Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 7

Очевидно, чтовсякое конечное расширение 2-рефлективной или (1,2)-рефлективной гиперболической решетки также является 2-рефлективной или (1,2)-рефлективной решеткой соответственно.32Определение 2.7.2. Число ∈ , > 0, называется устойчивым, если ∣ 2 в кольце .Например, при = ℚ, = ℤ, это определение выполняется при ⩽ 2. А при =ℚ[√2] и = ℤ[√2] устойчивыми будут числа 1, 2 и 2 + √2 (с точностью до умноженияна обратимый элемент кольца).Определение 2.7.3.

Отражение ℛ называется устойчивым, если число (, ) является устойчивым.Пусть — гиперболическая решётка над кольцом целых . Обозначим через ()подгруппу группы ′ (), порождённую устойчивыми отражениями.Определение 2.7.4. Гиперболическая решётка называется устойчиво рефлективной, если индекс [′ () ∶ ()] конечен.Замечание 4. В статьях [10], [62] и [11] устойчиво рефлективные решетки над ℤназываются (1,2)-рефлективными, поскольку для = ℤ только числа 1 и 2 являются(1,2)устойчивыми (то есть для решеток над ℤ группы () и () совпадают).Очевидно, что всякое конечное расширение устойчиво рефлективной гиперболической решётки также является устойчиво рефлективной решёткой.2.8.

Известные методы классификации2.8.1. Метод ВинбергаВ этом параграфе мы опишем метод, применённый Э.Б. Винбергом (см. [27]) дляклассификации 2-рефлективных гиперболических решеток ранга 4.Определение 2.8.1. Вершина трехмерного выпуклого многогранника называетсяпростой, если она принадлежит ровно трем граням.Известно, что выпуклый многогранник конечного объема в ℍ3 — это то же, чтовыпуклая оболочка конечного числа обычных и бесконечно удаленных вершин.Пусть — многогранник Кокстера конечного объема в ℍ3 . Тогда всякая обычнаявершина многогранника является простой, а всякая бесконечно удаленная вершина либо проста, либо принадлежит 4 граням, из которых любые две смежные перпендикулярны, а несмежные параллельны.В работе [27] было доказано следующее предложение.Предложение 2.8.1.

Всякий многогранник Кокстера конечного объема в ℍ3 имеетлибо треугольную грань, либо 4-угольную с не более чем тремя непростыми вершинами, либо 5-угольную с не более чем одной непростой вершиной.33Доказательство. Обозначим через , и соответственно количество вершин,ребер и граней многогранника . Справедлива формула Эйлера: − + = 2.(2.1)Обозначим через 3 и 4 соответственно количество простых и непростых вершинмногогранника , а для всякой грани через 3 () и 4 () - количество простых инепростых вершин, принадлежащих грани . Очевидно, чтоИз (2.1–2.3) следует, чтооткуда = 3 + 4(2.2)2 = 33 + 44(2.3)1 − 3 − 4 = 2,2111 > 3 + 4 = ∑ ( 3 () + 4 ())264Следовательно, существует такая грань , что113 () + 4 () < 1.64Ясно, что такая грань не может иметь более 5 сторон, откуда перебором конкретныхслучаев и получаем доказательство утверждения.■Пусть теперь — грань (из предл.

2.8.1) фундаментального многогранника (2)группы () для некоторой 2-рефлективной гиперболической решетки ранга 4.Пусть 1 , … , — смежные с ней грани, где как известно = 3, 4 или 5. Обозначим через 1 , … , соответствующие этим граням корни, через — корень, соответствующий грани . Пусть ′ — решетка, порожденная векторами 1 , … , , (то есть = [(1 , ..., , )]).Если является треугольной гранью, то матрица будет невырождена, причемвсе ее элементы будут ограничены.

Следовательно, таких матриц будет конечноенебольшое число. Если смежных граней четыре или пять, то rk = 4, а значит det =0. Это дает ограничения на элементы матрицы, благодаря которым у нас опять остается конечное число матриц Грама (1 , ..., , ).При = 3 или 4 тип решетки ′ можно определить по матрице Грама = (1 , … , , ).Если = 5, то одна из смежных граней опускается, затем рассматривается матрицаГрама (1 , 2 , 3 , 4 , ).Итак, мы определили тип решетки ′ .

Она имеет конечный индекс в . Ясно, чторешетка лежит между решетками ′ и (′ )∗ , причем [(′ )∗ ∶ ′ ]2 = |(′ )|. Отсюдавытекает неравенство [ ∶ ′ ]2 ≤ |(′ )|. Пользуясь этой оценкой, в каждом случаепо решетке ′ можно найти ее всевозможные расширения конечного индекса. Таким34образом, можно получить конечное число решеток-кандидатов, которые остается исследовать на 2-рефлективность с помощью алгоритма Винберга и других методов,изложенных в главе 3.2.8.2.

Методы Никулина и АллкокаВ своих ранних работах (см. лемму 3.2.1 в [48] и доказательство теоремы 4.1.1 в[49]) В. В. Никулин доказал следующее утверждение1 .Теорема 2.8.1. Пусть — выпуклый многогранник конечного объёма в ℍ .Тогда внём существует такая грань , что для любых смежных с граней 1 и 2 многогранника верно неравенствоch (1 , 2 ) ≤ 7,где (⋅, ⋅) — расстояние в пространстве Лобачевского2 .В доказательстве этого утверждения грань выбиралась как наиболее удалённая от некоторой фиксированной точки внутри многогранника .

Заметим, чтоэта теорема позволяет сразу оценить модуль скалярного произведения единичныхвнешних нормалей к граням, смежным с гранью . Действительно, если 1 и 2 пересекаются или параллельны, эта величина совпадает с косинусом двугранного угламежду этими гранями, а если эти грани расходятся, то она равна гиперболическомукосинусу расстояния между ними.В.В. Никулин и Д. Аллкок применяли этот результат для классификации рефлективных гиперболических решеток ранга 3 (см. [51] и [4]).Применение этого результата происходит аналогично тому, как было в методеВинберга. Рассматривается наиболее удаленная грань, берутся корни, являющиесявнешними нормалями к ней и к смежным с ней граням. Эти корни порождают некоторую подрешетку. В силу дополнительных геометрических соображений оказывается, что всего возможно лишь конечное число таких подрешеток и их надрешетокконечного индекса.

Все они образуют список решеток-кандидатов, который остаетсяпроверить на рефлективность. Для этого, как правило, используется алгоритм Винберга.2.8.3. Метод ШарлауР. Шарлау, а также его ученики К. Вальхорн и И. Туркал использовали следующуютеорему для классификации максимальных изотропных гиперболических решеток.12Мы приводим данное утверждение в удобном для нас виде, хотя явно оно так нигде не формулировалось.В работах Никулина квадраты длин нормалей к граням равны 2, поэтому в его работах фигурирует оценка (, ′ ) ≤ 14.35Теорема 2.8.2. (см. [57], [58], [61] и [59]) Пусть — максимальная изотропнаярефлективная гиперболическая решётка ранга 4, 5 или 6.

Тогда = [] ⊕ ,где = 1 или 2, а является евклидовой решёткой.Далее, используя различные соображения (связанные с изучением рода фуксовыхгрупп и массами евклидовых решёток), они сводили перебор решеток к конечномусписку.2.9. Известные результатыТеперь мы сформулируем известные результаты, преимущественно посвященныеарифметическим группам отражений в пространствах Лобачевского. Помимо указанных ниже ссылок, почти все данные результаты освящены в недавнем обзоре [9].• 1933 год, Г. Кокстер, см. [35].

Перечислил все кристаллографические группы отражений пространств и . Для удобства их классификации придумал диаграммы.• 1937 год, Б.А. Венков, см. [18]. Группа ′ () для гиперболической решетки над ℤдискретно действует на пространстве ℍ и ее фундаментальный многогранникимеет конечный объем.• 1962 год, А. Борель и Хариш-Чандра (см. [13]) и Г. Мостов и Т.

Тамагава (см.[45]). Арифметическая группа ′ (, ) является кокомпактной за исключениемслучая = ℚ, = ℤ, разобранного Венковым (см. выше).• 1967 год, Э.Б. Винберг (см. [19]). Сформулировал проблему описания дискретных групп отражений. Развил язык схем Кокстера для многогранников в ℍ , вчастности, придумал, как по схеме Кокстера определять, имеет ли многогранник конечный объем. Cформулировал и доказал критерий арифметичности длякокомпактных групп отражений пространства Лобачевского. Привел ряд различных примеров.• 1970 год, Е.М.

Андреев (см. [5, 6]). Теорема, дающая простые необходимые идостаточные условия для реализуемости в ℍ3 остроугольного многогранникаконечного объема. Отсюда получается классификация дискретных групп отражений конечного кообъема в ℍ3 .• 1972 год, Э.Б. Винберг (см. [20, 22]). Эффективный алгоритм, позволяющийдля всякой арифметической группы построить фундаментальный многогранник для ее подгруппы отражений, и определить, имеет ли он конечный объем.36• 1972, 1978 год. Э.Б.

Винберг и И.М. Каплинская (см. [20, 21, 25]) Классификацияунимодулярных рефлективных гиперболических решёток над ℤ.• 1980 – 1981 год, В.В. Никулин (см. [48, 49]). При фиксированном ≥ 2 и фиксированной степени поля имеется лишь конечное число с точностью до подобиямаксимальных арифметических групп отражений. При ≥ 9 доказана конечность числа максимальных арифметических групп отражений во всех размерностях.• 1984 год, Э.Б.

Винберг (см. [23]). Отсутствие кокомпактных групп отраженийв ℍ при ≥ 30, одновременно отсутствие арифметических групп отражений втех же размерностях.• 1979, 1981 и 1984 год, В. В. Никулин [46, 48, 50]. Классификация всех 2-рефлективныхгиперболических решеток ранга + 1 ≠ 4.• 1986 год, В. Прохоров и А. Хованский (см. [56, 60]). Отсутствие многогранниковКокстера конечного объема в пространствах Лобачевского ℍ при ≥ 996.• 1984, 1990 и 1992 год, В.О.

Бугаенко (см. [15, 16, 17]). Классификация унимодулярных рефлективных гиперболических решёток над ℤ[√2], ℤ[(1 + √5)/2] иℤ[cos(2/7)].• 1989 – 1993 год, Р. Шарлау и К. Вальхорн (см. [57, 58, 61]). Классификация всехмаксимальных изотропных рефлективных гиперболических решеток ранга 4 и5.• 1996 год, Ф. Эссельманн (см. [30]). Доказал отсутствие рефлективных гиперболических решеток ранга + 1 > 22 и + 1 = 21. При + 1 = 22 известенрефлективный пример Р. Борчердса (см. [14]).• 2000 год, В.В. Никулин (см. [51]). Найдены все рефлективные гиперболическиерешетки ранга 3, дискриминанты которых свободны от квадратов.• 2007 год. Э.Б. Винберг(см. [27]).