Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 9

Она приводит произвольную решетку к диагональному базису над ℚ[√2] и записывает условие того, чтопредыдущие координаты принадлежат кольцу целых ℤ[√2].Затем она воспроизводит шаги алгоритма Винберга, следуя в основном реализации Р. Гульельметти (подробное описание см. в [29]).Автором было реализовано также в виде отдельного программного кода доказательство нерефлективности некоторых решеток, использующее методы пониженияразмерности и поиска симметрии бесконечного порядка, разработанные В. О. Бугаенко (см. [17] и [29]).

Эти методы применяются также в проекте Р. Гульельметти.3.5. Исследование на устойчивую рефлективность3.5.1. Алгоритм ВинбергаНесомненно можно проводить алгоритм Винберга не для группы (), а для группы (). Для этого достаточно проводить перебор только по устойчивым отражениям. Но как правило эффективнее оказывается проводить алгоритм для всей группы ().3.5.2. Метод “плохих” отраженийЕсли удалось найти фундаментальный многогранник группы () для некоторойгиперболической решётки , то легко выяснить, является ли она устойчиво рефлективной. Можно рассмотреть подгруппу , порождённую не устойчивыми отражениями (будем называть такие отражения “плохими”) в стенках фундаментального многогранника группы ().

Верна (см. лемму в §12 в [27]) следующая лемма.Лемма 3.5.1. Решётка является устойчиво рефлективной тогда и только тогда, когда она рефлективна и группа конечна.Доказательство. Достаточно доказать, что () = () ⋊ .■Это утверждение доказывается аналогично лемме в §12 в работе [27].На самом деле, для доказательства того, что решётка не является устойчиво рефлективной, достаточно построить лишь часть фундаментального многогранника,в которой найдётся бесконечная подгруппа, порождённая плохими отражениями.433.6. Доказательство нерефлективности3.6.1. Метод Бугаенко понижения размерностиВ 1992 году В.

О. Бугаенко в статье [17] доказал теорему, позволяющую доказывать нерефлективность и рефлективность некоторых решеток с помощью повышения и понижения размерности соответственно.Теорема 3.6.1. Пусть гиперболическая решетка 1 разлагается в прямую суммугиперболической решетки 2 и эллиптической решетки . Пусть также 1 и 2 —пространства Лобачевского, векторные модели которых построены в пространствах1 = 1 ⊗ℝ и 2 = 2 ⊗ℝ соответственно.

Тогда существует такой фундаментальныймногогранник группы (1 ), что его пересечение с подпространством 2 пространства 1 является фундаментальным многогранником 2 для группы (2 ).Следствие 3.6.1. Если выполнено условие теоремы и 1 — рефлективная гиперболическая решетка, то 2 также является рефлективной гиперболической решеткой.3.6.2. Метод бесконечной симметрииВ 1992 году В.О. Бугаенко доказал следующую лемму (см. [17]).Лемма 3.6.1. Пусть — дискретная подгруппа в Isom(ℍ ).

Тогда группа бесконечна тогда и только тогда, когда существует какая-то ее подгруппа, не имеющаянеподвижных точек в ℍ .Благодаря этому доказательство нерефлективности сводится к следующему. Еслинам известна уже хотя бы часть фундаментального многогранника группы (),то мы можем найти несколько симметрий имеющейся схемы Кокстера.В случае, если эти симметрии сохраняют решетку , группа, ими порождённая,переводит многогранник в себя.

Если у этой группы нет неподвижных точек, тогдагруппа () автоматически оказывается подгруппой бесконечного индекса в группе′ ().3.7. Результаты работы программыПрограмма была протестирована на значительном количестве решёток ранга +1 ≤ 5. Для = 2 примеры брались из классификации рефлективных гиперболических решёток ранга 3 (В.

В. Никулин, см. [51]), для = 3 и = 4 — из классификации максимальных рефлективных изотропных3 гиперболических решёток рангов3Гиперболическая решётка называется изотропной, если соответствующая ей квадратичная форма представляетнуль, и анизотропной, если не представляет.44[−1] ⊕ 3[−2] ⊕ 3[−3] ⊕ 3[−4] ⊕ 3[−5] ⊕ 3[−6] ⊕ 3[−8] ⊕ 3[−9] ⊕ 3[−10] ⊕ 3[−12] ⊕ 3[−15] ⊕ 3 ⊕ [36] ⊕ [6]# граней455466791251215 (сек)0,71,91,00,661,561,51,7279,51,721.0228,756,6[−1] ⊕ [1] ⊕ 2[−2] ⊕ [1] ⊕ 2[−3] ⊕ [1] ⊕ 2[−4] ⊕ [1] ⊕ 2[−5] ⊕ [1] ⊕ 2[−6] ⊕ [1] ⊕ 2[−7] ⊕ [1] ⊕ 2[−8] ⊕ [1] ⊕ 2[−9] ⊕ [1] ⊕ 2[−10] ⊕ [1] ⊕ 2[−15] ⊕ [1] ⊕ 2[−30] ⊕ [1] ⊕ 2# граней4655781165111520 (сек)0,60,80,61,021,91,219,21,020,9114436,6Таблица 3.1: Решётки вида [−] ⊕ 3 , [−] ⊕ [1] ⊕ 2 для некоторых ≤ 15, а также ⊕ [36] ⊕ [6].4 и 5 (Р.

Шарлау и К. Вальхорн, см. [58]), а также для = 3 из классификационныхработ Э. Б. Винберга (см. [27]) и классификации устойчиво рефлективных решеток(см. [10], [62] и [11]).Bо всех проведённых тестах результаты программы в точности совпадают с вычислениями, проведёнными некогда вручную.Помимо этого, нами был найден ряд новых рефлективных решёток. Некоторые0 1результаты работы нашей программы представлены в таблице 3.1.

Здесь = []1 0обозначает стандартную двумерную гиперболическую решётку, а — евклидовукорневую решётку типа . Все представленные в данной таблице решётки новые,за исключением решёток [−1] ⊕ 3 и [−4] ⊕ 3 .Также нами установлена рефлективность решёток вида[−2] ⊕ 2 ⊕ [1]⊕⎵⏟⎵…⊕[1]⏟⎵⎵⎵⎵⏟−1при ≤ 6.На данный момент программа эффективно работает при 2 ≤ ≤ 5. Тем самым,она оказывается, к примеру, полезной в открытой проблеме классификации рефлективных решёток в размерности = 3 и уже успешно применялась автором диссертации для получения классификации устойчиво рефлективных гиперболических решеток.Алгоритм Винберга для гиперболических решёток над ℤ[√]Поскольку мы исследовали также рефлективность решёток над ℤ[√2], то возникла необходимость написать программу для алгоритма Винберга над квадратичными полями. На текущий момент получилась программа для решёток над ℤ[√2], которую нужно каждый раз немного править для каждой новой решётки.

Она преду45[− 3+2√13 ][− 3+2√13 ][− 3+2√13 ]# граней⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]24⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]39⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]440[−4 − √17] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−4 − √17] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−4 − √17] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]234# граней4620Таблица 3.2: Унимодулярные решётки над ℚ[√13] и ℚ[√17].√[−1 − 5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]23456# граней4571318√[−1 − 5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1]23456# граней4571318Таблица 3.3: Некоторые решётки над ℚ[√5].сматривает возможность того, что исследуемая нами решетка оказалась с неортогональным базисом.

Коды программы опубликованы в Интернете: https://github.com/nvbogachev/VinAlg-Z-sqrt-2-Для решеток с ортогональным базисом удобно использовать программу Р. Гульельметти, о которой упоминалось выше. Работа авторской программы была отчасти проверена на решётках таблицы 3.5.В результате экспериментов с разными программами автору удалось получить новые серии рефлективных гиперболических решеток различных рангов над различными квадратичными полями.

Часть этих результатов получена совместно с А. А. Колпаковым в 2017-2018 гг.Полученные результаты приведены в таблицах 3.2–3.5. В этих таблицах указываеися сначала вид решетки сигнатуры (, 1), затем указана размерность соответствующего пространства Лобачевского, а затем количество граней для фундаментального многогранника Кокстера соответствующей группы отражений.[−√2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1][−√2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]2345[−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]# граней461031Таблица 3.4: Некоторые решётки над ℚ[√2].4623456# граней3571145[−√2] ⊕ [1] ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]2345# граней46827[−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1][−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]Таблица 3.5: Некоторые решётки над ℚ[√2].472345# граней46827Глава 4Устойчиво рефлективные гиперболическиеℤ-решётки ранга 4В данной главе мы приводим классификацию устойчиво рефлективных гиперболических ℤ-решёток ранга 4.

Напомним, что в силу того, что числа 1 и 2 и есть все(1,2)устойчивые числа в кольце ℤ, группа () совпадает с группой (). Вместо устойчивой рефлективности мы будем иногда говорить об (1,2)-рефлективности. В данномслучае эти понятия равнозначны.4.1. Метод наиболее удаленного ребраВ этом параграфе мы описываем метод наиболее удаленного ребра (следуя работам [10], [62] и [11]), который эффективно применяется для классификации устойчиво рефлективных решеток. Имеет место следующее следствие из теоремы 2.8.1.Предложение 4.1.1.

Во всяком остроугольном компактном (то есть ограниченном) многограннике ⊂ ℍ3 существует ребро ширины не больше 7.Доказательство. Следуя Никулину (см. [49]) рассмотрим точку внутри многогранника . Пусть — наиболее удалённое1 от нее ребро, а — грань, содержащаяэто ребро. Пусть 1 , 2 — стороны этой грани, выходящие из разных концов ребра .Рассмотрим точку ′ — проекцию точки на грань .