Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 3

Таким образом под�ход марковских сферических средних позволяет доказывать теоремы о сходи�мости сферических средних для конечно-порожденных групп с соотношениями,16Grigorchuk R. I. Ergodic theorems for actions of free semigroups (1999)17Bufetov A. I. Convergence of spherical averages for actions of free groups (2002)15для которых возможно марковское кодирование: в частности и в особенности,групп поверхностей и гиперболических групп. Первые результаты, связанныесо сходимостью сферических средних для гиперболических по Громову групп,полученные в предположении о сильном экспоненциальном перемешивании дей�ствия, принадлежат Фудживаре и Нево18 . Нас, однако, интересовала сходимостьсферических средних без каких либо предположений о самой природе действия.В общем случае (для произвольной матрицы ⇧) вопрос о сходимости всреднем марковских сферических средних пока не решен.

Стоит отметить, чтосходимость почти всюду не имеет места: Терренс Тао недавно привел пример19сохраняющего меру действия свободной группы и интегрируемой функции ' 2L1 (X, µ) таких, что для µ-почти всех x 2 X сферические средние неограниченыпо n:lim sup |Sn '(x)| = 1.n!14. В четвертой главе диссертации рассматривается планиметрическая за�дача, связанная с эллиптическим бильярдом. Рассматривается однопараметри�ческое семейство орбит периода три эллиптического бильярда. Каждая орбитазадается треугольником, биссектрисы которого перпендикулярны исходному эл�липсу.В данной диссертации доказывается, что геометрическое место центроввписанных в эти треугольники окружностей есть эллипс.Диссертация основывается на классических теоремах геометрии бильяр�дов: теореме Понселе и теореме о существовании каустик эллиптического би�льярда, а также продолжает подход Алексея Глуцюка20 ,предложившего исполь�зовать комплексный закон отражения для изучения динамики периодическихорбит бильярдов.Таким образом, теорема о центрах вписанных окружностей доказывается18Fujiwara K., Nevo A.

Maximal and pointwise ergodic theorems for word-hyperbolic groups, (1998)19Tao T. Failure of the L1 pointwise and maximal ergodic theorems for the free group, (2016)20Glutsyuk A. On quadrilateral orbits in complex algebric planar billiards (2014), Glutsyuk A., KudryashovYu. No planar billiard possesses an open set of quadrilateral trajectories (2012)16посредством методов комплексной алгебраической геометрии. Основной идеейявляется идея о том, что комплексифицировав задачу, достаточно доказать,что искомое геометрическое место точек является комплексной алгебраическойкривой степени 2.

Это следует из несложных геометрических наблюдений.Таким образом, комплексный подход оказывается проще вещественного,который также приведен в диссертации.5. Пятая глава диссертации относится к теории нормальных форм гипербо�лических отображений. Она основана на совместной работе с Ю.С. Ильяшенко.Основным объектом изучения является класс гёльдеровых косых произве�дений.Косые произведения есть отображения прямого произведения базы B наслой I следующего вида:F : M = B ⇥ I ! M, (b, x) 7! (↵(b), fb (x)).Здесь ↵(b) – преобразование базы (часто – сдвиг Бернулли на пространствепоследовательностей в случае дискретной базы или гиперболическое отображе�ние в случае многообразия в базе), а fb (x) - послойное отображение, зависящееот элемента базы.Таким образом, косые произведения являются одним из примеров отоб�ражений с инвариантным слоением: здесь инвариантное слоение состоит извертикальных листов {b = const}. Понимание косых произведений, таким об�разом, является первым шагом в изучении динамики слоений, и им посвященонеобозримое количество работ.Косые произведения, удовлетворящие так называемому условию dominatedsplitting condition (DSC) являются частным случаем нормально гиперболиче�ских систем.Свойство нормальной гиперболичности (и, в частности, свойство DSC) га�рантирует тот факт, что динамика в слое слабее динамики в базе.

Оказывается,что при C 1 возмущении нормально гиперболические системы сохраняют инва�17риантное слоение с гладкими слоями, но в трансверсальном направлении этослоение может не быть гладким.В последнее десятилетие было показано, что в трансверсальном направле�нии инвариантное слоение возмущения диффеоморфизма с несильной динами�кой вдоль слоев трансверсально гёльдерово.

При этом показатель гёльдерово�сти связан с соотношением динамики по слоям и в базе (чем слабее динамикав слое, тем выше гладкость). Это было доказано А.Городецким21и Ю. Илья�шенко-А.Негутом22 для случая косых произведений, и позднее в работе Ч.Пью,М.Шуба и Э.Вилкинсон23 в более общем контексте нормально гиперболическихотображений.Это важное понимание степени гладкости возмущений косых произведенийпозволяет строить примеры открытых подмножеств в пространстве диффео�морфизмов, обладающих странными аттракторами.

Процесс построения частоидет по одной и той же схеме: странный аттрактор строится сначала в классе ко�сых произведений, а затем доказывается, что он сохраняется при возмущении.Таким образом, новые найденные эффекты диффеоморфизмов косых произве�дений могут быть перенесены на гёльдеровы косые произведения, и тем самымможет быть доказана их типичность.Эта программа выполнена в большом числе работ: для построения отоб�ражений с неустранимыми нулевыми показателями Ляпунова24 , отображениймногообразий с краем с аттрактором Милнора положительной меры25 , отобра�жений с перемжающимися бассейнами притяжения26 , костистых аттракторов27 .В данной диссертации, в рамках этой программы, мы ищем локальную21Городецкий А.С. Регулярность центральных слоев гипрболических множеств и приложения (2006)22Ilyashenko Yu.

S., Negut A. Hölder properties of perturbed skew products and Fubini regained (2012)2324Pugh C., Shub M., Wilkinson A. Hölder foliations, revisited (2012)Ильяшенко Ю.С., Городецкий А.С., Клепцын В.А., Нальский М.Б. Неустранимость нулевых пока�зателей Ляпунова (2005)25Ilyashenko Yu. S. Thick attractors of step skew products (2010), Ilyashenko Yu. S. Thick attractors ofboundary preserving diffeomorphisms (2011)26Ильяшенко Ю.С. Диффеоморфизмы с перемежающимися бассейнами притяжения27Кудряшов Ю.Г.

Костистые аттракторы (2010)18нормальную форму для косого произведения F : M ! M над линейным ги�перболическим автоморфизмом A тора B = Td и со слоем отрезок в окрестно�сти неподвижной гиперболической точки. А именно, мы ищем гомеоморфизмH : M ! M , касательный к тождественному отображению, сопрягающий ис�ходное гиперболическое косое произведение с его линейной частью(b, x) 7! (Ab, (b)x),где (b) - мультипликатор линейной части исходного отобраения в слое.Важным в этой задаче является тот факт, что интересующее нас сопряже�ние H имеет специальный вид: H не меняет координату в базе, то есть сохраняетструктуру косого произведения:H(b, x) = (b, x + hb (x)).Существование такой нормальной формы (сопряжения с линейной частьюгомеоморфизмом, сохраняющим слои) дает возможность упрощать изучениекосых произведений и их возмущений в окрестности неподвижной точки.

Ин�тересным для нас в этой главе является вопрос изучения степени гладкостизависимости сопряжения H от точки в базе.Цели и задачи диссертационной работы.1. Целью первой главы диссертации было дать максимально точное описа�ние языков Арнольда для уравнения Джозефсона.2. Целью второй главы диссертации было решить задачу Лагранжа о на�хождении асимптотической угловой скорости вращающейся цепи на произволь�ной полной ориентированной римановой поверхности и, в частности, установитьответ в этой задаче для плоскости Лобачевского и сферической геометрии. Зада�ча о поиске асимптотической скорости конца вращающейся цепи на плоскостиЛобачевского была поставлена нам А.М.

Степиным. А.М. Степин высказал ги�потезу, что ответ для вращающейся системы отрезков длинами lj , j = 1, 2, 3на гиперболической плоскости должен выражаться как выпуклая комбинация19угловых скоростей !j с коэффициентами -функциями углов треугольника, со�ставленного из этих отрезков (аналогично евклидовому случаю) и предложилгипотезу:!=3Xj=1↵j !j.↵1 + ↵2 + ↵3Нашей целью было подтвердить (или опровергнуть) эту гипотезу.3.

Целью третьей главы диссертации было развить эргодическую теориюповедения сферических средних для действий конечно-порожденных групп идоказать теорему о сходимости марковских сферических средних в максималь�но общих условиях на стохастическую матрицу ⇧.4. Целью четвертой главы диссертации было доказать теорему планимет�рии о центрах вписанных окружностей для орбит периода три в эллиптическомбильярде, используя чисто комплексные методы.5.

Целью пятой главы диссертации было найти более простую нормальнуюформу для гиперболических косых произведений в окрестности неподвижнойточки и доказать, что к ней можно привести любое косое произведение с помо�щью гомеоморфизма, сохраняющего послойную структуру, а также доказыватьсвойство гёльдеровости (по базе) этого гомеоморфизма.Научная новизна работы.Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты за�ключаются в следующем.1. Доказано асимптотическое поведение языков Арнольда уравнения Джо�зефсона в режиме большой амплитуды: языки Арнольда приближаются цело�численными функциями Бесселя, когда b ! 1.2.

Описана структура языков Арнольда уравнения Джозефсона в режимемалой внешней частоты сигнала, при µ ! 0. Доказано, что в ограниченныхподмножествах плоскости параметров (a, b) зазоры между языками Арнольдаэкспоненциально малы по µ.3. Решена задача Лагранжа при достаточно малых длинах звеньев трех�20звенной вращающейся цепи для произвольной римановой ориентированной иполной поверхности.4.