Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 11

Грани 3 и 4 будем соединять пунктирной линией, которая будет подписана соответствующей найденной оценкой: < ̄ .2The Sage Developers, the Sage Mathematics Software System (Version 7.6), SageMath, http://www.sagemath.org, 2017N. Bogachev, Method of the outermost edge/bounds, https://github.com/nvbogachev/OuterMostEdge/blob/master/bounds.sage/, 2017353Пример того, как выглядит схема ребра с ̄ = (/6, /2, /2, /2, /2) см. на рис.

2.На этом рисунке видим, что (/6,/2,/2,/2,/2) = 2.87.Рис. 4. Схема Кокстера наиболее удаленного ребра с углами (/6, /2, /2, /2, /2)Таким образом, нами доказана следующая теорема.Теорема 4.1.2. Фундаментальный многогранник всякой ℚ-арифметической кокомпактной группы отражений в ℍ3 имеет ребро ширины меньше, чем ̄ , где ̄ — число(зависящее от набора ̄ ), указанное в таблице 1. При этомmax{ ̄ } = (/4,/2,/3,/3,/2) = 4,14.̄Числа, указанные в таблице 1, были вычислены на компьютере с точностью довосьми знаков после запятой. В таблице указано их округление вверх до второго знака после запятой, что для наших целей вполне достаточно.Пусть — выбранное по теореме 4.1.2 ребро минимальности ̄ для некоторого ̄в фундаментальном многограннике группы (), и (3 , 3 ) = , (4 , 4 ) = .

Тогда|(3 , 4 )| ≤ ̄ ⋅ √.(4.5)Заметим, что данная оценка намного лучше оценки (4.1).4.2. Короткий список решёток-кандидатов4.2.1. План нахождения короткого списка решёток-кандидатов(1,2)Пусть — фундаментальный многогранник группы () для анизотропнойгиперболической решётки ранга 4. Для рефлективности этой решётки необходимои достаточно, чтобы был компактен. Как было доказано в теореме 4.1.2, во всякомтаком многограннике существует ребро ширины меньше ̄ , где ̄ ≤ 4,14 — число,зависящее от набора ̄ двугранных углов вокруг этого ребра.Пусть 1 , 2 , 3 , 4 — корни решётки , являющиеся внешними нормалями граней1 , 2 , 3 , 4 соответственно.

Эти корни порождают некоторую подрешётку′ = [(1 , 2 , 3 , 4 )] ⊂ .54Таблица 1. Схемы Кокстера наиболее удалённого ребраЗамечание: Нумерация граней на каждой диаграмме такая же, как на рисунке 4.55Заметим, что элементы матрицы Грама (1 , 2 , 3 , 4 ) могут принимать конечноечисло различных значений. А именно, диагональные элементы равны 1 или 2, а модули всех остальных элементов должны быть строго меньше √ , за исключением элемента 34 = (3 , 4 ), модуль которого ограничен числом ̄ √(3 , 3 )(4 , 4 ).Таким образом мы получим конечный список матриц (1 , 2 , 3 , 4 ).

Из них мывыберем те, которые соответствуют анизотропным решёткам, а затем найдём всевозможные их расширения.Для выбора анизотропных решёток мы используем компьютерную программу4 ,основанную на результатах и методах, сформулированных в параграфе 2.5 настоящей работы (более точно, программа реализует теорему 2.5.1).Список найденных анизотропных решёток мы разобьём на классы изоморфностии оставим только по одному представителю каждого класса, после чего останется ужесущественно более короткий список анизотропных попарно не изоморфных решёток. Этот шаг тоже реализуется программой, использующей принцип Хассе (теорема2.5.3).После этого мы находим все расширения конечного индекса полученных решёток и исследуем полученный список решёток-кандидатов на (1,2)-рефлективность спомощью методов, изложенных в главе 3.4.2.2. Короткий список решёток-кандидатовИтоговая программа, которая создает список чисел ̄ , а затем, используя этотсписок, выводит все матрицы Грама (1 , 2 , 3 , 4 ), также доступна в Интернете5 .В результате мы получаем на выходе матрицы 1 — 7 , для каждой из которыхнаходим все соответствующие ей расширения.Каждой матрице Грама в наших обозначениях соответствует решётка , которая может иметь ещё какие-то расширения.

Для каждой новой анизотропной решётки (не изоморфной никакой из предыдущих решёток) мы будем вводить обозначение (), где число обозначает её номер.1 0 0 −1⎞⎛020−1⎟ , ≃ [−7] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (1);1 = ⎜⎜⎟ 1001−2⎜⎟−1−1−22⎝⎠4N. Bogachev, Method of the outermost edge/is_anisotropic, https://github.com/nvbogachev/OuterMostEdge/blob/master/is_anisotropic, 20175N. Bogachev, Method of the outermost edge/CandidatesFor12Reflectivity, https://github.com/nvbogachev/OuterMostEdge/blob/master/Is_equival, 2017561 −1 0 0⎞⎛−1 2 0 −1⎟⎜2 = ⎜⎟ , 2 ≃ [−15] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (2);⎜ 0 0 1 −4⎟⎝ 0 −1 −4 2 ⎠1 0 0 −1⎛⎞0 2 −1 0 ⎟⎜3 = ⎜⎟ , 3 ≃ [−3] ⊕ [5] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (3);0−12−3⎜⎟⎝−1 0 −3 2 ⎠2 0 0 −1⎞⎛02−1−1⎟ , ≃ [−23] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (4);4 = ⎜⎜⎟ 4⎜ 0 −1 1 −2⎟⎝−1 −1 −2 2 ⎠2 −1 0 −1⎛⎞−1 2 −1 0 ⎟⎜5 = ⎜⎟ , 5 ≃ [−55] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (5);⎜ 0 −1 1 −4⎟⎝−1 0 −4 2 ⎠2 0 0 −1⎛⎞0 2 0 −1⎟⎜6 = ⎜⎟ , 6 = [6 ] ∶= (6);002−3⎜⎟⎝−1 −1 −3 2 ⎠2 0 −1 −1⎞⎛02−1−1⎟ , = [ ] ∶= (7).7 = ⎜⎜7⎟ 7−1−12−3⎟⎜⎝−1 −1 −3 2 ⎠Решётки (1) – (5) являются максимальными.

Решётка (6) имеет единственноерасширение индекса 2, порождённое векторами{1 + 2 1 − 2,, 3 , 4 } ,22(4.6)где {1 , 2 , 3 , 4 } — базис решётки (6). Матрица Грама системы (4.6) эквивалентнаматрице diag(−7, 1, 1, 1), откуда следует, что единственным расширением в этом случае будет решётка (1). Аналогично, для решётки (7) мы находим единственное расширение индекса 2, порождённое векторами{1 + 2 1 − 2,, 3 , 4 }22(4.7)и изоморфное (2) (здесь {1 , 2 , 3 , 4 } — базис решётки (7)).Отметим, что решётки (6) и (7) являются чётными подрешётками решёток (1)и (2) соответственно.57Рис.

5. Схема Кокстера фундаментального многогранника для решётки (3)4.3. Исследование на (1,2)-рефлективность и доказательство теоремы 1.2.2Нам остаётся исследовать на (1,2)-рефлективность совсем небольшое количестворешёток. Решётки (1), (2), (6) и (7) являются 2-рефлективными (см. [27]), а, значит, и (1,2)-рефлективными.Предложение 4.3.1. Решётка (3) = [−3] ⊕ [5] ⊕ [1] ⊕ [1] рефлективна, но не (1,2)рефлективна.Доказательство.

Для решётки (3) мы применим алгоритм Винберга. Программанаходит 7 корней:1 = (0; 0, 0, −1), (1 , 1 ) = 1;2 = (0; 0, −1, 1), (2 , 2 ) = 2;3 = (0; −1, 0, 0), (3 , 3 ) = 5;4 = (1; 0, 3, 0), (4 , 4 ) = 6;5 = (1; 1, 0, 0), (5 , 5 ) = 2;6 = (2; 1, 2, 2), (6 , 6 ) = 1;7 = (10; 6, 10, 5), (7 , 7 ) = 5.Матрица Грама этих корней имеет вид:1 −1 00 0 −2 −5⎞⎛−120−300−5⎟⎜0050−5−5−30⎟⎜⎜(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ) = 0 −3 06 −3 00 ⎟⎜ 0 0 −5 −3 2 −1 0 ⎟⎟⎜0 ⎟⎜−2 0 −5 0 −1 15 ⎠⎝−5 −5 −30 0 0 0Схема Кокстера, соответствующая этой матрице Грама представлена на рис. 5.58Она задает трёхмерный многогранник Кокстера конечного объёма. В этой схеме нет параболических подсхем, поэтому данный многогранник будет ограниченным (впрочем за нас это проверяет программа CoxIter, написанная и опубликованная Р.

Гульельметти). Заметим, что корни 3 , 4 , 7 задают группу, порождённую“плохими” отражениями, она бесконечна, поскольку соответствующая подсхема содержит пунктирное ребро. Следовательно, решётка (3) рефлективна, но не (1,2)рефлективна.■Нерефлективность решётки (4) была доказана в [41] (см. также диссертацию[44]).Предложение 4.3.2. Решётка (5) = [−55] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] не является (1,2)рефлективной.Доказательство.

Оказывается, что для проверки на (1,2)-рефлективность нет необходимости доводить до конца алгоритм Винберга. Используемая нами программанаходит первые 8 корней1 = (0, −1, −1, 0), (1 , 1 ) = 2;2 = (0, 0, 1, −1), (2 , 2 ) = 2;3 = (0, 1, 0, 0), (3 , 3 ) = 1;4 = (2, 0, 11, 11), (4 , 4 ) = 22;5 = (1, −4, 4, 5), (5 , 5 ) = 2;6 = (1, −2, 2, 7), (6 , 6 ) = 2;7 = (2, −5, 10, 10), (7 , 7 ) = 5;8 = (2, 0, 0, 15), (8 , 8 ) = 5;матрица Грама которых имеет вид2−1⎛2⎜ −1⎜ −10⎜−11 0(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ) = ⎜−1⎜ 0⎜ 0−5⎜0⎜ −5⎝ 0 −15−1010−4−2−50−11 00−50−1 −500−4 −2 −522 −11 −11 0−11 2−40−11 −42 −1000 −10 5−55 −35 −5 −700⎞−15⎟0 ⎟−55⎟⎟.−35⎟−5 ⎟⎟−70⎟5 ⎠Достаточно рассмотреть подгруппу, порождённую “плохими” отражениями относительно зеркал 4 , 7 и 8 .

Поскольку эти зеркала расходятся, эта подгруппа бесконечна.■Таким образом, из выбранных нами в процессе решения задачи семи анизотропных решёток-кандидатов только четыре оказались (1,2)-рефлективными. Это решётки (1), (2), (6), (7). Тем самым теорема 1.2.2 доказана.59Глава 5Устойчиво рефлективные гиперболическиерешётки ранга 4 над ℤ(√2)5.1.

Метод наиболее удалённого ребраМетод классификации устойчиво рефлективных гиперболических решеток ранга4 над ℤ[√2] аналогичен тому, что мы воспроизвели для классификации решёток надℤ.Теорема 5.1.1. Фундаментальный многогранник всякой ℚ[√2]-арифметической кокомпактной группы отражений в ℍ3 имеет ребро ширины меньше, чем ̄ , где ̄ —число, зависящее от набора ̄ . При этомmax{ ̄ } = (/4,/2,/3,/3,/2) = 4,14.̄Доказательство. Известно, что двугранные углы фундаментального многогранника арифметической группы отражений с полем определения ℚ[√2] могут бытьравны только /2, /3, /4, /6 или /8.Нетрудно убедиться, что с учетом пункта (i) леммы 4.1.1 имеется ровно 56 различных (с точностью до нумерации углов) наборов ̄ .