Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 13
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Рефлективные гиперболические решётки". PDF-файл из архива "Рефлективные гиперболические решётки", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве НИУ ВШЭ. Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ ВШЭ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 13 страницы из PDF
Решетки с неортогональным базисом2−1 − √2Предложение 5.3.8. Решётка (3) = [] ⊕ [1] ⊕ [1] рефлективна,−1 − √22но не устойчиво рефлективна.Доказательство. Заметим, что (3) изоморфна решетке с координатами = (0 , 1 , 2 , 3 ) ∈ ℚ4 [√2]и скалярным умножением, задаваемым квадратичной формой() = −(2√2 − 1)02 + 12 + 22 + 32 ,где√20 ∈ ℤ[√2],0 +0 + 1∈ ℤ[√2],√2Используемая нами программа находит 8 корней1 = (0, 0, 0, −1),2 = (0, 0, −1, 1),3 = (0, −√2, 0, 0),2 , 3 ∈ ℤ[√2].4 = (1 + √2, 3 + √2, 0, 0),5 = (1 + √2/2, √2/2, √2 + 1, 0),6 = (√2 + 1, √2 + 1, √2 + 1, 1),7 = (√2 + 1, 1, √2 + 1, √2 + 1),8 = (3√2 + 4, 0, 4√2 + 5, √2 + 3),матрица Грама которых имеет вид1−1000−1−1 − √2−3 − √2 ⎞⎛200−1 − √2−√20−2 − 3√2 ⎟⎜ −1⎜⎟002−2 − 3√2−1−2 − √2− √20⎜⎟00−2 − 3√26 + √2−3 − √20−2 − 3√2 −18 − 13√2⎟⎜.0−1 − √2−1−3 − √210−10⎜⎟⎜ −1−√2−2 − √20020−2 − 3√2 ⎟⎜⎟−1 − √20−√2−2 − 3√2−1020⎜⎟√√√√√−3−2−2−320−18−1320−2−3206+2⎝⎠Достаточно рассмотреть подгруппу, порождённую “плохими” отражениями относительно зеркал 4 и 8 .
Поскольку эти зеркала расходятся, эта подгруппа бесконечна.■2−1 − 2√2Предложение 5.3.9. Решётка (4) = [] ⊕ [1] ⊕ [1] рефлектив−1 − 2√22на, но не устойчиво рефлективна.69Доказательство. Заметим, что (4) изоморфна решетке с координатами = (0 , 1 , 2 , 3 ) ∈ ℚ4 [√2]и скалярным умножением, задаваемым квадратичной формой() = −(5 + 4√2)02 + 12 + 22 + 32 ,где√20 ∈ ℤ[√2],0 + 1∈ ℤ[√2], 2 , 3 ∈ ℤ[√2].√2Используемая нами программа находит 8 корней1 = (0, 0, 0, −1),2 = (0, 0, −1, 1),3 = (0, −√2, 0, 0),4 = (1, 3 + √2, 0, 0),5 = (√2/2, √2/2, √2 + 1, 0),6 = (1, 1, √2 + 1, √2 + 1),7 = (1, √2 + 1, √2 + 1, 1),8 = (√2 + 2, 0, 4√2 + 5, √2 + 3),матрица Грама которых имеет вид−3 − √2 ⎞1−1000−1−1 − √2⎛−√20−2 − 3√2 ⎟200−1 − √2⎜ −1⎟⎜−1−2 − √2− √20−2 − 3√2002⎟⎜00−2 − 3√26 + √2−3 − √20−2 − 3√2 −18 − 13√2⎟⎜.0−1 − √2−1−3 − √210−10⎟⎜⎜ −1−√2−2 − √20020−2 − 3√2 ⎟⎟⎜0−√2−2 − 3√2−1020−1 − √2⎜⎟√√√√√−3−2−2−320−18−1320−2−3206+2⎝⎠Достаточно рассмотреть подгруппу, порождённую “плохими” отражениями относительно зеркал 4 и 8 .
Поскольку эти зеркала расходятся, эта подгруппа бесконечна.■−1−√2 ⎤⎡ 2√2 − 1⎥ ⊕ [1] устойчивоПредложение 5.3.10. Решётка (8) ∶= ⎢ −12⎢⎥⎣−√2 √2 − 1 2 − √2⎦рефлективна.Доказательство. Заметим, что (8) изоморфна решетке с координатами = (0 , 1 , 2 , 3 ) ∈ ℚ4 [√2]70и скалярным умножением, задаваемым квадратичной формой() = −√2 02 + 12 + 22 + 32 ,где0 ∈ ℤ[√2],−2 +1 + 2∈ ℤ[√2],√2Используемая нами программа находит 6 корней1 = (0, 0, 0, −√2),√22 , 3 ∈ ℤ[√2].2 = (0, 0, −√2, 0),3 = (0, −√2/2, 1 + √2/2, 0),4 = (1 + √2, 2 + √2, 0, 0),5 = (1 + √2, 0, 0, √2 + 2, ),6 = (2 + √2, 2 + √2, 0, 2 + √2),матрица Грама которых имеет вид2000−2 − 2√2 −2 − 2√2⎞⎛02−1 − √2000⎜⎟⎜0−1 − √2 2 + √2 −1 − √20−1 − √2 ⎟⎜⎟.√√√22+2−4−32000−1−⎜⎟⎜−2 − 2√2⎟00−4 − 3√2 2 + √20⎜⎟√√√−2−220−1−2004+22⎝⎠Подгруппа, порожденная плохими отражениями, тривиальна.■2 −10⎡⎤−1 ⎥ ⊕ [1] не является устойПредложение 5.3.11.
Решётка (9) ∶= ⎢−1 2⎢⎥⎣ 0 −1 −√2⎦чиво рефлективной.Доказательство. Заметим, что (9) изоморфна решетке с координатами = (0 , 1 , 2 , 3 ) ∈ ℚ4 [√2]и скалярным умножением, задаваемым квадратичной формой() = −√2 02 + (3 + √2)12 + 22 + 32 ,где√2 1 ∈ ℤ[√2],1 + 2√2∈ ℤ[√2],1 − 0 , 3 ∈ ℤ[√2].Используемая нами программа находит 9 корней1 = (0, 0, 0, −1),712 = (0, 0, −√2, 0),3 = (0, −√2, 0, 0),4 = (1 + √2, 0, 0, 2 + √2),5 = (1 + √2, 0, 2 + √2, 0),6 = (2 + √2, 0, 2 + √2, 2 + √2),7 = (1 + √2, 1, 1 + √2, 0),8 = (2 + 3√2/2, 1 + √2/2, 1 + √2/2, 2 + √2),9 = (5 + 4√2, 2 + √2, 0, 5 + 4√2),матрица Грама которых имеет вид1⎛ 0⎜ 0⎜ −2 − √2⎜ 0⎜ −2 − √2⎜ 0⎜ −2 − √2⎝−5 − 4√20200−2 − 2√2−2 − 2√2−2 − √2−1 − √20006 + 2 √2000−2 − 3√2−5 − 4√2−10 − 8√2−2 − √2002 + √2−4 − 3√20−4 − 3√2−1 − √200−2 − 2√20−4 − 3√22 + √200−4 − 3√2−18 − 13√2−2 − √2−2 − 2√20004 + 2 √2−2 − √2−1 − √2−8 − 5√20−2 − √2−2 − 3√2−4 − 3√20−2 − √22−1 − √2−10 − 8√2−2 − √2−1 − √2−5 − 4√2−1 − √2−4 − 3√2−1 − √2−1 − √22 + √20−5 − 4√2⎞0−10 − 8√2 ⎟⎟0√−18 − 13 2⎟ .−8 − 5√2 ⎟−10 − 8√2 ⎟⎟03 + √2 ⎠Достаточно рассмотреть подгруппу, порождённую “плохими” отражениями относительно зеркал 3 , 6 и 9 .
Поскольку зеркала 6 и 9 расходятся, эта подгруппа бесконечна.■2−1 − √2Предложение 5.3.12. Решётка (10) ∶= [] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] не2−1 − √2является устойчиво рефлективной.Доказательство. Заметим, что (10) изоморфна решетке с координатами = (0 , 1 , 2 , 3 ) ∈ ℚ4 [√2]и скалярным умножением, задаваемым квадратичной формой() = −(1 + 2√2) 02 + (2 + √2)12 + 22 + 32 ,где√2 0 ∈ ℤ[√2],0 + 2√2∈ ℤ[√2],Используемая нами программа находит 8 корней1 = (0, 0, 0, −1),2 = (0, 0, −√2, 0),3 = (0, −√2, 0, 0),721 , 3 ∈ ℤ[√2].4 = (√2/2, 0, 2 + √2/2, 0),5 = (1 + √2/2, 0, 1 + √2/2, √2 + 2),6 = (1 + √2, 1 + √2, √2 + 1, 0),7 = (2 + √2, 2 + √2, 0, 2 + √2),8 = (2 + √2, 1 + 2√2, 0, 0),матрица Грама которых имеет вид1000−2 − √20−2 − √20⎛⎞√√√020−1 − 2 2 −1 − 2−2 − 200⎜⎟⎜00−6 − 4√2 −8 − 6√2 −10 − 6√2⎟004 + 2√2⎜⎟√2√2√2 −5 − 3√20−1−204+00−5−3⎜⎟.002 + √2−6 − 4√2 −5 − 4√2 −11 − 8√2⎟⎜−2 − √2 −1 − √2⎜⎟0−2 − √2 −6 − 4√20−6 − 4√22 + √2−2 − √20⎜⎟0−8 − 6√2 −5 − 3√2 −5 − 4√2 −2 − √2 4 + 2√20−2 − √2⎜⎟√√√√00−10−62−5−32−11−82004+2⎝⎠Достаточно рассмотреть подгруппу, порождённую “плохими” отражениями относительно зеркал 3 и 8 .
Поскольку эти зеркала расходятся, эта подгруппа бесконечна.■Предложение 5.3.13. Решётки (13), (14) и (15) не рефлективны.Доказательство. Нерефлективность этих решеток устанавливается с помощьюметода бесконечной симметрии, описанного в главе 3. Программа, реализующая этотметод, доступна по ссылке https://github.com/nvbogachev/VinAlg-Z-sqrt-2-/blob/master/Infinite-Symm.py■Теорема 5.3.1. Всякая максимальная устойчиво рефлективная гиперболическаярешетка ранга 4 над ℤ[√2] изоморфна одной из следующих 7 решёток:№# граней1[−1 − √2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1][−1 − 2√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]5234567[−5 − 4√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1][−11 − 8√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]Дискриминант−1 − √2−1 − 2√2−5 − 4√265[−√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]−1− √2 ⎤⎡ 2⎢ −1√2 − 1⎥ ⊕ [1]2⎢⎥⎣−√2 √2 − 1 2 − √2⎦6−11 − 8√2−√26−√2[−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]5−7 − 5√21773Литература[1] Ian Agol, Finiteness of arithmetic Kleinian reflection groups.
In Proceedings of theInternational Congress of Mathematicians: Madrid, August 22–30, 2006: invitedlectures, pages 951–960, 2006.[2] Ian Agol, Mikhail Belolipetsky, Peter Storm, and Kevin Whyte. Finiteness of arithmetichyperbolic reflection groups. — Groups Geom. Dyn., 2008, Vol. 2(4), p. 481 — 498.[3] D. Allcock. “Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19”, Geom.Topol. 10 (2006), 737–758.[4] D. Allcock. The reflective Lorentzian lattices of rank 3. — Mem. Amer. Math.
Soc. 220,no 1033., American Mathematical Society, 2012, p. 1 — 125.[5] Е. М. Андреев. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского. —Мат. сб., 1970, 81, с. 445–478.[6] Е. М. Андреев. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространствеЛобачевского.— Мат. сб., 1970, 83, с. 256–260.[7] Е. М. Андреев. О пересечении плоскостей граней многогранников с острыми углами. — Мат. заметки, 1970, 8, с. 521–527.[8] M.
Belolipetsky and B. Linowitz. On fields of definition of arithmetic Kleinian reflectiongroups II. Int. Math. Res. Not. IMRN, (9):2559–2571, 2014.[9] M. Belolipetsky. Arithmetic hyperbolic reflection groups. — Bulletin (New Series) ofthe Amer. Math. Soc., 2016, Vol. 53 (3), p. 437 — 475.[10] N. V. Bogachev. Reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank 4. ArXiv: https://arxiv.org/abs/1610.06148v1[11] Н. В. Богачев.
Классификация (1,2)-рефлективных анизотропных гиперболических решёток ранга 4. — Известия РАН, Серия математическая, 2019, том 81, выпуск 1, стр. 3–24.[12] N. Bogachev, A. Perepechko, Vinberg’s algorithm, DOI:10.5281/zenodo.1098448,https://github.com/aperep/vinberg-algorithm, 2017.74[13] Armand Borel and Harish-Chandra. Arithmetic subgroups of algebraic groups.
Ann.of Math. (2), 75:485–535, 1962.[14] R. Borcherds, Automorphism groups of Lorentzian lattices, J. Algebra 111 (1987),133–153.[15] V. O. Bugaenko. Groups of automorphisms of unimodular hyperbolic quadratic formsover the ring ℤ[(√5 + 1)/2]. Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh., (5):6–12, 1984.[16] V. O. Bugaenko. On reflective unimodular hyperbolic quadratic forms. Selecta Math.Soviet., 9(3):263–271, 1990. Selected translations.[17] V. O. Bugaenko.
Arithmetic crystallographic groups generated by reflections, andreflective hyperbolic lattices. — Advances in Soviet Mathematics, 1992, Volume 8, p.33 — 55.[18] Б. А. Венков. Об арифметической группе автоморфизмов неопределенной квадратичной формы. — Изв. АН СССР, 1937, том 1, выпуск 2, стр.
139–170[19] Э. Б. Винберг. Дискретные группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского. — Матем. сб., 1967, том 72(114), номер 3, c. 471 — 488.[20] Э. Б. Винберг. О группах единиц некоторых квадратичных форм. — Мат. сб.,1972, 87, с. 18 — 36[21] Э. Б. Винберг. Об унимодулярных целочисленных квадратичных формах //Функц.
анализ и его прил. Т. 6, вып. 2. С. 24–31[22] E. B. Vinberg. Some arithmetical descrete groups in Lobachevskii spaces. — In: Proc.Int. Coll. on Discrete Subgroups of Lie Groups and Appl. to Moduli (Bombay, January1973). — Oxford: University Press, 1975, p. 323 — 348.[23] Э. Б. Винберг.
Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности. — Труды ММО, 1984, T. 47, с. 68 —102.[24] Э. Б. Винберг. Гиперболические группы отражений. — УМН, 1985, 40:1, с. 29 —66.[25] Винберг Э. Б. Каплинская И. М. О группах 18,1 (ℤ) и 19,1 (ℤ). // ДАН СССР. Т.238, No 6, С. 1273–1275[26] Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман.
