Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 10

Заметим, что ′ — внутренняя точка грани , так как иначе оказалось бы, что точка лежит вне какого-тодвугранного угла, примыкающего к грани (поскольку многогранник остроугольный). Далее, поскольку ребро является наиболее удалённым ребром многогранника для точки , то(, ) ≥ (, ), = 1, 2.Отсюда и из теоремы о трех перпендикулярах следует, что расстояние от точки ′до ребра не меньше расстояния от этой точки до остальных ребер грани . Этоозначает, что к точке ′ внутри многоугольника применима теорема 2.8.1.1В остроугольном многограннике расстояние от внутренней точки до грани (любой размерности) равно расстоянию доподпространства этой грани.48Далее, пусть 3 , 4 — грани (с единичными внешними нормалями 3 и 4 соответственно) многогранника , обрамляющие ребро и содержащие соответственно ребра 1 и 2 .

Ясно, что расстояние между гранями не превосходит расстояниямежду их ребрами. Следовательно,−(3 , 4 ) = ch (3 , 4 ) ≤ ch (1 , 2 ) ≤ 7.■Пусть теперь является фундаментальным многогранником группы () для анизотропной гиперболической решётки ранга 4. Решётка рефлективна тогда и только тогда, когда многогранник компактен (то есть ограничен).Пусть — ребро многогранника ширины не больше, чем .

В силу предложения 4.1.1 мы можем обеспечить ≤ 7 (если возьмём наиболее удаленное ребро отнекоторой фиксированной точки внутри многогранника ). Пусть 1 , 2 (соответственно 3 , 4 ) — корни решётки , ортогональные граням, в которых лежит ребро (соответственно обрамляющим граням), и являющиеся внешними нормалями этихграней. Обозначим эти грани через 1 , 2 , 3 , 4 соответственно. Если (3 , 3 ) = ,(4 , 4 ) = , то|(3 , 4 )| ≤ √ ≤ 7√.(4.1)Поскольку мы решаем задачу классификации (1,2)-рефлективных решёток, то намнадо рассматривать фундаментальные многогранники арифметических групп, порождённых 1- и 2-отражениями.

В таком случае нам известны ограничения на всеэлементы матрицы (1 , 2 , 3 , 4 ), так как все грани попарно пересекаются кроме,быть может, пары граней 3 и 4 . Но в случае, если 3 и 4 не пересекаются, расстояние между этими гранями ограничено благодаря неравенству (4.1). Таким образом,все элементы матрицы (1 , 2 , 3 , 4 ) целочисленны и ограничены, значит, имеетсялишь конечное число возможных матриц Грама (1 , 2 , 3 , 4 ).Векторы 1 , 2 , 3 , 4 порождают некоторую подрешётку ′ конечного индекса решётки .

Более точно, решётка лежит между решётками ′ и (′ )∗ , причём[(′ )∗ ∶ ′ ]2 = |(′ )|.Отсюда вытекает, что |(′ )| делится на [ ∶ ′ ]2 . Пользуясь этим, мы будем находитьв каждом случае по решётке ′ всевозможные ее расширения.Для уменьшения перебора матриц (1 , 2 , 3 , 4 ) мы воспользуемся дополнительными соображениями, которые позволят нам получить более строгие ограниченияна число |(3 , 4 )|, чем в неравенстве (4.1).49Рис.

1.Рис. 4.1: Наиболее удалённое ребро4.1.1. Ограничения на длину ребра для ℚ-арифметических компактных многогранников Кокстера в ℍ3В этом подразделе можно считать, что является компактным остроугольныммногогранником в пространстве ℍ3 .Сохраняя предположения и обозначения предыдущих разделов, обозначим вершины наиболее удалённого от некоторой фиксированной точки внутри многогранника ребра через 1 и 2 . Двугранные углы между гранями и обозначимчерез .Пусть 1 и 3 — ребра многогранника , выходящие из вершины 1 , а ребра 2 и4 — из 2 , причем ребра 1 и 2 лежат в грани 1 .

Длину ребра обозначим через ,а плоские углы между ребрами и — через (см. рис. 1).Теорема 4.1.1. Длина наиболее удалённого ребра удовлетворяет неравенству:th(ln(ctg( 412 )))th(ln(ctg( 412 ))) < arsh () + arsh ().tg ( 24 )tg ( 23 )Доказательство. Обозначим через 1 и 2 ортогональные проекции точки награни 1 и 2 соответственно. По теореме о трех перпендикулярах обе эти точки припроекции на ребро попадают в одну и ту же точку , которая является проекциейточки на это ребро. В силу остроугольности многогранника точка являетсявнутренней точкой ребра .Таким образом, мы получаем плоский четырёхугольник 1 2 , в котором ∠ =12 (двугранный угол между гранями 1 и 2 ), ∠1 = ∠2 = /2, 1 = 1 , 2 = 2(см.

рис. 2).50Рис. 2. Четырёхугольник 1 2Рис. 3. РазвёрткаВ предельном случае, когда точка является бесконечно удалённой, двугранныйугол 12 составлен из так называемых углов параллельности (1 ) и (2 ). В нашемслучае ∈ ℍ3 , поэтому 12 < (1 ) + (2 ) = 2 arctg(−1 ) + 2 arctg(−2 ).Обозначим через 1 , 2 , 1 , 2 биссектрисы углов 1 , 2 , 3 , 4 соответственно.Пусть ℎ и ℎ — расстояния от точек и до ребра . Без ограничения общностиможно считать, что ℎ ⩽ ℎ .Поскольку ребро является наиболее удаленным ребром для точки , то(1 , ) ≤ (1 , 1 ), (1 , 2 ),(2 , ) ≤ (2 , 3 ), (2 , 4 ).(4.2)Тогда ясно, что ℎ ≤ ℎ ≤ 1 , ℎ ≤ 2 , поскольку из неравенств (4.2) следует, чтоточки 1 и 2 лежат внутри плоских углов, вертикальных к углам 1 2 и 1 2 соответственно (развёртка граней вокруг ребра представлена на рис.

3).51Получаем, что (1 ), (2 ) ≤ (ℎ ). Отсюда следует, что arctg(−ℎ ) > 12 /4. Такимобразом,ℎ < ln (ctg ( 12 ))412Введем обозначение 0 ∶= th (ln (ctg ( 4 ))), тогда th ℎ < 0 . Пусть — проекцияточки на ребро , и пусть = (, 1 ).Из прямоугольных треугольников 1 и 2 находимth ℎ = tg ( 4 ) sh( − ) = tg ( 3 ) sh ,(4.3)22откуда получаем, чтоsh =th ℎ0,3 <tg ( 2 ) tg ( 23 )sh( − ) <0.tg ( 24 )Следовательно, = + ( − ) < arsh (00),3 ) + arsh (tg ( 24 )tg ( 2 )что и требовалось доказать.■4.1.2. Доказательство теоремы 1.2.1 и ограничения на |(3 , 4 )|Пусть по-прежнему многогранник является фундаментальным многогранником ℚ-арифметической кокомпактной группы отражений в трёхмерном пространстве Лобачевского, а — наиболее удалённое ребро многогранника .

Рассмотримнабор единичных внешних нормалей (1′ , 2′ , 3′ , 4′ ) к граням 1 , 2 , 3 , 4 . Заметим,что эта система векторов линейно независима. Её матрица Грама имеет вид1− cos 12 − cos 13 − cos 14⎛⎞−cos1−cos−cos122324 ⎟(1′ , 2′ , 3′ , 4′ ) = ⎜⎜⎟,−cos−cos1−1323⎜⎟−cos−cos−11424⎝⎠где = |(3′ , 4′ )| = ch (3 , 4 ) в случае, если грани 3 и 4 расходятся. (Напомним, чтов противном случае ≤ 1, и такой случай рассматривать отдельно нет необходимости.)Пусть (1∗ , 2∗ , 3∗ , 4∗ ) — базис, двойственный базису (1′ , 2′ , 3′ , 4′ ). Тогда 3∗ и 4∗ задают в пространстве Лобачевского точки 2 и 1 соответственно.

Действительно, соответствующий, например, точке 1 ∈ ℍ3 вектор 1 пространства Минковского однозначно задаётся условиями (1 , 1′ ) = (1 , 2′ ) = (1 , 3′ ) = 0. Заметим, что этим жеусловиям удовлетворяет вектор 4∗ . Следовательно, векторы 1 и 4∗ пропорциональны, и, значит,ch = ch (1 , 2 ) = −(1 , 2 ) = −52(3∗ , 4∗ )√(3∗ , 3∗ )(4∗ , 4∗ ).Известно, что (1∗ , 2∗ , 3∗ , 4∗ ) = (1′ , 2′ , 3′ , 4′ )−1 , откуда следует, что ch можновыразить через алгебраические дополнения элементов матрицы = (1′ , 2′ , 3′ , 4′ ):ch = −(3∗ , 4∗ )√(3∗ , 3∗ )(4∗ , 4∗ )=34√33 44.Обозначим правую часть неравенства из теоремы 4.1.1 через ()̄ , где̄ = (12 , 13 , 23 , 14 , 24 );тогда из этой теоремы следует, что ch < ch ()̄ .

Отсюда имеем34√33 44< ch ().̄(4.4)Для каждого набора ̄ мы таким образом получаем линейное неравенство относительно числа .Лемма 4.1.1.(i) 12 + 23 + 13 > ,12 + 24 + 14 > ;(ii)cos 23 + cos 12 ⋅ cos 13,sin 12 ⋅ sin 13cos 13 + cos 12 ⋅ cos 23,cos 3 =sin 12 ⋅ sin 23cos 1 =cos 24 + cos 12 ⋅ cos 14sin 12 ⋅ sin 14cos 14 + cos 12 ⋅ cos 24cos 4 =sin 12 ⋅ sin 24cos 2 =Доказательство.

Для доказательства обоих пунктов леммы пересечём каждый изтрехгранных углов с вершинами 1 и 2 со сферами с центрами в этих точках соответственно. В пересечении получатся сферические треугольники, углами которыхявляются двугранные углы , а длинами сторон являются плоские углы . Отсюдасразу вытекает пункт (i), а пункт (ii) вытекает из двойственного правила косинусовв этих треугольниках (см., например, [26], стр. 71).■Известно, что двугранные углы фундаментального многогранника арифметической группы отражений с полем определения ℚ могут быть равны только /2, /3,/4 или /6.Нетрудно убедиться, что с учетом пункта (i) леммы 4.1.1 имеется ровно 44 различных (с точностью до нумерации углов) наборов ̄ .

Для каждого такого набора ̄неравенство (4.4) даёт какую-то оценку < ̄ .Для решения 44 линейных неравенств была составлена программа в системе компьютерной алгебры Sage2 , код которой доступен в Интернете3 .Полученные результаты представлены ниже в таблице 1 в виде набора схем Кокстера для граней 1 , 2 , 3 , 4 .