Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 6

А именно, в окрестностивсякой обычной своей вершины он является симплексом, поскольку пересечение соответствующего многогранного конуса задает группу отражений на сфере. В окрестности бесконечно удаленных вершин многогранник ведет себя как многогранникКокстера в пространстве Евклида. Следовательно, вершинам многогранника Кокстера конечного объема в ℍ соответствуют эллиптические или параболические подсхемы. Вершинам компактного многогранника соответствуют только эллиптическиеподсхемы.2.4.4.

Группы отражений в ℍГруппы отражений в пространствах Лобачевского ℍ часто называют гиперболическими группами отражений. При = 2 группы, имеющие фундаментальный многоугольник конечной площади, были полностью описаны А. Пункаре в 1882 году (см.[55]), а при = 3 описание коконечных гиперболических групп отражений вытекаетиз знаменитых теорем Е.

М. Андреева 1970 года (см. [5, 6]).Также следует отметить, что в отрыве от арифметичности изучаются многогранники Кокстера, имеющие достаточно простое комбинаторное строение. Читателю25Таблица 2.1:Связные эллиптические схемы Кокстера ( ≥ 1) (= )( ≥ 2) ( ≥ 4)678423426Таблица 2.2:Связные параболические схемы Кокстера˜1∞˜ ( ≥ 2)˜ ( ≥ 3)˜ ( ≥ 2)˜ ( ≥ 4)˜6˜7˜8˜4˜227рекомендуется обратить внимание на работы В.

С. Макарова 1965-1966 г. (см. [39,40]), значительно стимулировавшие интерес к гиперболическим группам отражений. Многогранники, построенные Макаровым, представляют из себя бесконечныесерии призм Кокстера в пространстве ℍ3 . Полное описание призм Кокстера конечного объема получено в работе И. М. Каплинской в 1974 г. (см. [34]).О более новых исследованиях в области гиперболических многогранников Кокстера см. работу [31] А. Феликсон и П. Тумаркина 2014 г., а также созданный ими сайтhttp://www.maths.dur.ac.uk/users/anna.felikson/Polytopes/polytopes.html (см.

[32]).2.5. Квадратичные решёткиВ этом параграфе изложим необходимые сведения о неопределенных квадратичных решётках. Более подробное изложение см., например, в [33] или [23].Пусть — кольцо главных идеалов. Квадратичным -модулем называется свободный -модуль конечного ранга, снабжённый невырожденной симметрическойбилинейной формой со значениями в , называемой скалярным умножением. В частности, квадратичный ℤ-модуль называется квадратичной решёткой.

Через [] обозначим стандартный модуль , скалярное умножение в котором определено матрицей Грама . Квадратичным пространством называется свободный -модуль конечного ранга над полем .Дискриминантом () квадратичного -модуля называется определитель матрицы Грама базиса модуля . Он определен с точностью до умножения на элементгруппы (∗ )2 (где ∗ обозначает группу обратимых элементов кольца ) и может рассматриваться как элемент полугруппы /(∗ )2 .

Квадратичный -модуль называется унимодулярным, если () ∈ ∗ .Ненулевой вектор ∈ называется изотропным, если (, ) = 0. Квадратичныймодуль называется изотропным, если он содержит хотя бы один изотропный вектор, в противном случае он называется анизотропным.Так как (ℤ∗ )2 = 1, дискриминант () квадратичной решётки – это просто целоечисло. Унимодулярность квадратичной решётки равносильна тому, что она совпадает со своей сопряжённой решёткой∗ = { ∈ ⊗ ℚ ∶ ∀ ∈ (, ) ∈ ℤ}.Инвариантные множители матрицы Грама базиса решётки называются инвариантными множителями решётки .Всякая квадратичная решётка определяет квадратичное вещественное векторное пространство ∞ = ⊗ ℝ и, для любого простого , – квадратичный -модуль = ⊗ , где – кольцо целых -адических чисел.

Сигнатура пространства ∞называется сигнатурой решётки . Очевидно, что если квадратичные решётки и 28изоморфны, то они имеют одинаковую сигнатуру и ≃ для любого простого .Обратное также верно при следующих условиях:(i) неопределенна;(ii) для любого простого решётка имеет два инвариантных множителя, делящихся на одну и ту же степень .Структура квадратичных -модулей описывается следующим образом. Всякийтакой модуль допускает разложение Жордана(0)(1)(2) = ⊕ [] ⊕ [2 ] ⊕ … ,()где все – унимодулярные квадратичные -модули. Эти модули определены с точностью до изоморфизма при ≠ 2; при = 2 их ранги и чётности определены однозначно.Предложение 2.5.1.

(см., напр., [23]) Если — максимальная квадратичная решётка, то есть не содержащаяся ни в какой другой квадратичной решётке, то(0)(1) = ⊕ [] .для всех простых | ().Определение 2.5.1. Пусть , ∈ ℚ∗ . Положим1,если уравнение 2 + 2 = 1 имеет решение в ℚ∗ ;(, ) = {−1, в противном случае.Число (, ) называется символом Гильберта.Известно, что при ≠ 2 (соответственно при = 2) группу ℚ∗ /(ℚ∗ )2 можнорассматривать как векторное пространство над ℤ2 = ℤ/2ℤ размерности 2 (соответственно 3).

Символ Гильберта является невырожденной симметрической билинейной формой на этом векторном пространстве.Напомним определение инварианта Хассе квадратичного пространства над полем ℚ . Пусть 1 , … , — скалярные квадраты векторов какого-либо ортогонального базиса пространства .Определение 2.5.2. Число () = ∏( , )<называется инвариантом Хассе квадратичного пространства .Известны следующие теоремы.29Теорема 2.5.1. (См., напр., [33], стр. 76, лемма 2.6)Квадратичное пространство ранга 4 над полем ℚ анизотропно тогда и толькотогда, когда выполнены следующие условия:(1) () ∈ (ℚ∗ )2 ;(2) () = −(−1, −1) .Заметим, что всякое квадратичное пространство ранга > 4 над полем ℚ изотропно.Теорема 2.5.2.

(Сильный принцип Хассе, см., напр., [33], стр. 92, теор. 1.1)Квадратичное пространство над полем ℚ изотропно тогда и только тогда, когдаквадратичное пространство ⊗ ℚ изотропно для всех , включая ∞.Теорема 2.5.3. (Слабый принцип Хассе, см., напр., [33], стр. 93, теор. 1.2)Два рациональных квадратичных пространства изоморфны над полем ℚ тогда и только тогда, когда они изоморфны над ℝ и всеми ℚ .Похожие результаты имеются и для пространств над вполне вещественными полями алгебраических чисел, но мы ими не будем пользоваться.2.6.

Арифметические дискретные группы простейшего типаОпределение 2.6.1. Пусть ⊂ ℝ – вполне вещественное поле алгебраических чисели – кольцо его целых элементов. Невырожденная квадратичная форма() = ∑ , = ∈ ,,=0называется допустимой, если• она имеет сигнатуру (, 1)• и для любого нетождественного вложения ∶ → ℝ форма () = ∑ положительно определенна.В таком случае группа ′ (, ) целочисленных (с коэффициентами из кольца )линейных преобразований, сохраняющих форму и не меняющих местами связныекомпоненты конуса { ∈ ℝ+1 ∣ () < 0}, является дискретной группой движенийпространства ℍ , и называется арифметической дискретной группой.Иными словами, мы можем рассмотреть гиперболическую решетку, скалярноеумножение в которой задается допустимой формой .

Сформулируем более строгоеопределение.30Определение 2.6.2. Свободный конечно-порождённый -модуль , снабжённый скалярным умножением (⋅ , ⋅) сигнатуры (, 1) со значениями в , называется гиперболической решёткой, если для всякого нетождественного вложения ∶ → ℝ квадратичное пространство ⊗() ℝ положительно определено. (Скалярное умножение в соответствует некоторой допустимой квадратичной форме.)Пусть — гиперболическая решётка.

Тогда векторное пространство ,1 = ⊗id ℝявляется ( + 1)-мерным вещественным пространством Минковского. Группа =′ () целочисленных (то есть с коэффициентами из ) линейных преобразований,сохраняющих решётку и отображающих на себя каждую связную компоненту конусаℭ = { ∈ ,1 ∣ (, ) < 0} = ℭ+ ∪ ℭ− ,является дискретной группой движений пространства Лобачевского. Здесь подразумевается векторная модель пространства Лобачевского ℍ , заданная как множествоточек гиперболоида{ ∈ ,1 ∣ (, ) = −1},лежащих внутри конуса ℭ+ . Группа движений Isom(ℍ ) = ′,1 (ℝ) есть группа псевдоортогональных преобразований пространства ,1 , оставляющая на месте конусℭ+ . Более подробно о векторной модели пространства Лобачевского см. параграф2.1.3.Из общей теории арифметических групп (см. статью [13] А. Бореля и Хариш-Чандры1962 года, а также работу [45] Г. Мостова и Т.

Тамагавы 1962 года) известно, что если = ℚ и решётка изотропна (то есть ассоциированная с ней квадратичная формапредставляет нуль), то факторпространство ℍ / (то есть фундаментальная областьгруппы ) некомпактно, но имеет конечный объём (в таком случае говорят, что — дискретная подгруппа конечного кообъёма), а во всех остальных случаях оно компактно. При = ℚ доказательство этих утверждений было впервые дано в 1937 годув работе [18] Б. А. Венкова.Определение 2.6.3.

Две подгруппы 1 и 2 какой-либо группы называются соизмеримыми, если группа 1 ∩ 2 является подгруппой конечного индекса в каждой из них.Определение 2.6.4. Группы , полученные указанным выше способом, и все соизмеримые с ними дискретные подгруппы группы Isom(ℍ ) называются арифметическими дискретными группами простейшего типа. Поле называется полем определения(или основным полем) группы (и всех групп, соизмеримых с ней).312.7. Арифметические группы отражений и рефлективные гиперболические решёткиПримитивный вектор ∈ называется корнем или, более точно, -корнем, где =(, ) > 0, если 2(, ) ∈ для всех ∈ .

Всякий корень определяет ортогональноеотражение (называемое -отражением, где = (, )) в пространстве ,12(, ),(, )которое сохраняет решётку . Отражение ℛ определяет отражение в пространствеℍ относительно гиперплоскостиℛ ∶ ↦ − = { ∈ ℍ ∣ (, ) = 0},называемой зеркалом отражения ℛ .Обозначим через () подгруппу группы ′ (), порождённую всеми содержащимися в ней отражениями.Определение 2.7.1. Гиперболическая решётка называется рефлективной, еслииндекс [′ () ∶ ()] конечен.Теорема 2.7.1. (Винберг, 1967, см. [19])Дискретная группа отражений конечного кообъёма является арифметической группой отражений c полем определения (или -арифметической), если она содержитсяв качестве подгруппы конечного индекса в группе вида ′ (), где — какая-то (автоматически рефлективная) гиперболическая решетка над вполне вещественным полем .Э.Б. Винберг сформулировал и доказал критерий арифметичности (см. [19]) длядискретной группы отражений, который позволяет эффективно определить по матрице Грама фундаментального многогранника, является ли заданная кокомпактнаягруппа отражений арифметической, и позволяет также найти ее основное поле в случае положительного ответа.(2)(1,2)Пусть — гиперболическая решётка над ℤ.

Обозначим через (), () и ()подгруппы группы ′ (), порожденные всеми отражениями, всеми 2-отражениямии всеми 1- и 2-отражениями, содержащимися в ′ (), соответственно. Гиперболическая решетка называется рефлективной, 2-рефлективной или (1,2)-рефлективной,(2)(1,2)если подгруппа (), () или () соответственно имеет конечный индекс в′ (). Решетка рефлективна, 2-рефлективна или (1,2)-рефлективна тогда и только(2)(1,2)тогда, когда фундаментальный многогранник группы (), () и () соответственно имеет конечный объем в пространстве Лобачевского ℍ .