Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 3

Никулин, 2000, см. [51] и Д. Аллкок, 2011, см. [4]), = 4 (Р. Шарлау и К. Вальхорн, 1989–1993, см. [58, 61]), = 5 (И. Туркал, 2017, см.[59]) и для некомпактного случая при = 3 (Р. Шарлау и К. Вальхорн, 1989–1993,см. [57, 58]).Также получена классификация рефлективных гиперболических решёток сигнатуры (2, 1) с полем определения ℚ[√2] (А. Марк, 2015, см. [42, 43]).Во всех остальных случаях проблема 2 остаётся до сих пор открытой. Об этих идругих результатах мы расскажем подробнее в параграфе 2.9.1.2. Результаты работыОсновные результаты настоящей диссертации получены в главах 3, 4 и 5 и приведены ниже в пунктах 1.2.1, 1.2.2 и 1.2.3.1.2.1.

Результаты главы 3Проект VinAl: для гиперболических решёток над ℤГлава посвящена алгоритму Винберга и созданию инструментария для решенияпроблем 1 и 2. С помощью различных компьютерных реализаций алгоритма Винберга были исследованы на рефлективность десятки гиперболических решёток над ℤ и10ℤ[√2]. Таким образом удалось получить еще много новых арифметических компактных многогранников Кокстера в пространствах Лобачевского.Как было сказано выше, алгоритм Винберга является эффективным способом построения фундаментальных многогранников для арифметических групп отражений.Попытки реализовать на компьютере алгоритм Винберга предпринимались с 80хгодов прошлого века, но все они ограничивались решётками частного вида, как правило, имеющими ортогональный базис.

Упоминания о таких программах можно встретить, к примеру, в работах В. О. Бугаенко (1992, см. [17]), Р. Шарлау и К. Вальхорн(1992, см. [58]), В. В. Никулина (2000, см. [51]) и Д. Аллкока (2011, см. [4]). Но самипрограммы не были опубликованы, за исключением работы В. В.

Никулина, в которой приведён код программы для решёток нескольких частных видов. Единственной известной реализацией, опубликованной вместе с подробной документацией,является программа Р. Гульельметти 2016 года1 , работающая с решётками, имеющими ортогональный базис, инвариантые множители которых свободны от квадратов.Р. Гульельметти применял её в своей диссертации для классификации рефлективных решёток с ортогональным базисом, элементы которого имеют малые скалярныеквадраты (2017, см.

[29]). Эта программа работает эффективно во всех размерностях, где существуют рефлективные решётки.В данной работе представлена собственная реализация (проект VinAl) алгоритмаВинберга для произвольных гиперболических ℤ-решёток без каких-либо ограничений. Эта программа написана в 2017 году совместно с А. Ю. Перепечко и опубликована в Интернете (см. [12]).

Её подробное описание доступно в статье [63].Программа была проверена на значительном количестве известных рефлективных гиперболических решёток. Помимо этого, нами был найден ряд новых рефлективных решёток.Некоторые результаты работы нашей программы представлены в таблице 1. Здесь0 1 =[] обозначает стандартную двумерную гиперболическую решётку, а —1 0евклидову корневую решётку типа .

Все представленные в данной таблице решётки новые, за исключением решёток [−1] ⊕ 3 и [−4] ⊕ 3 .Также нами установлена рефлективность решёток вида[−2] ⊕ 2 ⊕ [1]⊕⎵⏟⎵…⊕[1]⏟⎵⎵⎵⎵⏟−1при ≤ 6.На данный момент программа эффективно работает при 2 ≤ ≤ 5. Тем самым,она оказывается, к примеру, полезной в открытой проблеме классификации рефлективных решёток в размерности = 3 и уже успешно применялась автором диссертации для получения частичных результатов для данной классификации.1см. проект AlVin https://rgugliel.github.io/AlVin11Таблица 1.1: Решётки вида [−] ⊕ 3 , [−] ⊕ [1] ⊕ 2 для некоторых ≤ 15, а также ⊕ [36] ⊕ [6].# граней (сек)# граней (сек)[−1] ⊕ 340,7[−1] ⊕ [1] ⊕ 240,6[−2] ⊕ 351,9[−2] ⊕ [1] ⊕ 260,8[−3] ⊕ 351,0[−3] ⊕ [1] ⊕ 250,6[−4] ⊕ 340,66[−4] ⊕ [1] ⊕ 251,02[−5] ⊕ 361,56[−5] ⊕ [1] ⊕ 271,9[−6] ⊕ 361,5[−6] ⊕ [1] ⊕ 281,2[−8] ⊕ 371,72[−7] ⊕ [1] ⊕ 21119,2[−9] ⊕ 3979,5[−8] ⊕ [1] ⊕ 261,02[−10] ⊕ 3121,72[−9] ⊕ [1] ⊕ 250,9[−12] ⊕ 351.02[−10] ⊕ [1] ⊕ 21111[−15] ⊕ 31228,7[−15] ⊕ [1] ⊕ 21544 ⊕ [36] ⊕ [6]1556,6[−30] ⊕ [1] ⊕ 22036,6Алгоритм Винберга для гиперболических решёток над ℤ[√]Поскольку автором исследовалась также рефлективность решёток над ℤ[√2], товозникла необходимость написать программу для алгоритма Винберга над квадратичными полями.

На текущий момент получилась программа для решёток над ℤ[√2],которую нужно каждый раз немного править для каждой новой решётки. Она предусматривает возможность того, что исследуемая нами решетка оказалась с неортогональным базисом. Коды программы опубликованы в Интернете: https://github.com/nvbogachev/VinAlg-Z-sqrt-2-Для решеток, чьи квадратичные формы диагональны, удобнее использовать программу Р. Гульельметти, о которой упоминалось выше. Работа авторской программыбыла отчасти проверена на решётках таблицы 1.5. В ближайшем будущем планируется слияние авторской программы для решеток над ℤ[√2] с проектом VinAl. Дальнейшая работа над проектом, реализующим алгоритм Винберга для произвольныхрешеток уже над квадратичными полями ℤ[√], ведется совместно с А.

Ю. Перепечко.В результате экспериментов с разными программами удалось получить новые серии рефлективных гиперболических решеток различных рангов над различными квадратичными полями. Часть этих результатов получена автором совместно с А. А. Колпаковым в 2017-2018 гг.Полученные результаты приведены в таблицах 1.2–1.6. В этих таблицах мы указываем сначала вид решетки сигнатуры (, 1), затем размерность соответствующегопространства Лобачевского, а затем количество граней для фундаментального многогранника Кокстера соответствующей группы отражений.12Таблица 1.2: Унимодулярные решётки над ℚ[√13] и ℚ[√17]. # граней # граней[− 3+2√13 ] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]24[− 3+2√13 ][− 3+2√13 ]⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]39⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]440[−4 − √17] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−4 − √17] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−4 − √17] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]234Таблица 1.3: Некоторые решётки над ℚ[√5].

# граней[−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1] 24[−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1] 35[−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]45671318[−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1][−1 − √5] ⊕ [2] ⊕ … ⊕ [2] ⊕ [1]462023456Таблица 1.4: Некоторые решётки над ℚ[√2]. # граней[−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] 24[−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1] 36[−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1] 410[−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1] 531[−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−√2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]Таблица 1.5: Некоторые решётки над ℚ[√2].

# граней24[−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1]36[−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]45827[−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1][−1 − √2] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1] ⊕ … ⊕ [1]13# граней4571318234562345# граней3571145# граней468271.2.2. Результаты главы 4Определение 1.2.1. Число ∈ , > 0, называется устойчивым, если ∣ 2 в кольце .Например, при = ℚ, = ℤ, это определение выполняется при ⩽ 2. А при =ℚ[√2] и = ℤ[√2] устойчивыми будут числа 1, 2 и 2 + √2 (с точностью до умноженияна обратимый элемент кольца).Определение 1.2.2. Отражение ℛ называется устойчивым, если число (, ) устойчиво.Пусть — гиперболическая решётка над кольцом целых .

Обозначим через ()подгруппу группы ′ (), порождённую устойчивыми отражениями.Определение 1.2.3. Гиперболическая решётка называется устойчиво рефлективной, если индекс [′ () ∶ ()] конечен.Замечание 2. В статьях [10], [62] и [11] устойчиво рефлективные решетки над ℤназываются (1,2)-рефлективными, поскольку для = ℤ только числа 1 и 2 являютсяустойчивыми.Определение 1.2.4. Гиперболическая ℤ-решётка называется 2-рефлективной, если группа ′ () с точностью до конечного индекса порождена 2-отражениями.Замечание 3. Все 2-рефлективные гиперболические ℤ-решетки уже классифицированы: для ранга ≠ 4 это было сделано В. В. Никулиным в 1979, 1981 и 1984 годах, см.[46, 48, 50], а для ранга 4 это было сделано Э.

Б. Винбергом в 1981–2007 годах (см.[27]). Предположительно, устойчиво рефлективные решетки должны образовыватьболее широкий класс рефлективных решеток.Пусть — остроугольный компактный многогранник в ℍ3 и пусть — некотороеего ребро. Обозначим через 1 и 2 грани многогранника , содержащие ребро , ачерез 3 и 4 — единичные внешние нормали к граням 3 и 4 , содержащим вершиныребра , но не само ребро.Определение 1.2.5. Грани 3 и 4 будем называть обрамляющими гранями ребра ,а число |(3 , 4 )| — его шириной.Поставим в соответствие ребру набор ̄ = (12 , 13 , 23 , 14 , 24 ), где — уголмежду гранями и .Основными результатами главы 4 являются следующие два утверждения, второеиз которых доказывается с помощью первого.Теорема 1.2.1.