Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 5

Комбинаторное строение и матрица Грама остроугольных многогранниковКомбинаторное строение остроугольных многогранников в пространствах и хорошо известно, в отличие от многогранников в пространствах Лобачевскогоℍ .Предложение 2.2.1. (Кокстер, 1933, см. [35]) Всякий ограниченный остроугольныймногогранник в является симплексом, а в — прямым произведением симплексов.Известен также следующий результат, принадлежий Е.М.

Андрееву (см. [7]).Теорема 2.2.1. Несмежные грани остроугольного многогранника в любом из трехпространств , или ℍ не имеют общих точек.Матрицей Грама выпуклого многогранника=⋂−=1в (где − ∶= − и ( , ) = 1) называется матрица() = (( , )),=1скалярных произведений его внешних нормалей.Таким образом, если — остроугольный многогранник, то его матрица Грама() представляет из себя матрицу, у которой на диагонали стоят единицы и ≤ 0для ≠ .Более того,− cos ∠( , ), если грани и пересекаются;⎧⎪ = ( , ) = −1,если грани и параллельны;⎨⎪⎩− ch ( , ), если грани и расходятся.21Зная комбинаторное устройство остроугольных многогранников в и , легкоопределить по произвольной матрице с единицами на диагонали и неположительными числами вне нее, является ли она матрицей Грама какого-то остроугольногомногогранника в одном из этих пространств.

Оказывается, что восстановить многогранник по его матрице Грама можно и в пространстве Лобачевского.Теорема 2.2.2. (Винберг, 1985, см. [24]) Пусть = ( ) — неразложимая симметричная матрица сигнатуры (, 1) с единицами на диагонали и неположительными элементами вне диагонали. Тогда в -мерном пространстве Лобачевского ℍ существует выпуклый многогранник , матрица Грама которого совпадает с . Многогранник определен однозначно с точностью до движения пространства ℍ .2.3.

Дискретные группы движений и фундаментальные многогранникиОпределение 2.3.1. Семейство подмножеств пространства называется локально конечным, если у каждой точки существует окрестность, пересекающаяся лишь сконечным числом подмножеств из этого семейства.Определение 2.3.2. Подгруппа ⊂ Isom ( ) называется дискретной группой движений, если для всякой точки ∈ семейство { ∶ ∈ } локально конечно.Заметим, что подгруппа ⊂ Isom ( ) является дискретной группой движенийтогда и только тогда, когда все орбиты дискретны (в топологическом смысле) ивсе стабилизаторы конечны.Примеры дискретных групп движений:• Группа параллельных переносов {1 ,…, } на целочисленные линейные комбинации некоторого базиса {1 , … , } в пространстве ;• Группа , действующая на пространстве перестановками декартовых координат;• Группа SL2 (ℤ) преобразований вида ↦ +на плоскости Лобачевского ℍ2 в+модели Пуанкаре верхней полуплоскости — так называемая модулярная группаКляйна;• Группы симметрий Sym() многогранников ⊂ , или группы симметрий дискретных подмножеств.Определение 2.3.3.

Разбиением пространства называется его локально конечное покрытие замкнутыми областями, не имеющими попарно общих внутренних точек.22Определение 2.3.4. Замкнутая область ⊂ называется фундаментальнойобластью дискретной группы движений ⊂ Isom ( ), если подмножества , где ∈ , составляют разбиение пространства .Смысл понятия фундаментальной области состоит, грубо говоря, в том, что этохорошее в топологическом смысле подмножество, содержащее представителей всехорбит группы , причем почти из всех орбит – ровно по одному представителю.Фундаментальная область данной дискретной группы движений не является однозначно определенным объектом.

В её выборе, как правило, имеется функциональный произвол.Пример 1.• Фундаментальной областью группы {1 ,…, } можно выбрать параллелепипед, натянутый на эти вектора в какой-либо точке ℝ . Также можновзять элементарную область, ограниченную сверху и снизу одинаковым кускомграфика гладкой функции.• Фундаментальной областью группы можно выбрать конус 1 ≥ 2 ≥ … ≥ .• Фундаментальной областью группы SL2 (ℤ) может служить треугольник с одной бесконечно удаленной вершиной, задаваемый в модели Пуанкаре неравенствами |Re | ≤ 21 , || ≥ 1.Определение 2.3.5. Дискретная группа движений ⊂ Isom ( ) называется дискретной группой конечного кообъема или кристаллографической (или ко-конечной),если ее фундаментальная область имеет конечный объем в .Определение 2.3.6. Дискретная группа движений ⊂ Isom ( ) называется кокомпактной, если ее фундаментальная область является ограниченным (компактным) множеством в .Теорема 2.3.1.

(см., например, [26]) Всякая дискретная группа движений пространства постоянной кривизны обладает фундаментальной областью, являющейся обобщенным выпуклым многогранником.Следствие 2.3.1. Всякая кристаллографическая группа движений пространства является кокомпактной.2.4. Группы отражений и многогранники Кокстера2.4.1.

ОпределенияДискретная группа движений, порожденная отражениями в гиперплоскостях, впространстве , называется группой отражений.23Дискретные группы отражений представляют особый интерес благодаря простому комбинаторному описанию своих фундаментальных многогранников. Известенследующий результат, восходящий еще к Г. Кокстеру.

Но первое доказательство этойтеоремы в общем виде для всех пространств постоянной кривизны принадлежит, повсей видимости, Э.Б. Винбергу.Теорема 2.4.1. Всякая группа отражений в пространстве порождается отражениями относительно стенок (граней) какого-то многогранника Кокстера.Теорема 2.4.2. Пусть ⊂ Isom( ) — дискретная группа движений, и пусть —её подгруппа, порождённая всеми отражениями, входящими в . Обозначим через фундаментальный многогранник (Кокстера) группы .

Тогда ◁ и = ⋊ ,где = ∩ Sym( ).Последняя теорема означает, в частности, что если является дискретной группой конечного кообъема, а ее подгруппа отражений является подгруппой конечногоиндекса, то и многогранник имеет конечный объем. Это простое соображениенам понадобится в дальнейшем, когда мы будем вводить арифметические группыотражений.Теорема 2.4.3. Пусть — обобщённый многогранник Кокстера в пространстве . Тогда группа, порождённая отражениями относительно его граней, является дискретной и многогранник является её фундаментальной областью.2.4.2. Абстрактные группы Кокстера и схемы КокстераАбстрактной группой Кокстера называется группа с фиксированной системой′образующих и определяющими соотношениями вида 2 = и (′ )(, ) = дляпроизвольных различных , ′ ∈ , где (, ′ ) ∈ {2, 3, 4, … , +∞}.Алгебраически это записывается так:′ = ⟨ ∈ ∣ 2 = (′ )(, ) = ⟩.Схемой (графом или диаграммой) Кокстера (или Кокстера-Винберга) многогранника Кокстера называется граф, вершины которого соответствуют граням многогранника , а ребра — двугранным углам между ними.

А именно, вершины схемы,соответствующие граням и , соединяются ребром кратности ( − 2) или ребром с весом , если ∠( , ) = ; жирным ребром с весом ∞, если грани и параллельны; пунктирным ребром с весом ch ( , ), если грани и расходятся(см. рис.).если ∠( , ) = 24∞ ch ( , ) если ∥ , то есть ∠( , ) = 0если грани и расходятся.Обычно кратные ребра используют при малых значениях (при = 2, 3, 4, 5),например, если угол между гранями равен /2, то соответствующие вершины схемыКокстера не соединяются вовсе, а если угол равен, например, /4, то рисуют двойноеребро.Схемы Кокстера были впервые введены самим Гарольдом Кокстером для классификации дискретных групп отражений на сфере и в евклидовом пространстве.

Дляпространств Лобачевского схемы Кокстера были модифицированы Э.Б. Винбергом(добавление пунктирной линии).2.4.3. Группы отражений в и Схемы сферических многогранников Кокстера конечного объёма (а также и многогранных конусов Кокстера в евклидовом пространстве) — это в точности эллиптические схемы Кокстера, а схемы евклидовых многогранников — параболические.В таблице 2.1 и таблице 2.2 приведены связные эллиптические и параболическиесхемы Кокстера.Зная все эллиптические и параболические схемы Кокстера, несложно определитьи по гиперболическому многограннику Кокстера (точнее, по его схеме Кокстера), является ли он компактным или имеет ли он конечный объём.