Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки)

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшегообразования «Московский государственный университет имениМ. В. Ломоносова»Механико-математический факультетКафедра высшей алгебрыНа правах рукописиБогачев Николай ВладимировичРефлективные гиперболические решёткиДиссертацияна соискание учёной степеникандидата математических наук НИУ ВШЭНаучный руководитель:профессор, доктор физико-математических наукЭрнест Борисович ВинбергМосква 2019БлагодарностиПрежде всего, я очень рад поблагодарить своего учителя и научного руководителя профессора Эрнеста Борисовича Винберга за постановку интересных и красивыхзадач, постоянное внимание к работе, доброе отношение, многочисленные обсуждения, бесценные идеи и советы, без которых данная работа несомненно не была бынаписана.Я очень благодарен своим друзьям и коллегам Рафаэлю Гульельметти, АлександруКолпакову, Александру Перепечко, Анне Феликсон и многим другим за интересныеобсуждения и сотрудничество.

А также я благодарю своих друзей Никиту Алексеева,Алексея Наумова, Александра Перепечко и Александра Полянского за постояннуюподдержку, которая помогла мне справиться со многими трудностями.За ценные обсуждения моих и других исследований, за теплое отношение, гостеприимство и за интерес к моей работе я благодарю Дэниела Аллкока, Михаила Викторовича Белолипецкого, Валерия Алексеевича Гриценко, Рут Келлерхальс, Вячеслава Валентиновича Никулина и Осипа Владимировича Шварцмана.Я очень рад поблагодарить организаторов конференций и воркшопов в Швейцарии, Франции и России за прекрасную возможность выступить с докладами.Я также выражаю огромную признательность профессору Андрею МихайловичуРайгородскому, благодаря которому я оказался на кафедре дискретной математикифакультета инноваций и высоких технологий МФТИ. Финансовая поддержка моейработы осуществлялась в основном за счёт лаборатории продвинутой комбинаторики и сетевых приложений МФТИ, где я работаю научным сотрудником с 2017 года.Я благодарен коллективу этих подразделений Физтеха за прекрасную рабочую атмосферу и поддержку.Частичная финансовая поддержка моей работы в течение последних двух лет была также оказана фондами Саймонса, РФФИ и РНФ.Я благодарен своим родителям, Владимиру Игоревичу и Анне Николаевне Богачевым, открывшим мне мир математики.И конечно же я очень благодарен своей семье, жене Анастасии и сыну Александру, за то, что они были всегда рядом, за поддержку и любовь в течение всего этоговремени.1Оглавление1 Введение1.1 Основные понятия и предварительные сведения .

. . . . . . . . . . .1.1.1 Дискретные группы отражений . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2 Арифметические группы отражений и рефлективные гиперболические решётки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3 Открытые проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Результаты работы . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Результаты главы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2 Результаты главы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3 Результаты главы 5 . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .1.3 Апробация работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Дискретные группы отражений2.1 Три главные геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .2.1.1 Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Сферическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3 Пространство Лобачевского ℍ . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Многогранники в . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .2.2.1 Гиперплоскости и полупространства, выпуклые и остроугольные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2 Комбинаторное строение и матрица Грама остроугольных многогранников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Дискретные группы движений и фундаментальные многогранники .2.4 Группы отражений и многогранники Кокстера . . . . . . .

. . . . . .2.4.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2 Абстрактные группы Кокстера и схемы Кокстера . . . . . . . .2.4.3 Группы отражений в и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.4 Группы отражений в ℍ . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Квадратичные решётки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6 Арифметические дискретные группы простейшего типа . . . . . . . .255569101014151616181818181919202122232324252528302.7 Арифметические группы отражений и рефлективные гиперболическиерешётки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .2.8 Известные методы классификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.1 Метод Винберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.2 Методы Никулина и Аллкока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.3 Метод Шарлау . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9 Известные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3233333535363 Алгоритм Винберга и проект VinAl3.1 Общее описание алгоритма Винберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Компьютерные реализации алгоритма Винберга . . .

. . . . . . . . .3.3 Основные шаги программы VinAl и вспомогательные результаты . . .3.3.1 Выбор базисной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Построение фундаментального конуса . . . . . . . . . . . . . .3.3.3 Разложение корней решётки . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .3.3.4 Вывод корней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.5 Подпрограмма решения квадратичных диофантовых уравнений3.4 Программа для решеток над ℤ[√2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5 Исследование на устойчивую рефлективность . . . . . . . . . . . . . .3.5.1 Алгоритм Винберга . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .3.5.2 Метод “плохих” отражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6 Доказательство нерефлективности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6.1 Метод Бугаенко понижения размерности . . . . . . . .

. . . . .3.6.2 Метод бесконечной симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.7 Результаты работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39394040404141424242434343444444444 Устойчиво рефлективные гиперболические ℤ-решётки ранга 44.1 Метод наиболее удаленного ребра . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1 Ограничения на длину ребра для ℚ-арифметических компактных многогранников Кокстера в ℍ3 . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2 Доказательство теоремы 1.2.1 и ограничения на |(3 , 4 )| . . . .4.2 Короткий список решёток-кандидатов . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1 План нахождения короткого списка решёток-кандидатов . .

.4.2.2 Короткий список решёток-кандидатов . . . . . . . . . . . . . .4.3 Исследование на (1,2)-рефлективность и доказательство теоремы 1.2.248485 Устойчиво рефлективные гиперболические решётки ранга 4 над ℤ(√2)5.1 Метод наиболее удалённого ребра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Короткий список решёток-кандидатов . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.1 План нахождения короткого списка решёток-кандидатов .

. .6060616135052545456585.2.2 Короткий список решёток-кандидатов5.3 Исследование на устойчивую рефлективность5.3.1 Решётки с ортогональным базисом . .5.3.2 Решетки с неортогональным базисом .Литература........................................................61646469744Глава 1Введение1.1.

Основные понятия и предварительные сведения1.1.1. Дискретные группы отраженийПусть — одно из трех пространств постоянной кривизны, то есть либо -мерноеевклидово пространство , либо -мерная сфера , либо -мерное (гиперболическое) пространство Лобачевского ℍ . О различных моделях и геометрии этих пространств см. параграф 2.1.Рассмотрим выпуклый многогранник в пространстве . Если мы подействуемна группой , порождённой отражениями в гиперплоскостях его граней, то можетполучиться так, что образы этого многогранника при действии разными элементамигруппы покроют всё пространство и не будут иметь попарно общих внутреннихточек. В таком случае мы будем говорить, что группа является дискретной группойотражений, а многогранник является её фундаментальным многогранником.

Еслимногогранник является ограниченным (или, эквивалентно, компактным), то группа называется кокомпактной группой отражений, если же многогранник имеетконечный объём, то группа называется коконечной или дискретной группой конечного кообъёма.Какие свойства характеризуют фундаментальные многогранники для дискретных групп отражений? Например, всякие две гиперплоскости и , ограничивающие , либо не пересекаются, либо образуют двугранный угол, равный / , где ∈ ℤ, ≥ 2.Такие многогранники называют многогранниками Кокстера, поскольку дискретные группы отражений (значит, и их фундаментальные многогранники) для = , были определены и найдены Г. Кокстером в 1933 году (см. работу [35]).В 1967 году (см. [19]) Э. Б.

Винберг разработал теорию дискретных групп, порождённых отражениями в пространствах Лобачевского. Он предложил новые методы исследований гиперболических групп отражений, в частности, описание такихгрупп в виде схем Кокстера, сформулировал и доказал критерий арифметичности для5групп отражений и привел ряд различных примеров. В главе 2 мы приводим подробное описание теории дискретных групп, порождённых отражениями.1.1.2.

Арифметические группы отражений и рефлективные гиперболические решёткиПусть — вполне вещественное поле алгебраических чисел, — кольцо его целых элементов. Для удобства будем считать, что оно является кольцом главных идеалов.Определение 1.1.1. Свободный конечно-порождённый -модуль , снабжённый скалярным умножением (⋅ , ⋅) сигнатуры (, 1) со значениями в , называется гиперболической решёткой, если для всякого нетождественного вложения ∶ → ℝ квадратичное пространство ⊗() ℝ положительно определено.Пусть — гиперболическая решётка. Тогда векторное пространство,1 = ⊗id() ℝявляется ( + 1)-мерным вещественным пространством Минковского. Группа =′ () целочисленных (то есть с коэффициентами из ) линейных преобразований,сохраняющих решётку и отображающих на себя каждую связную компоненту конусаℭ = { ∈ ,1 ∣ (, ) < 0} = ℭ+ ∪ ℭ− ,является дискретной группой движений пространства Лобачевского.