Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 4

Фундаментальный многогранник всякой ℚ-арифметической кокомпактной группы отражений в ℍ3 имеет ребро ширины меньше, чем 4,14.14(Напомним, что ℚ-арифметической группой отражений называется всякая порождённая отражениями подгруппа конечного индекса группы вида ′ (), где —рефлективная гиперболическая решётка над ℤ. Она может быть кокомпактной только в случае анизотропности решётки .)На самом деле получен более сильный результат. А именно, доказано, что существует ребро ширины ̄ , где ̄ ≤ 4,14 — число, зависящее от набора ̄ двугранныхуглов вокруг этого ребра (см. теорему 4.1.2).Для формулировки результатов классификации устойчиво рефлективных гиперболических решёток введём некоторые обозначения:• [] — квадратичная решётка, скалярное умножение в которой в некотором базисе задается симметричной матрицей ,• () ∶= det — дискриминант решётки = [],• ⊕ — ортогональная сумма решёток и ,• [] — квадратичная решётка, полученная из умножением всех скалярныхпроизведений на ∈ ℤ.Теорема 1.2.2.

Всякая устойчиво рефлективная анизотропная гиперболическая ℤрешётка над ℤ ранга 4 изоморфна либо одной из двух решёток [−7] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] и[−15] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1], либо чётной подрешётке индекса 2 одной из них.Указанные решётки на самом деле являются даже 2-рефлективными (см. [27]).Автор надеется, что применённый в этой работе метод наиболее удалённого ребра(см. параграф 4.1) применим для классификации рефлективных анизотропных гиперболических решёток ранга 4.1.2.3. Результаты главы 5Теорема 1.2.3. Фундаментальный многогранник всякой ℚ[√2]-арифметической группы отражений в ℍ3 имеет ребро ширины меньше, чем 4,14.Как и ранее, на самом деле получен более сильный результат.

А именно, доказано, что существует ребро ширины ̄ , где ̄ ≤ 4,14 — число, зависящее от набора ̄двугранных углов вокруг этого ребра (см. теорему 5.1.1).Теорема 1.2.4. Всякая максимальная устойчиво рефлективная гиперболическаярешётка ранга 4 над ℤ[√2] изоморфна одной из следующих семи решёток:15№# граней152[−1 − √2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1][−1 − 2√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]3[−5 − 4√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]54[−11 − 8√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]17567−1− √2 ⎤⎡ 2⎢ −1√22 − 1⎥ ⊕ [1]⎢⎥⎣−√2 √2 − 1 2 − √2⎦[−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1]6()−1 − √2−1 − 2√2−5 − 4√26−11 − 8√2−√26−√25−7 − 5√21.3. Апробация работыРезультаты диссертации докладывались:• на семинаре „Группы Ли и теория инвариантов“ под руководством Э.Б.

Винберга, Д.А. Тимашёва и И.В. Аржанцева, Механико-математический факультет МГУим. М.В. Ломоносова, май 2016 г. и октябрь 2017 г.;• на шестой школе-конференции „Алгебры Ли, алгебраические группы и теорияинвариантов“, МГУ&НМУ, Москва, Россия, январь-февраль 2017 г.;• на семинаре С.П. Новикова „Геометрия, топология и математическая физика“,Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, март 2017 г.;• на международной конференции „Геометрия и топология“ в честь К. Бавара, Институт математики, Бордо, Франция, ноябрь 2017 г.;• на семинаре „Гиперболическая геометрия и комбинаторные структуры“, Институт математики, Университет в г.

Невшатель, Швейцария, ноябрь 2017 г.;• на семинаре „Автоморфные формы и их приложения“ под руководством В.А.Гриценко, Математический факультет НИУ ВШЭ, Москва, Россия, февраль 2018г;• на международной конференции „Автоморфные формы и алгебраическая геометрия“, ПОМИ им.

Стеклова РАН, Санкт-Петербург, Россия, май 2018 г.1.4. Основные обозначения• ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ — множества натуральных, целых, рациональных, вещественныхи комплексных чисел соответственно,• — -мерное пространство Евклида,16• — -мерная сфера в ℝ+1 ,• ℍ — -мерное (гиперболическое) пространство Лобачевского,• Isom( ) — группа движений (изометрий) пространства ,• [] — квадратичная решётка, скалярное умножение в которой в некотором базисе задается симметричной матрицей ,• () ∶= det — дискриминант решётки = [],• ⊕ — ортогональная сумма решёток и ,• [] — квадратичная решётка, полученная из умножением всех скалярныхпроизведений на ∈ ℤ,• ∗ = { ∈ ⊗ ℚ ∣ ∀ ∈ (, ) ∈ ℤ} — сопряжённая решётка,• () — группа автоморфизмов (ортогональная группа) решётки ,• ′ () — подгруппа группы () автоморфизмов гиперболической решётки ,• () — подгруппа группы (), порождённая отражениями,• — дискретная группа движений пространства ,0 1• =[] — стандартная двумерная гиперболическая решётка,1 0• — корневая евклидова решётка типа ,• O (ℝ) — ортогональная группа евклидова пространства ℝ ,• SO (ℝ) — специальная ортогональная группа евклидова пространства ℝ ,• O, (ℝ) — ортогональная группа псевдоевклидова пространства ℝ, .17Глава 2Дискретные группы отражений2.1.

Три главные геометрииИзвестно, что существует ровно три пространства постоянной кривизны — односвязных полных римановых многообразия с постоянной во всех точках кривизной всякого двумерного направления. Эти пространства — пространство Евклида,многомерная сфера и (гиперболическое) пространство Лобачевского. Кривизна этихпространств равна 0, 1 и −1 соответственно. В этой главе мы обсудим модели всехтрёх знаменитых геометрий, а также обсудим устройство многогранников, группдвижений и дискретных групп отражений в них.

Также в этой главе мы даем предварительные сведения об арифметических группах отражений.2.1.1. Евклидово пространство Рассмотрим -мерное векторное пространство ℝ со стандартным евклидовымскалярным умножением(, ) = 1 1 + … + .Метрика в (аффинном) евклидовом пространстве задается следующим образом:(, ) = √( − , − ).Отметим, чтоIsom( ) = O (ℝ) × ,где O (ℝ) — ортогональная группа пространства ℝ , а ≃ ℝ — группа параллельных переносов в нём.2.1.2. Сферическое пространство Модель сферического пространства получается при рассмотрении пространстваℝс евклидовым скалярным умножением+1(, ) = 0 0 + 1 1 + … + .18Положим = { ∈ ℝ+1 ∣ (, ) = 1}.На этом пространстве скалярное умножение задаёт угловую метрикуcos (, ) = (, ).Здесь группа движений состоит из ортогональных преобразований пространства ℝ+1 :Isom( ) = O+1 (ℝ).2.1.3.

Пространство Лобачевского ℍПусть ,1 — псевдоевклидово пространство (Минковского), снабжённое скалярным умножением(, ) = −0 0 + 1 1 + … + сигнатуры (, 1). Известно, что множествоℭ = { ∈ ,1 ∣ (, ) < 0}является открытым конусом в ,1 с двумя связными компонентами ℭ+ = { ∈ ℭ ∣0 > 0} и ℭ− = { ∈ ℭ ∣ 0 < 0}.

Векторной моделью -мерного пространства Лобачевского ℍ является множество лучей в ℭ+ , выходящих из начала координат. Лучи, лежащие на границе конуса ℭ+ , соответствуют бесконечно удалённым точкам(или, как говорят, точкам на абсолюте) пространства Лобачевского. Иными словами, ℍ ≃ ℭ+ /ℝ+ . Можно также сказать, что ℍ — суть точки связной компонентыгиперболоида{ ∈ ,1 ∣ (, ) = −1, 0 > 0},лежащей внутри конуса ℭ+ . Бесконечно удалённые точки соответствуют изотропным точкам пространства Минковского, то есть таким , что (, ) = 0.Расстояние в пространстве Лобачевского задаётся скалярным умножением по правилуch (, ) = −(, ).Обозначим группу всех псевдоортогональных преобразований пространства ,1через O,1 (ℝ), а через O′,1 (ℝ) — её подгруппу индекса 2, состоящую из преобразований, не меняющих местами связные компоненты ℭ+ и ℭ− . Тогда группа Isom(ℍ ) ≃O′,1 (ℝ) и является группой движений пространства Лобачевского в этой модели.2.2.

Многогранники в Здесь и далее мы будем обозначать через одно из трех пространств постояннойкривизны: , или ℍ .192.2.1. Гиперплоскости и полупространства, выпуклые и остроугольные многогранникиГиперплоскостями в мы будем называть множества вида, = { ∈ ∣ (, ) + = 0},где ∈ ℝ — вектор с (, ) > 0, ∈ ℝ.Гиперплоскости в = и = ℍ определяются как множества вида = { ∈ ∣ (, ) = 0},где ∈ ℝ — вектор с (, ) > 0.Нормируем для удобства вектор так, чтобы (, ) = 1.Определим отражения в пространствах относительно гиперплоскостей.

В пространстве отражение относительно гиперплоскости , задается по правилуℛ, () = − 2((, ) + ).В таком случае инвариантная гиперплоскость , называется зеркалом отраженияℛ, .Аналогично, в пространствах и ℍ определяется отражениеℛ () = − 2(, )относительно гиперплоскости (также называемой зеркалом отражения ℛ ).Далее, определим полупространства − = { ∈ ∣ (, ) ≤ 0} и + = { ∈ ∣(, ) ≥ 0}Определение 2.2.1.

Выпуклым многогранником в пространстве называется пересечение конечного числа полупространств, имеющее непустую внутренность. Обобщённым выпуклым многогранником называется пересечение такого семейства полупространств (возможно, бесконечного), что любой шар пересекает только конечноечисло их граничных гиперплоскостей.Определение 2.2.2. (Обобщённый) выпуклый многогранник называется остроугольным, если все его двугранные углы не превосходят /2, и многогранником Кокстера,если все его двугранные углы имеют вид / , где ∈ {2, 3, … , ∞}.Определение 2.2.3.

(Обобщённый) выпуклый многогранник называется компактным (или ограниченным), если находится внутри какого-то шара, и многогранникомконечного объёма, если Vol () < ∞.20Заметим, что в случае = , из конечности объема многогранника автоматически вытекает его компактность. В пространстве Лобачевского конечность объема выпуклого многогранника означает, что он является выпуклой оболочкой конечного числа обычных или бесконечно удаленных (иногда говорят идеальных) вершин.Могут существовать многогранники, все вершины которых лежат на абсолюте.Например, можно взять треугольник с тремя нулевыми углами.Гранями многогранника мы будем называть его ( − 1)-мерные грани, которыев свою очередь являются пересечениями его граничных гиперплоскостей с ним самим.2.2.2.