимнапространстве N при подходящем выборе {0 , .

. . {l .Можно показать, что||L hL g||⇤ jl⇣⇣XD Xk(k){j ||Cj ⌧k (x, h, . . . h ) k x, h̄, . . . , h̄(j k) , Q(b, x + h), . . . ,1 q j=0k=0⌘⇣(j k)Q(b, x + h)⌧k x, g, . . . g (k) ) k (x, ḡ, . . . , ḡ (j k) , Q(b, x + g), . . . ,01ll⌘⌘XX||h(k) g (k) ||C," @{k Uk0 (") +Uj ("){j AQ(j k) (b, x + g) ||C," j=0j=k+1Для некоторых многочленов Uj , Uj0 . Чтобы правая часть оказалась меньше, чем⇠||hg||⇤ для некоторого ⇠ < 1, должна быть выполнена следующая системанеравенств:{1{lU0 (") + .

. . U0 (")  ⇠{0{0{2{lU10 (") + U0 (") + . . . U0 (")  ⇠{1{1U00 (") +...Ul0 1 (") +{lUl 1 (")  ⇠{l 1Ul0 (")  ⇠Можно выбрать " таким образом, чтобы Uk0 (") < ⇠. Тогда последнее нера�венство в списке выполнено, и, выбирая любые достаточно большие {l и {l 1 ,мы делаем верным предпоследнее неравенство; далее продолжаем аналогичнымобразом выполнять неравенства от последнего к первому.Таким образом мы получаем сжимающий оператор. Мы доказали, что напространстве Nl функций, определённых в окрестности базы с подходящим об�разом выбранной метрикой, оператор L является сжимающим.

Его неподвиж�1ная точка и является требуемым сопряжением, которое является достаточногладким по переменной слоя x.⇤1ЗаключениеЯ хочу в первую очередь поблагодарить моих научных руководителей.Спасибо Юлию Сергеевичу за то, что он поделился со мной своим видениемматематики, за его умение объяснить и понять. Спасибо Вам за возможностьбыть частью нашего семинара (однокоренное с семья). Спасибо Этьену за всючудесную математику, которой он меня научил и за дружескую поддержку вмоменты сомнений.

Я хочу также поблагодарить моих соавторов и наш москов�ский семинар за счастье обсуждать и решать сложные задачи вместе.И спасибо моим друзьям, за всё.1Литература1. Ilyashenko Yu. , Romaskevich O. Sternberg linearization theorem for skew prod�ucts // Journal of Dynamical and Control systems. URL: http://arxiv.org/abs/1505.05776 (дата обращения: 25.04.2016).2. Bowen L., Bufetov A., Romaskevich O. On convergence of spherical averages forMarkov operators // Geometriae Dedicata.

2016. Vol. 181 (1). P. 293–306.3. Romaskevich O. On the incenters of triangular orbits on elliptic billiards //L’Enseignement Mathématique. 2014. Vol. 60 (2). P. 247–255.4. Klimenko A., Romaskevich O. Asymptotic properties of Arnold tongues andJosephson effect // Moscow Mathematical Journal. 2014. Vol. 14:2. P.

367–384.5. Клепцын В., Ромаскевич О., Щуров И. Эффект Джозефсона ибыстро-медленные системы // Наноструктуры. Математическая физика имоделирование. 2013. Vol. 8:1. P. 31–46.6. Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the Modern Theory of DynamicalSystems. Cambridge Uni.Press, 1994.7.

Лихарев К. К., Ульрих Б. Т. Системы с джозефсоновскими контактами:основы теории. Москва: Издательство МГУ, 1978.8. Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. МЦНМО, 2000.9. Karpov O. V., Buchstaber V. M., Tertychniy S. I. et al. Modeling of rf-biasedoverdamped Josephson junctions // J.

Appl. Phys. 2008. Vol. 104:9.10. Buchstaber V. M., Karpov O. V., Tertychnyi S. I. Features of the dynamics ofa Josephson junction biased by a sinusoidal microwave current // Journal ofCommunications Technology and Electronics. 2006. Vol. 51:6. P. 713–718.111. Бухштабер В. М. , Карпов О. В. , Тертычный С. И. Математические моделидинамики сильношунтированного перехода Джозефсона // УМН. 2008. Т.63:3(381).

С. 155–156.12. Бухштабер В. М. , Карпов О. В. , Тертычный С. И. Эффект квантованиячисла вращения // ТМФ. 2010. Т. 162:2. С. 254–265.13. Бухштабер В. М., Карпов О. В. , Тертычный С. И. Система на торе, мо�делирующая динамику перехода Джозефсона // УМН. 2012. Т. 67:1(403).С. 181–182.14. Бухштабер В. М. , Тертычный С. И. Семейство явных решений уравне�ния резистивной модели перехода Джозефсона // ТМФ. 2013. Т. 176 (2).С.

163–188.15. Глуцюк А. А., Клепцын В. А., Филимонов Д. А., Щуров И. В. О квантова�нии перемычек в уравнении, моделирующем эффект Джозефсона // Функц.анализ и его прил. 2014. Т. 48:4. С. 47–64.16. Ильяшенко Ю.С., Филимонов Д.А., Рыжов Д.А. Захват фазы дляуравнений, описывающих резистивную модель джозефсоновского перехода,и их возмущений // Функц. анализ и его прил. 2011. Vol. 45:3. P. 41–54.17. Marvel S. A., Mirollo R. E., Strogatz S. H.

Identical phase oscillators with globalsinusoidal coupling evolve by M?bius group action // Chaos. 2009. Vol. 1918. Тертычный С. И. Об асимптотических свойствах решений уравнения '˙ +sin ' = f при периодическом f // Успехи Мат. Наук. 2000. Т. 55(1):186.19. Foote R.L. Geometry of the Prytz planimeter // Reports on mathematicalphysics. 1998. Vol. 42. P. 249–271.20. Finn D. Can a bicycle create a unicycle track? // The Mathematical Associationof America. 2002. P. 283–292.16 Uy²ƒ¾X¾ cnsnu—„Œ ²¾ a¾ \—¾ sƒu¹uy¾ ­„¤y¾ ­£nuŒ«¾ €y ”y­£¹¾ n­uy­¾¡n—„”y­y¤Xy—»„—¬¾u —Šyu­¯£y¾n—x¾  «uƒo­„ —¾  {¾¯—ƒu¹uy¾ ­¤nuŒ«¾ ¾ 9¶¡y¤„”y—­n¾Xn­z”n­ƒu«¾ ,¾ g ¾+¾ _¾* +( ;¯uŒy—y„”y£¾ M¾ C¹n«y—Œ ¾ k¯a¾ cy¾ x¯uŒ¾ n—x¾ ­y¾ xy³„-¾ un—n¤x«¾  —¾ ­y«­n„£ury¾¾X «u ´¾Xn­y”n­ƒun¾M ¯¤—n¾ ¾ g ¾-¾ _¾*#*! [y´¤ u¾`¾in®¾n£y¾M «y¡« —¾‹°—u®ƒ —«0¾< ´¾x ¾­yº¾´ ¤1¾¾¾buƒy—®…~u2”y¤ƒunž¾ ,,*# 8¤ »x ²¾2¾_¾ :¤y”y­«¾X¾D¾n—x¾S«y— —­ ²¾g¾c¾a¹…—¾a¾D¾5 —²y—­„ —n«¯¡y¤u —x¯u­„²„­¹¾n­¾ ¾ n­¾ƒ€¾¡¤y««¯£y«¾ $$ N‚¥¶n¡y3¾S¾43yy–¨y¾3¾¥œnYKTl¾"ywu =]36T?j¾ªy¡y·  3¾<n¹¸n¾,+$( c„—Œn•¾X¾D—­£ x¯u­ƒ —¾ ­ ¾a¯¡y¤u —x¯u­ƒ²„­¹¾ 8 ²y£¾,,(* an¡ƒ£ ¾ a¾ M «y¡« —¾ 5¯££y—­«¾ ƒ—¾ a¯¡y£u —x¯u­„—€¾ e±——y„—€-¾ cy¾ :}yu­¾  {Xƒu£ ´n³y«¾n—x¾ \­y£¾\s«y£²n­„ —«¾¾_¹«¾ `y²¾ Uy­­¾ ,( ¾ g ¾ -++ 2¡=]O‡t¾4¾ Z¾ ¦y Yyd¡h†y6T’|y¾Yyd]t‘¾ 3¾dy]¡KGH¾ )t@T=^3½==t‘j¾EF/wy¡y=¼V“|qt=tAj¾ ¹¡n3=y=EF‰¾ X uT3n.¾ Z"ŸndyO‡t6d3]¾Xf<X\¾ , Z˜t%B@@I½>T]¾ L5¾ QyTWKK¾ ™ ¾ K=nYµ©uTEFY¾ 6GH6dyYnY¾ Rydˆ&¾ @@JT]O‡n¾ ,¾ :§ ¡ 3¾ m¡n3=½=EF'¾ _EFTTndEF¾ X uT3n-¾ 7K"YndPEHd¾  ;¯­«¹¯Ž¾2¾`¹s—ƒŒ ²¾U¾\—¾{p”„„y«¾ {¾xƒ}y£y—­ƒn¾y¢¯n­„ š«¾ —¾­´ ­ £¯«¾´ƒ­n¾2£— x¾­ —€¯y« < ¹¾a¾n—x¾ Mn—¯«¾ 2¾an¡„¤ ¾a¾ :}yu­¾ {¾Xƒu¤ ´o²y«¾ —¾M «y¡« —¾ 5¯¤£y—­«„—¾a¯¡y£v —x¯u­ƒ—€¾e±——yƒ—€¾¾ `y²¾X x¾_¹«¾ ,(#¾ g ¾ (¾ _¾ $ 4n£ —y¾2¾¾_n­y£— ¾;¾_¹«ƒu«¾n—x¾2¡¡ƒun­„ —«¾ {¾­y¾M «y¡« —¾:}yu­¾ M —iƒy¹¾n›x¾ a —«¾ ,+134.